a卷一、選擇題
1．4位同學各自在周
六、週日兩天中任選一天參加公益活動，則周
六、週日都有同學參加公益活動的概率為( )
a. b.
c. d.
2．(2016·青島一模)如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成乙個邊長為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角θ＝.現在向該正方形區域內隨機地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內的概率是( )
a. b.
c. d.
3.(2016·長沙一模)如圖所示，a是圓o上一定點，在圓上其他位置任取一點a′，連線aa′，得到一條弦，則弦aa′的長度小於或等於半徑的概率為( )
a. b.
c. d.
4．已知橢圓＋y2＝1的左，右焦點分別為f1，f2，在長軸a1a2上任取一點m，過m作a1a2的垂線交橢圓的於點p，則使得·<0的點m的概率為( )
a. b.
c. d.
5．將一顆骰子擲兩次，觀察出現的點數，並記第一次出現的點數為m，第二次出現的點數為n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)，則向量p與q共線的概率為( )
a. b.
c. d.
6．我們把日均收看體育節目的時間超過50分鐘的觀眾稱為「超級體育迷」．已知5名「超級體育迷」中有2名女性，若從中任選2名，則至少有1名女性的概率為( )
a. b.
c. d.
7.如圖，矩形abcd中，點a在x軸上，點b的座標為(1,0)，且點c與點d在函式f(x)＝的圖象上．若在矩形abcd內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等於( )
a. b.
c. d.
8．已知a、b、c三個箱子中各裝有兩本相同的書，每個箱子裡的書有一本標著號碼1，另一本標著號碼2.現從a、b、c三個箱子中各取出一本書，猜測取出的這三本書的號碼之和，猜中有獎．那麼獲獎的可能性最大的號碼之和是( )
a．3或6 b．3或5
c．4或5 d．5或6
二、填空題
9．已知高一年級某班有63名學生，現要選1名學生作為標兵，每名學生被選中的概率是相同的，若「選出的標兵是女生」的概率是「選出的標兵是男生」的概率的，則這個班男生的人數為________．
10．已知集合a＝，在平面直角座標系中，點m(x，y)的座標x∈a，y∈a，則點m正好落在平面區域內的概率為________．
11．已知平面區域d1＝，d2＝．在區域d1內隨機選取一點m，若點m恰好取自區域d2的概率為p，且012．如圖所示，在邊長為1的正方形oabc內任取一點p(x，y)，則點p到原點o的距離小於1的概率是____．
答案精析
1．d [4位同學各自在周
六、週日兩天中任選一天參加公益活動的情況有24＝16(種)，其中僅在週六(週日)參加各有1種，∴所求概率為1－＝.]
2．a [易知小正方形的邊長為－1，故小正方形的面積為s1＝(－1)2＝4－2，大正方形的面積為s＝2×2＝4，故飛鏢落在小正方形內的概率p＝＝＝.]
3．b [當aa′的長度等於半徑時，∠aoa′＝，點a′在點a左右都可取得，故由幾何概型的概率計算公式得，所求概率p＝＝，故選b.]
4．d [設p(x，y)，則·<0(－－x，－y)·(－x，－y)<0x2－3＋y2<0x2－3＋1－<0|x|<，故所求的概率為＝.]
5．d [由題意可得基本事件(m，n)(m，n＝1,2，…，6)的個數為6×6＝36.
若p∥q，則6m－3n＝0，得n＝2m.滿足此條件的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3個基本事件．因此向量p與q共線的概率為p＝＝.]
6．a [用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.記「選出的2名全都是男性」為事件a，「選出的2名有1名男性1名女性」為事件b，「選出的2名全都是女性」為事件c，則事件a包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3個基本事件，事件b包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6個基本事件，事件c包含(b1，b2)，共1個基本事件．事件a，b，c彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件b和c，所以所求事件的概率為＝.]
7．b [依題意得，點c的座標為(1,2)，所以點d的座標為(－2,2)，所以矩形abcd的面積s矩形abcd＝3×2＝6，陰影部分的面積s陰影＝×3×1＝，根據幾何概型的概率求解公式，得所求的概率p＝＝＝，故選b.]
8．c [用陣列(x，y，z)中的x，y，z分別表示從a，b，c三個箱子中取出的書的號碼，陣列(x，y，z)的所有情況有(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8種．記「所取出的三本書的號碼之和為i」為事件ai(i＝3,4,5,6)，易知事件a3的情況有1種，事件a4的情況有3種，事件a5的情況有3種，事件a6的情況有1種，所以p(a3)＝，p(a4)＝，p(a5)＝，p(a6)＝.所以取出的三本書的號碼之和為4和5的概率相等且最大，故所猜號碼之和為4或5時獲獎的可能性最大．故選c.]
9．33
解析根據題意，設該班的男生人數為x，則女生人數為63－x，因為每名學生被選中的概率是相同的，根據古典概型的概率計算公式知，「選出的標兵是女生」的概率是，「選出的標兵是男生」的概率是，故＝×，解得x＝33，故這個班男生的人數為33.
10.解析由題意可得，總的基本事件共有36個，分別為(－4，－4)，(－4，－2)，(－4,0)，
(－4,1)，(－4,3)，(－4,5)，(－2，－4)，(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)，(－2,5)，(0，－4)，(0，－2)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，(0,5)，(1，－4)，(1，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3，－4)，(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5，－4)，(5，－2)，(5,0)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，而落在平面區域內的點共有6個，如圖所示，分別為(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(5,1)，故點m正好落在所給平面區域內的概率p＝＝.
11．[－1,0)∪(0,1]
解析如圖所示，平面區域d1是由邊長等於4的正方形內部的點構成的，其面積為16，直線kx－y＋2＝0恆過定點p(0,2)．由於原點必在區域d2外，且圖中每個陰影三角形的面積與大正方形的面積之比均為，故當k>0時，k∈(0,1]；當k<0時，k∈[－1,0)．從而k的取值範圍為[－1,0)∪(0,1]．
12.解析若點p到原點的距離小於1，則，所以符合條件的點p構成的區域如圖中陰影部分所示，所以點p到原點的距離小於1的概率為＝.
b卷1．(2016·遵義航天高中第七次模擬考試)甲、乙兩位數學愛好者玩擲骰子的遊戲，甲先擲一枚骰子，記向上的點數為a，乙再擲一枚骰子，記向上的點數為b.
(1)求事件「a＋b≥9」的概率；
(2)遊戲規定：ab≥10時，甲贏；否則，乙贏．試問：這個遊戲規定公平嗎？請說明理由．
2．(2016·湖南師大附中月考)去年年底，某商業集團公司根據相關評分細則，對其所屬25家商業連鎖店進行了考核評估．將各連鎖店的評估分數按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成4組，其頻率分布直方圖如圖所示．集團公司依據評估得分，將這些連鎖店劃分為a，b，c，d四個等級，等級評定標準如下表所示．
(1)估計該商業集團各連鎖店評估得分的眾數和平均數；
(2)從評估分數不小於80分的連鎖店中任選2家介紹營銷經驗，求至少選一家a等級的概率．
3．(2015·天津)設甲、乙、丙三個桌球協會的運動員人數分別為27,9,18.現採用分層抽樣的方法從這三個協會中抽取6名運動員組隊參加比賽．
(1)求應從這三個協會中分別抽取的運動員的人數．
(2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為a1，a2，a3，a4，a5，a6.現從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽．
①用所給編號列出所有可能的結果；
②設a為事件「編號為a5和a6的兩名運動員中至少有1人被抽到」，求事件a發生的概率．
4.某班50名學生在一次百公尺測試中，成績全部介於13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[13,14)，第二組[14,15)，…，第五組[17,18]，如圖是按上述分組方法得到頻率分布直方圖．
(1)根據頻率分布直方圖，估計這50名學生百公尺測試成績的平均數；
(2)若從第一組、第五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大於1的概率．
答案精析
1．解 (1)甲、乙兩人先後擲一枚骰子，其包含的基本事件如下表所示：
共有6×6＝36(個)不同的基本事件．
事件「a＋b≥9」包含(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共10個基本事件，所以p(a＋b≥9)＝＝.
(2)滿足ab≥10的情況有a＝2，b＝5,6；a＝3，b＝4,5,6；a＝4，b＝3,4,5,6；a＝5，b＝2,3,4,5,6；a＝6，b＝2,3,4,5,6，共有2＋3＋4＋5＋5＝19(種)．
所以甲贏的概率是，乙贏的概率是1－＝.
兩個概率值不相等，所以此遊戲規定不公平．
2．解 (1)最高小矩形下底邊的中點值為75，估計評估得分的眾數為75.
頻率分布直方圖中從左至右第
一、三、四個小矩形的面積分別為0.28,0.16,0.
08，則第二個小矩形的面積為1－0.28－0.16－0.
08＝0.48，所以＝65×0.28＋75×0.
48＋85×0.16＋95×0.08＝18.
2＋36＋13.6＋7.6＝75.
4.估計該商業集團各連鎖店評估得分的平均數為75.4.
(2)a等級的頻數為25×0.08＝2，記這兩家分別為a，b；
b等級的頻數為25×0.16＝4，記這四家分別為c，d，e，f.
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