理科數學
本試卷分為第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.
第i卷（選擇題共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．設集合，則（ ）`
abcd．
2．若複數為虛數單位) 為純虛數，則實數的值為（ ）
abc．4d．6
3．已知是公差為的等差數列，為的前項和.若成等比數列，則（ ）
abcd．
4．某市要對多名計程車司機的年齡進行調查，現從中隨機抽出名司機，已知抽到的司機年齡都在歲之間，根據調查結果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市計程車司機年齡的中位數大約是（ ）
a．歲b．歲c．歲 d．歲
5．函式的部分圖象大致為（ ）
6．執行此程式框圖，若輸入的分別為1，2，3，則輸出的（ ）
abcd.
7．已知關於的二項式展開式的二項式係數之和為32，常數項為80，則的值為（ ）
a．2bc．1d．
8．某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積是
abc. 或d.
9．已知函式，則的最小值為（ ）
ab．2cd．1
10．數學活動小組由12名同學組成，現將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究乙個課題，並要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數為（ ）
ab．cd．
11．已知點是拋物線上任意一點，是圓上任意一點，則的最小值為（ ）
a．3b．4c．5d．6
12．已知函式．若存在，使得關於的函式有三個不同的零點，則實數的取值範圍是（ ）
abcd．
第ii卷（非選擇題共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡指定的橫線上.）
13．若直線，平分圓，則的最小值是 ．
14．如圖，在長方形中，為的中點，為線段(端點除外)上一動點，現將沿折起，使平面平面.在平面內過點作為垂足，設,則的取值範圍是________
15．我們把離心率的雙曲線稱
為**雙曲線．如圖是雙曲線的
圖象，給出以下幾個說法：
①雙曲線是**雙曲線；
②若，則該雙曲線是**雙曲線；
③若為左右焦點，為左右頂點，（0，），（0，﹣）
且，則該雙曲線是**雙曲線；
④若經過右焦點且，，則該雙曲線是**雙曲線．
其中正確命題的序號為
16．已知數列中，對任意的，若滿足（為常數），則稱該數列為階等和數列，其中為階公和；若滿足（為常數），則稱該數列為階等積數列，其中為階公積，已知數列為首項為的階等和數列，且滿足；數列為公積為的階等積數列，且，設為數列的前項和，則
三、解答題(本大題共8小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17．(本小題滿分12分)
已知向量，設函式．
（ⅰ） 求的最小正週期與單調遞增區間；
（ⅱ）在△中，分別是角的對邊，若，，
求的最大值
18．(本小題滿分12分)
本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎遊的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租時間不超過兩小時免費，超過兩個小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按 1小時計算）．有甲、乙兩人獨立來該租車點車租騎遊（各租一車一次）．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時．
（ⅰ） 求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；
（ⅱ）設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變數，求的分布列與數學期望．
19．(本小題滿分12分)
如圖,四稜柱的底面是平行四邊形,且，，，為的中點, 平面．
（ⅰ） 證明:平面平面；
（ⅱ）若,試求二面角的余弦值．
20．(本小題滿分12分)
設點，直線相交於點，且它們的斜率之積為.
（ⅰ） 求動點的軌跡的方程；
（ⅱ）若直線過點且繞旋轉，與圓相交於兩點，與軌跡相交於兩點，若|,求△的面積的最大值和最小值（為軌跡的左焦點）.
21．(本小題滿分12分)
定義在上的函式滿足，
．（ⅰ）求函式的解析式；
（ⅱ）求函式的單調區間；
（iii）如果滿足，那麼稱比更靠近．當且時，試比較和哪個更靠近，並說明理由．
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答.如果多做,則按所做的第一題計分.
22. (本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講
如圖，內接於直徑為的圓，過點作圓的切線交的延長線於點的平分線分別交和圓於點，若.
（ⅰ） 求證：；
（ⅱ）求的值.
23. (本小題滿分10分)選修4-4:座標系與引數方程
在平面直角座標系中，直線的引數方程為（為引數），在以直角座標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸的極座標系中，曲線的極座標方程為．
（ⅰ） 求曲線的直角座標方程和直線的普通方程；
（ⅱ）若直線與曲線相交於兩點，求的面積．
24. (本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
已知函式，若，使得不等式成立.
（ⅰ） 求實數的取值範圍；
（ⅱ）若，是否存在使得成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
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