高三教學質量調研考試
數學(理科)
本試卷分第i卷和第ii卷兩部分，共5頁。滿分150分．考試用時120分鐘．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
注意事項：
1．答題前，考生務必用0.5公釐黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區和科類寫在答題卡和試卷規定的位置上．
2．第i卷每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑；如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號，答案寫在試卷上無效．
3．第ii卷必須用0.5公釐黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不能使用塗改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效．
4．填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
參考公式：
如果事件a，b互斥，那麼；如果事件a，b獨立，那麼
.1.若（i是虛數單位），則
a. b. c. d.
2.設集合，則
ab.cd.
3.在中，「」是「」的
a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充分必要條件d.既不充分又不必要條件
4.要得到函式的圖象，只要將函式的圖象
a.向左平移個單位b. 向右平移個單位
c.向左平移個單位d. 向右平移個單位
5.乙個幾何體的三檢視如圖，則該幾何體的體積為
ab.cd.
6.已知滿足約束條件，則的最大值為
a.6b.8
c.10d.12
7.過雙曲線的右焦點f作圓的切線fm（切點為m），交y軸於點p.若m為線段fp的中點，則雙曲線的離心率為
ab. c.2d.
8.已知向量的夾角為，且取得最小值時，實數x的值為
a.2b. c.1d.
9.設等差數列的前n項和為，且滿足，對任意正整數n，都有，則k的值為
a.1006b.1007 c.1008d.1009
10.已知r上的奇函式滿足，則不等式的解集是
a. b. c. d.
第ii卷（共100分）
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.
11.某高校為了了解教科研工作開展狀況與教師年齡之間的關係，將該校不小於35歲的80名教師按年齡分組，分組區間為，，由此得到頻率分布直方圖如圖，則這80名教師中年齡小於45歲的教師有________人.
12. 執行右圖的程式框圖，則輸出的s
13. 二項式的展開式中的係數為，則
14.已知m,n是圓與圓的公共點，則的面積為
15.對於函式，有下列5個結論：
①任取，都有；
②函式在區間上單調遞增；
③，對一切恆成立；
④函式有3個零點；
⑤若關於x的方程有且只有兩個不同實根，則.
則其中所有正確結論的序號是請寫出全部正確結論的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共75分.
16.（本小題滿分12分）
已知向量，設
（i）求函式的解析式及單調增區間；
（ii）在中，分別為內角a,b,c的對邊，且，求的面積.
17. （本小題滿分12分）
如圖，邊長為的正方形adef與梯形abcd所在的平面互相垂直，其中ab//cd，，點m**段ec上.
（i）證明：平面平面adef；
（ii）若，求平面bdm與平面abf所成銳二面角的大小.
18. （本小題滿分12分）
某衛視的大型娛樂節目現場，所有參演的節目都由甲、乙、丙三名專業老師投票決定是否通過進入下一輪，甲、乙、丙三名老師都有「通過」「待定」「淘汰」三類票各一張，每個節目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率均為，且三人投票相互沒有影響，若投票結果中至少有兩張「通過」票，則該節目獲得「通過」，否則該節目不能獲得「通過」。
（i）求某節目的投票結果獲「通過」的概率；
（ii）記某節目投票結果中所含「通過」和「待定」票票數之和為x，求x的分布列和數學期望.
19. （本小題滿分12分）
設等差數列的前n項和為
（i）求數列的通項公式；
（ii）記，求.
20. （本小題滿分13分）
已知橢圓的離心率為，且過點.若點在橢圓c上，則點稱為點m的乙個「橢點」.
（i）求橢圓c的標準方程；
（ii）若直線與橢圓c相交於a,b兩點，且a,b兩點的「橢點」分別為p，q，以pq為直徑的圓經過座標原點，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.
21. （本小題滿分14分）
已知函式.
（i）時，求函式的零點個數；
（ii）當時，若函式在區間上的最小值為，求a的值；
（iii）若關於的方程有兩個不同實根，求實數a的取值範圍並證明：.
2016屆高三教學質量調研考試
理科數學參***
一、選擇題
bda da dacdb
二、填空題
（11）48 （12） （13） （14） （15）
三、解答題
（16）解：（ⅰ）
3分由可得………… 5分
所以函式的單調遞增區間為,………… 6分
（ⅱ）………… 9分
由可得………… 10分
………… 12分
（17）解：（ⅰ）證明：如圖，
…………4分
（ⅱ） 在麵內過點作
以為座標原點，所在的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角座標系則 …………5分
設平面的法向量為
令…………9分
∵平面的法向量，
所以平面與平面所成銳二面角是…………12分
（18）（ⅰ）設「某節目的投票結果獲「通過」為事件a，
則事件a包含該節目獲2張「通過票」或該節目獲3張「通過票」，
∵甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為，
且三人投票相互沒有影響，∴某節目的投票結果是最終獲「通過」的概率為：
………… 4分
（ⅱ）所含「通過」和「待定」票票數之和的所有取值為0，1，2，3，
，，，，………… 8分
∴的分布列為：
．………… 12分
（19）解：（ⅰ）設等差數列的首項為，公差為，等比數列，公比為.
由題意可知2分
所以.得4分
（ⅱ）令5分
8分相減得10分
=12分
（20）() 解：由題意知，∴，
即又........2分
∴， 橢圓的方程為4分
() 設，則
由於以為直徑的圓經過座標原點，所以
即....... 5分
由得 ，
，......... 7分
代入即得： ，
9分........11分
把代入上式得........ 13分
（21）解：（）當時．
所以函式在上單調遞增；………………2分
又因為．所以函式有且只有乙個零點………3分
（）函式的定義域是．
當時，令，即，
所以或．……………………4分
當，即時，在［1，e]上單調遞增，
所以在［1，e]上的最小值是，解得；…………5分
當，即時，在上的最小值是，即令，，
在單調遞減，在單調遞增；
而，，不合題意； …………7分
當即時，在上單調遞減，
所以在上的最小值是，解得，
不合題意綜上可得． …………8分
() 因為方程有兩個不同實根，即有兩個不同實根，得，令
在上單調遞增，上單調遞減
時，取得最大值9分
由，得當時，，而當，，影象如下
∴即當時有兩個不同實根…………………10分
滿足，兩式相加得：，兩式相減地
．不妨設，要證，只需證，
即證，設，令12分
則，∴函式在上單調遞增，而．
∴，即14分
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