概率(古典概型與幾何概型)
【教學目標】
1.了解隨機事件的含義，了解頻率與概率的區別．
2.理解古典概型，掌握其概率計算公式，會求一些隨機事件發生的概率．
3.了解幾何概型的意義及其概率的計算方法，會計算簡單幾何概型的概率．
【教學重點】
對概率含義的正確理解及其在實際中的應用；古典概型與幾何概型
【教學難點】
無限過渡到有限，實際背景轉化為長度、面積、體積等的問題
【知識點梳理】
1.隨機事件
（1）必然事件：在一定條件下，必然會發生的事件叫做必然事件。
（2）不可能事件：在一定條件下，肯定不會發生的事件叫做不可能事件．
（3）隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件叫做隨機事件。
2.頻率與概率的關係
概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值.
3.概率的基本性質
（1）隨機事件a的概率：.
（2）必然事件的概率為1.
（3）不可能事件的概率為0.
（4）如果事件a與事件b互斥，則.
（5）如果事件a與事件b互為對立事件，那麼，即.
4.古典概型
（1）特點：有限性，等可能性.
（2）概率公式：.
5.幾何概型
（1）特點：無限性，等可能性.
（2）概率公式：.
古典概型
題型一隨機事件及概率
例1 某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩個同時在地鐵第1號車站(首車站)乘車。假設每人自第2號車站開始，在每個車站下車是等可能的。約定用有序數對表示「甲在x號車站下車，乙在y號車站下車」。
（1）用有序數對把甲、乙兩人下車的所有可能的結果列舉出來；
（2）求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；
（3）求甲、乙兩人同在第4號車站下車的概率．
變式1 同時擲兩顆骰子一次
（1）「點數之和是13」是什麼事件？其概率是多少？
（2）「點數之和在2～13範圍之內」是什麼事件？其概率是多少？
（3）「點數之和是7」是什麼事件？其概率是多少？
題型二互斥事件與對立事件
例題1：每一萬張有獎明信片中，有一等獎5張，二等獎10張，三等獎100張。某人買了1張，設事件a「這張明信片獲一等獎」，事件b「這張明信片獲二等獎」，事件c「這張明信片獲三等獎」，事件d「這張明信片未獲獎」，事件e「這張明信片獲獎」，則在這些事件中
1． 與事件d互斥的有哪些事件？
2． 與事件d對立的有哪些事件？
3． 與事件a+b對立的有哪些事件？
4． 與事件互斥的有哪些事件？
例題2：某商場有獎銷售中，購滿100元商品得一張獎券，多購多得，每1000張獎券為乙個開獎單位。設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個。
設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為a、b、c，求：
⑴． ⑵．1張獎券的中獎概率；
⑶．1張獎券不中特等獎或一等獎的概率。
變式2：對立事件求概率
某醫院一天派出醫生下鄉醫療，派出醫生人數及其概率如下：
求：①派出醫生至多是2人的概率；②派出醫生至少是2人的概率．
變式：（2010湖北，理）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記「硬幣正面向上」為事件a，「骰子向上的點數是3」為事件b，則事件a，b中至少有一件發生的概率是（ ）
a. b. c. d.
題型三簡單事件的古典概型
例題3：無放回抽取、擲骰子、有放回抽取、排隊問題的古典概型
袋中裝有6個形狀完全相同的小球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率．①a：取出的兩球都是白球；②b：取出的兩球乙個是白球，另乙個是紅球．
變式3 同時拋擲兩枚骰子．
(1)求「點數之和為6」的概率；
(2)求「至少有乙個5點或6點」的概率．
題型四與統計相結合的古典概型
例題4 (2010·福建卷)設平面向量，，其中．
（1）請列出有序陣列的所有可能結果；
（2）記「使得成立的」為事件a，求事件a發生的概率．
2．(本題滿分12分)(08·廣東文)某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表：
已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在初三年級抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年級中女生比男生多的概率．
3．(本題滿分12分)某中學團委組織了「弘揚奧運精神，愛我中華」的知識競賽，從參加考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]後畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的資訊，回答下列問題：
(1)求第四小組的頻率，並補全這個頻率分布直方圖；
(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分；
(3)從成績是[40,50)和[90,100]的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率．
幾何概型
題型一與長度有關的幾何概型概率問題
例題1：在區間[1,3]上任取一數，則這個數大於等於1.5的概率（ ）
a.0.25 b.0.5 c.0.6 d.0.75
變式1：（2010湖南卷理）在區間[-1,2]上隨機取乙個數，則的概率為
題型二與面積有關的幾何概型概率問題
例題2：如果所示，在乙個邊長為的矩形內畫乙個梯形，梯形上、下底分別為與，高為。向該矩形內隨機投一點，則所投的點落在梯形內部的概率為
變式2：(2011·福建卷)如圖1－1，矩形abcd中，點e為邊cd的中點．若在矩形abcd內部隨機取乙個點q，則點q取自△abe內部的概率等於( )
圖1－1
abcd.
題型三會面問題中的概率
例3：兩人約定在20:00到21:
00之間相見，並且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去.如果兩人出發是各自獨立的，在20:00至21:
00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內相見的概率.
分析：兩人不論誰先到都要等40分鐘，即2/3小時,設兩人到的時間分別為x、y,則當且僅當|x-y|≤2/3時，兩人才能見面，因而此問題轉化為面積性幾何概型，
變式3：在區間內任取兩個實數，則這兩個實數之和小於的概率是
題型四與體積有關的幾何概型概率問題
例題4：在400毫公升自來水中有乙個大腸桿菌,今從中隨機取出2毫公升水樣放到顯微鏡下觀察,求發現大腸桿菌的概率。
變式4：（2011山東臨沂一中期末）已知正三稜錐的底面邊長為4，高為3，在正三稜錐內任取一點p，使得的概率是（ ）
a. b. c. d.
【方法與技巧總結】
1. 互斥事件與對立事件的關係：
（1）對立一定互斥，互斥未必對立；
（2）可將所求事件化為互斥事件a、b的和，再利用公式p(a+b)=p(a)+p(b)來求，也可通過對立事件公式來求p(a).
古典概型
（1）特點：有限性，等可能性.
（2）概率公式：.
幾何概型
（1）特點：無限性，等可能性.
（2）概率公式：
課堂練習
一、選擇題
1．從12個同類產品中(其中有10個**，2個次品)，任意抽取3個，下列事件是必然事件的是( )
a．3個都是**
b．至少有乙個是次品
c．3個都是次品
d．至少有乙個是**
2．給出關於滿足a b的非空集合a、b的四個命題：
①若任取x∈a，則x∈b是必然事件；
②若任取xa，則x∈b是不可能事件；
③若任取x∈b，則x∈a是隨機事件；
④若任取xb，則xa是必然事件．
其中正確的是命題有( )
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
3．4張卡片上分別寫有數字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為( )
a. b. c. d.
4．(2011·威海模擬)乙個袋子裡裝有編號為1,2，…，12的12個相同大小的小球，其中1到6號球是紅色球，其餘為黑色球．若從中任意摸出乙個球，記錄它的顏色和號碼後再放回袋子裡，然後再摸出乙個球，記錄它的顏色和號碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有乙個球的號碼是偶數的概率是( )
a. b. c. d.
5．(2010·江蘇卷，理)盒子裡共有大小相同的3隻白球，1只黑球．若從中隨機摸出兩隻球，則它們顏色不同的概率是________．
6.同時擲兩枚骰子,所得點數之和為5的概率為
點數之和大於9的概率為
7. 口袋裡裝有兩個白球和兩個黑球，這四個球除顏色外完全相同，四個人按順序依次從中摸出一球，試求「第二個人摸到白球」的概率。
9（2010湖南文數）在區間[-1,2]上隨即取乙個數x，則x∈[0,1]的概率為
10取一根長度為4 m的繩子，拉直後在任意位置剪斷，那麼剪得的兩段都不少於1 m的概率是( )．
abcd.
11（2009遼寧卷文）abcd為長方形，ab＝2，bc＝1，o為ab的中點，在長方形abcd內隨機取一點，取到的點到o的距離大於1的概率為
（abcd
12（2009·榮成模擬）設-1≤≤1,-1≤≤1,求關於的方程有實根的概率.
【課後作業】
1、在乙個袋子中裝有分別標註數字1,2,3,4,5，的五個小球，這些小球除標註的數字外完全相同．現從中隨機取出2個小球，則取出的小球標註的數字之和為3或6的概率是( )
a. b. c. d.
2、將一枚骰子拋擲兩次，若先後出現的點數分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率為( )
a. b. c. d.
3、把一顆骰子投擲兩次，觀察出現的點數，並記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是( )
a. b. c. d.
隨機事件的概率,古典概型與幾何概型
隨機事件的概率 考點一隨機事件的頻率與概率 問題1 福建 已知某運動員每次投籃命中的概率都為.現採用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率 先由計算器算出到之間取整數值的隨機數，指定，表示命中，表示不命中 再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果。經隨機模擬產生了組隨機數 據此估計，...
幾何概型反思
3.3.1 本節課是必修 3第三章 幾何概型 的第一課時，在前面學生已經對古典概 型有了一定的了解，形成了概率的概念，本節課的重難點主要是對幾何概型的計 算公式及其應用，主要是對測度 長度 面積 體積等 的理解和應用。本節課中從複習古典概型的概念和一般步驟入手，從剪繩子的引例出發，教師引導學生找出基...
古典概型題型歸納
題型一古典概型 1袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等於 a b c d 2從裝有3個紅球 2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是 abcd 3盒中裝有形狀 大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，...