莆田一中2014－2015學年度高三第三次月考試卷
理科數學
注意事項：
1.本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分,主要考試範圍為：高考所有內容,試卷滿分150分,完卷時間120分種.
2.答題前,考生先將自己的班級、姓名、座號等資訊填寫在答題卷、答題卡指定位置.
3.考生作答時,將答案寫在答題卷上,請按照題號在各題的答題區域(黑色線框)內作答,超出答題區域書寫的答案無效.在草稿紙、試題卷上答題無效.
4.嚴禁攜帶計算器、電子儲存器、手機等違反數數考試紀律的一切裝置進入考場.
第ⅰ卷（選擇題共50分）
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.若集合a=,集合b=,則集合b中元素的個數為 ( )
a.1b. 2c.3d.4
2.已知z=1-i(i是虛數單位),表示的點落在 ( )
a.第一象限 b.第二象限c.第三象限 d.第四象限
3.將函式f(x)= sin2x+cos2x(xr)的圖象向左平移個單位長度後得到函式y=g(x)的圖象,則函式y=g(x
a.是奇函式b.是偶函式
c.既是奇函式又是偶函式d.既不是奇函式,也不是偶函式
4.為了考查兩個變數x和y之間的線性關係,甲、乙兩位同學各自獨立做了8次和10次試驗,並且利用線性回歸方法,求得回歸直線分別為l1,l2,已知兩人得到的試驗資料中,變數x和y的資料的平均值都分別相等,則下列說法正確的是 ( )
a.直線l1和l2必定重合 b.必有l1//l2
c.直線l1和l2不一定相交 d.直線l1和l2一定有公共點
5.已知等差數列滿足a2013+a2015=,那麼a2014(a2012+2a2014+a2016)的值為 ( )
ab.2cd.4
6.已知三個正態分佈密度函式i(x)= e (xr,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則 ( )
a.1<2=3, 1=2>3
b.1>2=3, 1=2<3
c.1=2<3, 1<2=3
d.1<2=3, 1=2<3
第6題圖
7.函式f(x)=ln(x-)的圖象大致是
8.如圖,ab是圓o的直徑,c、d是圓o上的點,∠cba=60°,∠abd=45°, =x+y,則x+y的值為
abcd.-
9.若相互垂直的兩條異面直線l1與l2滿足條件: l1α, l2//α,且平面α內的動點p到l1與l2的距離相等,則點p的軌跡是 ( )
a.圓b.橢圓c.雙曲線d.拋物線
10.定義[x]表示不超過x的最大整數,記=x-[x],其中對於0≤x≤316時,函式f(x)=sin2[x]+sin2-1和函式g(x)=[x]·--1的零點個數分別為m,n則 ( )
第ⅱ卷（非選擇題共100分）
二、填空題(本大題共5個小題,每小題4分,共20分,把答案填在答題卡的相應位置)
11.已知命題p:xr, ex<0, 則命題p的否定是
12.某幾何體的三檢視如圖,則該幾何體體積的最大值為
13.-1+3c-9c+27c-···-310c+311除以5的餘數是 .
14.若數列滿足2an=2an-1+d(n≥2)且a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,的方差為9,
則d15.雙曲線x-y=2015的左,右頂點分別為a,b,p為其右支上不同於b
的一點,且apb=2pab,則pab第12題圖
三、解答題：(本大題共6個小題,共80分,解答時要求寫出必要的文字說明或推演步驟.請按照題目順序在第ⅱ卷各個題目的答題區域內作答.)
16.(本小題13分)
函式f(x)=sinωx+sinωxcosωx- (>0)的圖象與直線y=m相切,相鄰切點之間的距離為π,
(1)求m和ω的值,
(2)求函式的單調增區間,
(3)問：試否存在實數n,使得函式f(x)的圖象與直線x+y+n=0相切,若能,請求出n的值,若不能,請說明理由.
17. (本小題13分)
點p是△abc所在的平面外一點p,鏈結pa,pb,pc,且有
pb=pc=,ab=ac=2,bac=90,g為△pab的重心.
(1)試判斷直線bg與ac的位置關係,並說明理由.
(2)記h為ab中點,當pa=時,求直線hg與平面pac所成角的正弦值.
18. (本小題13分)
已知橢圓c1： +=1(a>)的離心率為,拋物線c2：y=2px(p>0)的焦點f是橢圓c1的右焦點.
(1)求拋物線c2的方程；
(2)過點f且傾斜角為的直線l與拋物線c2相交於a,b兩點,當動點d在直線x=-2上移動時,試求△abd周長c的最小值.
19.(本小題滿分13分)
金老師為投資理財,考慮了兩種投資計畫,計畫a:從2023年初開始購買投資產品,每個月1號投資,第一次投次1500元錢,用於購買「餘額寶」,「餘額寶」的月收益率為0.5%(類似於銀行存款,月底結算利息);計畫b:
從2023年初開始購買投資產品,每個月1號投資,第一次投次1000元錢,以後每一次比上一次多投資200元,用於購買同一只**,到2023年底(2023年12月31日),這只**收益50%的概率為,虧損的概率為.若兩計畫的收益均不考慮手續費.
(1)求計畫b到2023年底的收益的期望值;
(2)根據2023年年底的收益,從收益率的角度出發,試問你將選擇何種投資?
(注：收益率=，參考資料1.00524≈1.13,≈0.0875,≈0.0625)
20.(本小題14分)
已知函式f(x)是在(0,+∞)上處處可導的函式,若xf ′(x)>f(x)在x>0上恆成立：
(1)判斷函式g(x)=在(0,+∞)上的單調性；
(2)當x1>0,x2>0時,證明f(x1)+f(x2)(3)求證： ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2>.
21.本題設有(1),(2),(3)三個選考題,每題7分,請任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題計分.
(1)(本小題滿分7分)選修4-2：矩陣與變換
設矩陣m是把座標平面上的點的縱座標伸長到原來的2倍,橫座標保持不變的伸縮變換.
(ⅰ)求矩陣m；
(ⅱ)求矩陣m的特徵值以及屬於每個特徵值的乙個特徵向量.
(2)選修4-4 引數方程與極座標(本小題滿分7分)
過p(2,0)作傾斜角為α的直線l與曲線e： (θ為引數)交於a,b兩點.
(ⅰ)求曲線e的普通方程及l的引數方程；
(ⅱ)求sinα的取值範圍.
(3)(本小題滿分7分)選修4-5：不等式選講
(ⅰ)試證明柯西不等式：(a+b)(x+y)(ax+by)(a,b,x,yr)；
(ⅱ)若x+y=2且|x||y|,求+的最小值.
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