2023年上海市十校（高三）數學測試
一、 填空題：（本大題滿分48分）
1．若集合，則
2．已知是偶函式，定義域為，則
3．函式的反函式是
4．函式的最小正週期是
5．函式的對稱中心是
6．已知等差數列的公差，且a1,a3,a9成等比數列，則= 。
7． 在實數集r上定義運算∽：x∽y=x(1-y.),若(x-a)∽(x+a)<1對任意實數x都成立，則實數a的取值範圍是
8．已知直線，為使這條直線不經過第二象限，則實數的範圍是
9．在000，001，…，999,這1000個連號的自然數中**，若抽到乙個號碼中，出現僅出現兩個相同偶數則中獎，則乙個號碼能中獎的概率是
10．δabc的兩條邊上的高的交點為h，外接圓的圓心為o，，則實數m
11．如圖，在δabc中bc=2，ab+ac=3，中線ad的長為y，若ab的長為x，則y與x函式關係式為
第11題圖
12．若，則
二、選擇題：（本大題滿分16分）
13．設a、b是銳角三角形的兩個內角，則複數對應點位於復平面的
a． 第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
14．直線繞原點逆時針方向旋轉300後，所得直線與圓的位置關係是
a．直線過圓心b．直線與圓相交，但不過圓心
c．直線與圓相切d．直線與圓沒有公共點
15．如圖，oa是雙曲線實半軸，ob是虛半軸，f是焦點，且，則雙曲線的方程是（ ）
yb o a f x
第15題圖
a． b． c． d．
16．在δabc中，，則c等於（ ）
a．300 b．1500 c．300或1500 d．600或1200
二、 解答題：（本大題滿分86分）本大題共6題，解答各題必須寫出必要的步驟。
17．（本題滿分12分）已知x∈r，z∈c，x、z滿足。
（1） 若z在復平面內對應的點z在第一象限，求x的範圍；
（2） 是否存在這樣x，使成立。
18．（本題滿分12分，第（1）6分，第（2）6分）
某小區要建一座八邊形的休閒小區，它的主體造型的平面圖是由二個相同的矩形abcd和efgh構成的面積為200 m2的十字型地域，計畫在正方形mnpq上建一座「觀景花壇」，造價為4200元／m2，在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗岩地坪，造價為210元/m2,再在四個空角（如δdqh等）上鋪草坪，造價為80元/m2。
（1） 設總造價為s元，ad長為xm,試建立s與x的函式關係；
（2） 當x為何值時，s最小？並求這個最小值。
第18題圖
19．（本題滿分14分，第（1）小題6分，（2）小題8分）
設是上的奇函式，對任意實數x，都有，當時，。
（1） 試證：是函式的一條對稱軸；
（2） 證明函式是以4為週期的函式，並求時，的解析式。
20．（本題滿分14分，第（1）小題6分，（2）小題8分）
在平面直角座標系中，若，且。
（1）求動點的軌跡c的方程；
（2）過點（0，3）作直線與曲線c交於a、b兩點，設，是否存在這樣的直線，使得四邊形oapb為矩形？若存在，求出直線的方程，不存在，說明理由。
21．（本題滿分16分，其中第（1）小題8分，第（2）小題8分）
已知存在實數（其中）使得函式是奇函式，且在上是增函式。
（1）試用觀察法猜出兩組與的值，並驗證其符合題意；
（2）求出所有符合題意的與的值。
22．（本題滿分18分，其中第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）
如圖所示，是樹形圖形．第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該段均成1350的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段；重複前面的作法作圖至第n層．設樹形圖的第n層的最高點到水平線的距離為第n層樹形圖的高度。
1)求第三層及第四層樹形圖的高度h3，h4；
2)求第n層樹形圖的高度hn；
3)若樹形圖的高度大於2，則稱樹形圖為「高大」，否則稱為「矮小」。顯然，當時是「矮小」的，是否存在。使得當時，該樹形圖是「高大」的?
參***及評分標準
一、 填空題
1．。2．。提示：定義域關於原點對稱。
3．。4．л。提示：，知。
5．。6． 。提示：因為a1,a1+2d,a1+8d成等比數列，所以（a1+2d）2=a1（a9+9d），所以a1=d,所以。
7．。提示：由定義有
(x-a)∽(x+a)<1對都成立，由即得。
8．。提示：顯然直線經過定點，又當時，，不經過第二象限，當時，要使直線不經過第二象限，只需，綜上。
9．。提示：總共有1000個號碼，抽到有兩個相同偶數的情況可以分兩類：
一類是3個偶數，其中兩個相同，如422，242，224，共有；另一類是兩個相同偶數，另乙個是奇數，如500，050，005等，共有，故。（或）
10．1．提示：令∠a=900，則o為bc的中點，h為a點，此時所給等式變為。
另解：取bc的中點d，則，且只有od⊥bc，ah⊥bc，由，
。11．；提示：
，兩式相加整理得，其中。
12．。提示：。
二、 選擇題
13．b．提示，
同理另解：取a=b=c=600可得b。
14．c．提示：已知直線的傾斜角為300，旋轉後的直線的傾斜角為600，其直線方程為，圓心到直線的距離為等於圓的半徑。
15．b.提示：由題意，，
於是，所以從而，所以雙曲線的方程為。
16．a．提示：兩式平方相加得，所以a+b=300或1500，若a+b=300，則與矛盾。所以c=300。
三、 解答題
17．解：（1）
當，即時，矛盾，所以。
所以3分
由題意6分
（2）假設存在這樣的x,使則
9分，方程組無解，所以這樣的x不存在12分
18．解：（1）設dq=y, 又ad=x,則，
3分6分
（210分
當且僅當，即時，元12分
19．（1）因為為奇函式，所以，所以，--3分
所以，所以是函式的一條對稱軸6分
（2），
所以是以4為週期的函式10分
又時，。當，當
所以時，的解析式為14分
另解：在上的圖象如下：
y- 1x- -1
所以時，的解析式為
20．（1）因為，且。
所以動點m到兩個定點f1（0，-2），f2（0，2）的距離的和為8。
所以軌跡c以f1（0，-2），f2（0，2）為焦點的橢圓，方程為6分
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