一、選擇題
1．如果兩個平面分別經過兩條平行線中的一條，那麼這兩個平面( )
a．平行 b．相交
c．垂直 d．都可能
[答案] d
[解析] 過直線的平面有無數個，考慮兩個面的位置要全面．
2．在長方體abcd－a′b′c′d′中，下列正確的是( )
a．平面abcd∥平面abb′a′
b．平面abcd∥平面add′a′
c．平面abcd∥平面cdd′c′
d．平面abcd∥平面a′b′c′d′
[答案] d
3．如右圖所示，設e，f，e1，f1分別是長方體abcd－a1b1c1d1的稜ab，cd，a1b1，c1d1的中點，則平面efd1a1與平面bcf1e1的位置關係是( )
a．平行 b．相交
c．異面 d．不確定
[答案] a
[解析] ∵e1和f1分別是a1b1和d1c1的中點，
∴a1d1∥e1f1，又a1d1平面bcf1e1，e1f1平面bcf1e1，
∴a1d1∥平面bcf1e1.
又e1和e分別是a1b1和ab的中點，
∴a1e1綊be，∴四邊形a1ebe1是平行四邊形，
∴a1e∥be1，
又a1e平面bcf1e1，be1平面bcf1e1，
∴a1e∥平面bcf1e1，
又a1e平面efd1a1，a1d1平面efd1a1，a1e∩a1d1＝a1，
∴平面efd1a1∥平面bcf1e1.
4．已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是( )
a．l∥β，lαα∥β
b．l∥β，m∥β，lα，mαα∥β
c．l∥m，lα，mβα∥β
d．l∥β，m∥β，lα，mα，l∩m＝mα∥β
[答案] d
[解析] 如右圖所示，在長方體abcd－a1b1c1d1中，直線ab∥cd，則直線ab∥平面dc1，直線ab平面ac，但是平面ac與平面dc1不平行，所以選項a錯誤；取bb1的中點e，cc1的中點f，則可證ef∥平面ac，b1c1∥平面ac.又ef平面bc1，b1c1平面bc1，但是平面ac與平面bc1不平行，所以選項b錯誤；直線ad∥b1c1，ad平面ac，b1c1平面bc1，但平面ac與平面bc1不平行，所以選項c錯誤；很明顯選項d是兩個平面平行的判定定理，所以選項d正確．
5．下列結論中：
(1)過不在平面內的一點，有且只有乙個平面與這個平面平行；
(2)過不在平面內的一條直線，有且只有乙個平面與這個平面平行；
(3)過不在直線上的一點，有且只有一條直線與這條直線平行；
(4)過不在直線上的一點，有且僅有乙個平面與這條直線平行．
正確的序號為( )
a．(1)(2) b．(3)(4)
c．(1)(3) d．(2)(4)
[答案] c
6．過平行六面體abcd－a1b1c1d1任意兩條稜的中點作直線，其中與平面dbb1d1平行的直線共有( )
a．4條 b．6條
c．8條 d．12條
[答案] d
[解析] 如右圖所示，以e為例，易證eh，em∥平面dbb1d1.
與e處於同等地位的點還有f、g、h、m、n、p、q，故有符合題意的直線＝8條．以e為例，易證qe∥平面dbb1d1，與e處於同等地位的點還有h、m、g、f、n、p，故有符合題意的直線4條．∴共有8＋4＝12(條)．
二、填空題
7．如果兩個平面分別平行於第三個平面，那麼這兩個平面的位置關係是________．
[答案] 平行
8．已知平面α和β，在平面α內任取一條直線a，在β內總存在直線b∥a，則α與β的位置關係是________(填「平行」或「相交」)．
[答案] 平行
[解析] 假若α∩β＝l，則在平面α內，與l相交的直線a，設a∩l＝a，對於β內的任意直線b，若b過點a，則a與b相交，若b不過點a，則a與b異面，即β內不存在直線b∥a.故α∥β.
9．如圖所示，在正方體abcd－a1b1c1d1中，e、f、g、h分別為稜cc1、c1d1、d1d、cd的中點，n是bc的中點，點m在四邊形efgh及其內部運動，則m滿足________時，有mn∥平面b1bdd1.
[答案] 點m在fh上
[解析] ∵fh∥bb1，hn∥bd，fh∩hn＝h，
∴平面fhn∥平面b1bdd1，
又平面fhn∩平面efgh＝fh，
∴當m∈fh時，mn平面fhn，
∴mn∥平面b1bdd1.
三、解答題
10.如圖所示，四稜錐p－abcd的底面abcd為矩形，e，f，h分別為ab，cd，pd的中點．求證：平面afh∥平面pce.
[證明] 因為f為cd的中點，h為pd的中點，
所以fh∥pc，所以fh∥平面pce.
又ae∥cf且ae＝cf，
所以四邊形aecf為平行四邊形，
所以af∥ce，所以af∥平面pce.
由fh平面afh，af平面afh，fh∩af＝f，
所以平面afh∥平面pce.
11．如圖，f，h分別是正方體abcd－a1b1c1d1的稜cc1，aa1的中點，求證：平面bdf∥平面b1d1h.
[證明] 取dd1中點e，
連ae、ef.
∵e、f為dd1、cc1的中點，
∴ef綊cd.
∴ef綊ab，
∴四邊形efba為平行四邊形．
∴ae∥bf.
又∵e、h分別為d1d、a1a的中點，
∴d1e綊ha，
∴四邊形haed1為平行四邊形．
∴hd1∥ae，∴hd1∥bf，
由正方體的性質易知b1d1∥bd，且已證bf∥d1h.
∵b1d1平面bdf，bd平面bdf，
∴b1d1∥平面bdf.
∵hd1平面bdf，bf平面bdf，
∴hd1∥平面bdf.又∵b1d1∩hd1＝d1，
∴平面bdf∥平面b1d1h.
12．如圖所示，在三稜柱abc－a1b1c1中，點d為ac的中點，點d1是a1c1上的一點，當等於何值時，bc1∥平面ab1d1?
[解析] ＝1.
證明如下：如圖所示，
此時d1為線段a1c1的中點，連線a1b交ab1於o，連線od1.
由稜柱的定義，知四邊形a1abb1為平行四邊形，
∴點o為a1b的中點．
在△a1bc1中，點o，d1分別為a1b，a1c1的中點，
∴od1∥bc1.
又∵od1平面ab1d1，bc1平面ab1d1，
∴bc1∥平面ab1d1.
∴當＝1時，bc1∥平面ab1d1.
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