第一章演算法初步
一、教學目標：
1、知識與技能：（1）了解演算法的含義，體會演算法的思想。（2）能夠用自然語言敘述演算法。
（3）掌握正確的演算法應滿足的要求。（4）會寫出解線性方程（組）的演算法。（5）會寫出乙個求有限整數序列中的最大值的演算法。
（6）會應用scilab求解方程組。
2、過程與方法：通過求解二元一次方程組，體會解方程的一般性步驟，從而得到乙個解二元一次方程組的步驟，這些步驟就是演算法，不同的問題有不同的演算法。由於思考問題的角度不同，同乙個問題也可能有多個演算法，能模仿求解二元一次方程組的步驟，寫出乙個求有限整數序列中的最大值的演算法。
3、情感態度與價值觀：通過本節的學習，使我們對計算機的演算法語言有乙個基本的了解，明確演算法的要求，認識到計算機是人類征服自然的一各有力工具，進一步提高探索、認識世界的能力。
二、重點與難點：
重點：演算法的含義、解二元一次方程組和判斷乙個數為質數的演算法設計。
難點：把自然語言轉化為演算法語言。
三、學法與教學用具：
學法：1、寫出的演算法，必須能解決一類問題(如：判斷乙個整數n(n>1)是否為質數；求任意乙個方程的近似解；……)，並且能夠重複使用。
2、要使演算法盡量簡單、步驟盡量少。
3、要保證演算法正確，且計算機能夠執行，如：讓計算機計算1×2×3×4×5是可以做到的，但讓計算機去執行「倒一杯水」「替我理髮」等則是做不到的。
教學用具：電腦，計算器，圖形計算器
四、教學設想：
1、 創設情境：
演算法作為乙個名詞，在中學教科書中並沒有出現過，我們在基礎教育階段還沒有接觸演算法概念。但是我們卻從小學就開始接觸演算法，熟悉許多問題的演算法。如，做四則運算要先乘除後加減，從裡往外脫括弧，豎式筆算等都是演算法，至於乘法口訣、珠算口訣更是演算法的具體體現。
我們知道解一元二次方程的演算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的演算法，解線性方程組的演算法，求兩個數的最大公因數的演算法等。因此，演算法其實是重要的數學物件。
2、 探索研究
演算法(algorithm)一詞源於算術(algorism)，即算術方法，是指乙個由已知推求未知的運算過程。後來，人們把它推廣到一般，把進行某一工作的方法和步驟稱為演算法。
廣義地說，演算法就是做某一件事的步驟或程式。菜譜是做菜餚的演算法，洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的演算法，歌譜是一首歌曲的演算法。在數學中，主要研究計算機能實現的演算法，即按照某種機械程式步驟一定可以得到結果的解決問題的程式。
比如解方程的演算法、函式求值的演算法、作圖的演算法，等等。
3、 例題分析：
例1 任意給定乙個大於1的整數n，試設計乙個程式或步驟對n是否為質數做出判定。
演算法分析：根據質數的定義，很容易設計出下面的步驟：
第一步：判斷n是否等於2，若n=2，則n是質數；若n>2，則執行第二步。
第二步：依次從2至（n-1）檢驗是不是n的因數，即整除n的數，若有這樣的數，則n不是質數；若沒有這樣的數，則n是質數。
這是判斷乙個大於1的整數n是否為質數的最基本演算法。
例2 用二分法設計乙個求議程x2–2=0的近似根的演算法。
演算法分析：回顧二分法解方程的過程，並假設所求近似根與準確解的差的絕對值不超過0.005，則不難設計出以下步驟：
第一步：令f(x)=x2–2。因為f(1)<0，f(2)>0，所以設x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若則，則m為所長；若否，則繼續判斷f(x1)·f(m)大於0還是小於0。
第三步：若f(x1)·f(m)>0，則令x1=m；否則，令x2=m。
第四步：判斷|x1–x2|<0.005是否成立？若是，則x1、x2之間的任意取值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第二步。
小結：演算法具有以下特性：(1)有窮性；(2)確定性；(3)順序性；(4)不惟一性；(5)普遍性
典例剖析：
1、基本概念題
x-2y=-1,①
例3 寫出解二元一次方程組的演算法
2x+y=1②
解：第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=3/5；
第三步，將y=3/5代入①，得x=1/5
學生做一做：對於一般的二元一次方程組來說，上述步驟應該怎樣進一步完善？
老師評一評：本題的演算法是由加減消元法求解的，這個演算法也適合一般的二元一次方程組的解法。下面寫出求方程組的解的演算法：
第一步：②×a1-①×a2，得(a1b2-a2b1)y+a1c2-a2c1=0；③
第二步：解③，得；
第三步：將代入①，得。
此時我們得到了二元一次方程組的求解公式，利用此公司可得到倒2的另乙個演算法：
第一步：取a1=1，b1=-2，c1=1，a2=2，b2=1，c2=-1；
第二步：計算與
第三步：輸出運算結果。
可見利用上述演算法，更加有利於上機執行與操作。
基礎知識應用題
例4 寫出乙個求有限整數列中的最大值的演算法。
解：演算法如下。
s1 先假定序列中的第乙個整數為「最大值」。
s2 將序列中的下乙個整數值與「最大值」比較，如果它大於此「最大值」，這時你就假定「最大值」是這個整數。
s3 如果序列中還有其他整數，重複s2。
s4 在序列中一直到沒有可比的數為止，這時假定的「最大值」就是這個序列中的最大值。
學生做一做寫出對任意3個整數a,b,c求出最大值的演算法。
老師評一評在例2中我們是用自然語言來描述演算法的，下面我們用數學語言來描述本題的演算法。
s1 max=a
s2 如果b>max, 則max=b.
s3 如果c>max, 則max=c.
s4 max就是a,b,c中的最大值。
綜合應用題
例5 寫出求1+2+3+4+5+6的乙個演算法。
分析：可以按逐一相加的程式進行，也可以利用公式1+2+…+n=進行，也可以根據加法運算律簡化運算過程。
解：演算法1：
s1：計算1+2得到3；
s2：將第一步中的運算結果3與3相加得到6；
s3：將第二步中的運算結果6與4相加得到10；
s4：將第三步中的運算結果10與5相加得到15；
s5：將第四步中的運算結果15與6相加得到21。
演算法2：
s1：取n=6；
s2：計算；
s3：輸出運算結果。
演算法3：
s1：將原式變形為(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；
s2：計算3×7；
s3：輸出運算結果。
小結：演算法1是最原始的方法，最為繁瑣，步驟較多，當加數較大時，比如1+2+3+…+10000，再用這種方法是行不通的；演算法2與演算法3都是比較簡單的演算法，但比較而言，演算法2最為簡單，且易於在計算機上執行操作。
學生做一做求1×3×5×7×9×11的值，寫出其演算法。
老師評一評演算法1；第一步，先求1×3，得到結果3；
第二步，將第一步所得結果3再乘以5，得到結果15；
第三步，再將15乘以7，得到結果105；
第四步，再將105乘以9，得到945；
第五步，再將945乘以11，得到10395，即是最後結果。
演算法2：用p表示被乘數，i表示乘數。
s1 使p=1。
s2 使i=3
s3 使p=p×i
s4 使i=i+2
s5 若i≤11，則返回到s3繼續執行；否則演算法結束。
小結由於計算機動是高速計算的自動機器，實現迴圈的語句。因此，上述演算法2不僅是正確的，而且是在計算機上能夠實現的較好的演算法。在上面的演算法中，s3，s4，s5構成乙個完整的迴圈，這裡需要說明的是，每經過一次迴圈之後，變數p、i的值都發生了變化，並且生迴圈一次之後都要在步驟s5對i的值進行檢驗，一旦發現i的值大於11時，立即停止迴圈，同時輸出最後乙個p的值，對於迴圈結構的詳細情況，我們將在以後的學習中介紹。
4、課堂小結
本節課主要講了演算法的概念，演算法就是解決問題的步驟，平時列論我們做什麼事都離不開演算法，演算法的描述可以用自然語言，也可以用數學語言。
例如，某同學要在下午到體育館參加比賽，比賽下午2時開始，請寫出該同學從家裡發到比賽地的演算法。
若用自然語言來描述可寫為
（1）1:00從家出發到公共汽車站
（2）1:10上公共汽車
（3）1:40到達體育館
（4）1:45做準備活動。
（5）2:00比賽開始。
若用數學語言來描述可寫為：
s1 1:00從家出發到公共汽車站
s2 1:10上公共汽車
s3 1:40到達體育館
s4 1:45做準備活動
s5 2:00比賽開始
大家從中要以看出，實際上兩種寫法無本質區別，但我們在書寫時應盡量用教學語言來描述，它的優越性在以後的學習中我們會體會到。
5、自我評價
1、寫出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的乙個演算法。
2、寫出求1至1000的正數中的3倍數的乙個演算法（列印結果）
6、評價標準
1、解：演算法如下
s1 計算△=b2-4ac
s2 如果△〈0，則方程無解；否則x1=
s3 輸出計算結果x1，x2或無解資訊。
2、解：演算法如下：
s1 使i=1
s2 i被3除，得餘數r
s3 如果r=0，則列印i，否則不列印
s4 使i=i+1
s5 若i≤1000,則返回到s2繼續執行，否則演算法結束。
7、作業：1、寫出解不等式x2-2x-3<0的乙個演算法。
解：第一步：x2-2x-3=0的兩根是x1=3，x2=-1。
第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集為；
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高中數學必修3知識點 第一章演算法初步 1.1.1 演算法的概念 1 演算法概念 2.演算法的特點 1 有限性 2 確定性 3 順序性與正確性 4 不唯一性 5 普遍性 1.1.2 程式框圖 一 構成程式框圖的圖形符號及其作用 二 演算法的三種基本邏輯結構 順序結構 條件結構 迴圈結構。1 順序結構...
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