4.1目的要求
1．了解維向量的概念，並掌握其線性運算的方法.
2．理解向量組線性相關性的若干概念，了解與相關性的結論.
3．理解向量組的極大無關組的定義與向量組秩的定義.
4．了解維向量空間、子空間、基底、維數的概念.
5．掌握矩陣初等變換判斷向量組的相關性，求向量組的秩和極大無關組的方法.
4.2重要公式和結論
4.2.1 向量組及其線性組合
1．維向量個有次序的數所組成的陣列稱為維向量，這個數稱為
該向量的個分量，第個數稱為第個分量.
2．向量組若干個同維數的列向量（或同維數的行向量）所組成的集合叫做向量組.
3．線性組合給定向量組對於任何一組實數表示式稱為向量組a的乙個線性組合，稱為這個線性組合的係數.
4．線性表示給定向量組和向量，如果存在一組數，使
，則稱向量能由向量組線性表示; 若向量組中的每個向量都能由向量組線性表示，則稱向量組b能由線性表示．
5．向量組等價若向量組a與向量組b能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價.
6．定理1 向量能由向量組線性表示的充要條件是矩陣
的秩等於矩陣的秩.
7．定理 2 向量組能由向量組線性表示的充要條件是
矩陣的秩等於矩陣的秩，即.
8．推論1 向量組與向量組等價的充要條件是
，其中，a和b是向量組a和b所構成的矩陣.
9．定理3 設向量組能由向量組線性表示，
則.4.2.2向量組的線性相關性
1．線性相關、線性無關給定向量組，如果存在不全為零的數
，使，則稱向量組a線性相關，否則稱它線性無關.
2．性質
含有零向量的向量組必線性相關，線性無關的向量組必不含零向量；
兩個向量線性相關的充要條件是對應分量成比例；
多於n個向量的n維向量組必線性相關；
如果向量組中一部分向量線性相關，那麼整個向量組線性相關；如果整個向量
組線性無關，那麼由它的部分向量構成的向量組也線性無關.
3．定理1 向量組線性相關的充要條件是它構成的矩陣
的秩小於向量個數m；向量組線性無關的充要條件。
4．定理 2 若向量組線性相關，則向量組也
線性相關，反言之，若向量組b線性無關，則向量組a也線性無關； m個n維向量組成的向量組，當維數n小於向量個數m時一定線性相關；設向量組線性無關，而向量組線性相關，則向量必能由向量組a線性表示，且表示式是唯一的.
4.2.3向量組的秩
1．最大線性無關向量組設有向量組a，如果在a中能選出r個向量，
滿足向量組線性無關； 向量組a中任意r+1個向量（如果a中有r+1個向量）都線性相關，則稱向量組a0是向量組a的乙個最大線性無關向量組，最大無關組所含有向量個數r稱為向量組a的秩，記作ra.
2．等價的向量組有相同的秩。
3．定理1 矩陣的秩等於它的列向量的秩，也等於它的行向量的秩.
4．推論設向量組是向量組a的乙個部分組，且滿足
向量組a0線性無關；向量組a的任一向量都能由向量組a0線性表示；那麼向量組a0便是向量組a的乙個最大無關組。
5．定理2 向量組能由向量組線性表示的充要條件是.
4.2.4線性方程組的解的結構
1．對齊次線性方程組
其中, , 若滿足方程組，則稱為方程組的解. 齊次線性方程組的最大無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系.
2．性質1 若，為的解，則也是它的解；
3．性質2 若為的解，k為實數，則也是它的解.
4．定理設矩陣a的秩，則n元齊次線性方程組的解集s
的秩.5．性質1 設及都是方程的解，則為對應齊次線
性方程組的解.
6．性質2 設是方程的解，是方程的解，則
仍是方程的解.
4.2.5 向量空間
1．向量空間設v為n維向量的集合，如果集合v非空，且若，，則；若，,則，即v對加法及數乘封閉，就稱集合v為向量空間.
2．子空間設有向量空間v1及v2，若，就稱v1是v2的子空間.
3．由向量組所生成的向量空間為
4．基設v為向量空間，如果r個向量，且滿足
線性無關； v中任何一向量都可由線性表示，那麼，向量組就稱為向量空間v的乙個基，r稱為向量空間v的維數，並稱v為r維向量空間.
5．如果在向量空間v中取定乙個基，那麼v中任一向量都可唯一表示為陣列稱為向量在基中的座標.
4.2.6 基變換公式與座標變換公式
1．設向量組與是v的兩組基，且有
其中稱上式為由基到基的基變換，稱a為由基到基的過渡矩陣.
2．對向量，它在基與下的座標分別為及，即
，則有這就是由基到基的座標變換公式.
4.3 例題分析
例4.1 若都是四維列向量，且四階行列式，
，試求四階行列式.
解：，故 .
例4.2 設，矩陣，n為正整數，計算.
解： 所以
.例4.3 已知向量及，試用線性表示.
解：設，即
求解上述方程組，方程組的增廣矩陣為
解得方程組得解，線性表示式為.
例4.4 設向量線性相關，向量線性無關，問：
（1） 向量能否由向量線性表示？（2） 向量能否由向量線性表示？
證（1）由線性無關知必線性無關，又知新增了後線性相
關，則必能由線性表示，這是因為線性相關時，有不全為零的數使
必不為零，否則，必不全為零且使，這與線性無
關矛盾，因此必有，則，即向量能由向量線性表示.
（2）若能由線性表示，即
由(1)的結論知，，將代入，整理得
這表明線性相關，與題設矛盾，因此向量不能由向量線性表示.
例4.5 設向量
問取何值時，（1）不能由線性表示？（2）可由線性表示，且表示式唯一？並求出這個表示式.
解設有數使
設其係數矩陣，增廣矩陣，對作初等變換
（1）不能由線性表示無解
所以，當時,不能由線性表示.
（2）可由唯一線性表示有唯一解
且，所以當時可由唯一線性表示.
求解方程組，即
解得，於是可由唯一線性表示式為
例4.6 判斷向量組是否線性相關.
解（法一）應用向量組線性相關與線性無關的定義
設則有對應齊次線性方程組得係數矩陣進行行的初等變換，有
由此可得，故線性無關.
（法二）應用向量組何矩陣之間的關係來判別，考慮由向量為行向量組成的矩陣 ，對其進行初等行變換
由此知，從而線性無關.
例4.7 已知是n階矩陣，是n維列向量，若，
證明線性無關.
證若， 用左乘上式，並把代入得
，而，從而有，於是，再用左乘，類似可知，於是，即知，因此線性無關.
例4.8 設
（1） 問當t為何值時，向量組線性無關；
（2） 問當t為何值時，向量組線性相關；
（3） 當線性相關時，將表為的線性組合．
解設，由分量方程組寫法，即得
，係數行列式
（1） 當時，方程組只有零解故線性無關；
（2） 當時，方程組有非零解，即可取不全為零的值，
使，故線性相關;
（3） 當時，設，解得，於是
例4.9 已知線性相關，求t的值.
解：（法一） 用行列式判定
可見. （法二） 矩陣的秩
所以當，即時，線性相關.
例4.10 已知向量組線性無關，
證明線性無關的充要條件是 .
證充分性設，要證線性無關，設
則將代入有
由於線性無關，則
由於此方程組的係數行列式，故上述方程組只有零解, 從而線性無關.
必要性假設，則的行向量線性相關，於是存在不全為零的數，使
由此可知 ，
於是即線性相關，與題設矛盾，故.
例4.11 設有向量組
求向量組的秩，並求出它的乙個極大線性無關組.
解由此知秩，因為的乙個3階子式
所以與這三列所對應的向量是原向量組的乙個極大線性無關組，容易看出，也是它的乙個極大線性無關組.
例4.12 已知向量組
（1） p為何值時，向量組線性無關？並在此時將向量用
線性表出；
（2） p為何值時，向量組線性相關？並在此時求出它的秩和乙個極大線
性無關組.
解將向量組中的各向量作為矩陣的各列，然後作初等行變換，化為階梯形矩陣
（1） 時，向量組線性無關，此時可進一步把化為
，故有 ;
（2） 時，向量組線性相關，此時，向量組的秩等於3，
矩陣可進一步化為
可見（）為其乙個極大線性無關組.
例4.13 設向量組（）的秩為3，向量組（）的秩為4，
證明向量組的秩為4.
證由向量組（）的秩為4，知線性無關，又由向量組（）的秩為3，知可由線性表出，即有不全為零的數，使得.設有一組數，使得
由上兩式整理得
由於線性無關，所以
該方程組只有零解，故線性無關，也就是說該向量組的秩為4.
例4.14 證明.
證只需證明且，
設，其中a,b,c分別為矩陣，記c的行向量為，b的行向量為，則由，得
這說明c的行向量組可由b的行向量組表示，從而，
又因為所以有 .
例4.15 求齊次線性方程組
的基礎解系，並用基礎解系表示出方程組的全部解.
解將方程組的係數矩陣a化為行最簡形矩陣
從而知，故基礎解系中有個解向量，
由係數矩陣的變換結果 ，令，得原方程組的基礎解系於是通解為 .
例4.16 求方程組的通解.
解對方程組的增廣矩陣b施行初等行變換，得
因為，故方程組有解，且
取，則，即得原方程組的乙個特解
在對應的齊次線性方程組中，取，得基礎解系 ，於是所求通解為
例4.17 已知向量空間的兩個基
求由基的過渡矩陣.
解由基變換公式
為過渡矩陣，矩陣可逆，且
所以，過渡矩陣
.例4.18 證明向量組和向量組
是同乙個向量空間的基，並求由基到基的過渡矩陣.
證易知, 所以與都是線性無關的向量組
，於是，
則與是線性無關的等價的向量組，它們是同一向量空間的基.
設由基到基的過渡矩陣為，那麼
，由此四元方程組解得過渡矩陣為 .
例4.19 設是空間的乙個基，又.
（1） 證明和也是中的基；
（2） 求由基到基的過渡矩陣；
（3） 求由基到基的座標變換公式.
解（1）只需證明和線性無關即可，
設，即亦即由線性無關得
易知上面方程組的係數行列式不為0，所以，故線性無關，同理可證線性無關.
（2）因為
由上面的第1式得
從而有於是基到基的過渡矩陣為
.（3）設是中的任一向量，它在基和基下的座標分別為和，則其座標變換公式為 .
第四章線性規劃
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