體檢排隊論模型
摘要 排隊論是20世紀初由丹麥數學家erlang應用數學方法在研究**話務理論過程中而發展起來的一門學科，排隊論也稱隨機服務系統理論，它涉及的是建立一些數學模型，以對隨機發生的需求提供服務的系統**其行為，它已應用於電訊、紡織、礦山、交通、機器維修，可靠性，計算機設計和軍事領域，都已取得了顯著的成績。排隊論(又稱隨機服務系統)的理論和方法已經廣泛應用於各種服務系統，如通訊系統、交通系統、計算機儲存系統、生產管理系統等許多方面，體檢排隊系統作為體檢人員接受體檢中心服務的第乙個環節，是體檢人員評價體檢中心服務滿意度的乙個重要方面，故在體檢系統中起著常重要的作用。因此，利用排隊論的知識對體檢系統建立數學模型進行分析優化，從而使系統達到最佳的運營狀態，具有十分重要的經濟價值和實際意義。
排隊的內容雖然不同，但有如下共同特徵：
（1） 有請求服務的人或物，如候診的病人、請求著陸的飛機等，我們將此稱為「顧客」。
（2） 有為顧客提供服務的人或物，如醫生、飛機跑道等，我們稱此為「服務員」。由顧客和服務員就組成服務系統。
（3） 顧客隨機地乙個乙個（或者一批一批）來到服務系統，每位顧客需要服務的時間不一定是確定的，服務過程的這種隨機性造成某個階段顧客排長隊，而某些時候服務員又空閒無事。
關鍵字：排隊論；體檢排隊系統；m/m/n模型;m/m/1模型
二、問題重述
某城市的體檢中心每天有許多人前去體檢，全部體檢專案包括：抽血、內科、外科、b超、五官科、胸透、身高、體重、…等等。每個人的體檢專案可能各不相同，假設每個體檢專案的服務時間是確定的，並且只有1個醫生值班，每次只能為1個客戶服務。
為提高裝置利用率、降低客人的等待時間，中心請你幫助完成如下任務：
1. 請你為某個新來的客人安排他的體檢順序，使其完成需要的全部檢查的時間盡量少（在各個體檢專案處都可能有人排隊等待）；
2. 設計1組資料來驗證上述結論。
3. 接待團體客人時，如何安排每個人的體檢順序，使得體檢中心能盡快完成任務，設計1組資料來驗證該結論。
三、條件假設
3.1基於排隊系統的假設
輸入過程：某一時段內到達顧客的總體是有限的，且到達的方式是乙個乙個的，相繼到達的間隔時間是隨機性的，但是服從一定條件的概率分布；顧客的到達也是相互獨立的，就是說，以前的到達情況對以後顧客的到來沒有影響；輸入過程是平穩的，也可以認為是時間齊次的，是指描述相繼到達的時間間隔分布和所含引數（如期望值、方差等）都是與時間無關的。
排隊規則：根據題目的已知資料進行分析，顧客到達時，如所有的服務台均被占用著，則顧客將會等待，服務機制屬於先到先服務；從占有的空間上來看，對於等待隊伍的長度沒有最大限制；從等待隊伍的數量上來看，隊伍是單列的。
服務機構：帶有多個服務台的機構中，它們應該是平行並列的（如第一問）服務的方式為每次一名醫生對乙個顧客進行體檢；跟輸入過程一樣，服務時間也是隨機性的，但是服從一定條件的概率分布，並且服務時間也是時間齊次性的。
3.2對於到達時刻的假設
對於顧客到達時間：
1、根據排隊論和概率論的相關理論，我們易知在不相重疊的時間間隔內顧客到達數是相互獨立的，即為無後效性，
2、在充分小的一段時間間隔之內，在區間內有乙個顧客到達的概率與時間無關，而約與時間長度成正比，即
其中是常數，它表示單位時間有乙個顧客到達的概率，稱為概率強度。
3、另一方面，對於充分小的，在時間間隔內有兩個或兩個以上顧客到達的概率極小，以至於可以忽略，即
（1）泊松分布的概率如下所示，意為在t的時間間隔中到達n個顧客的概率
滿足以上三個條件的分布被稱作泊松流，我們得知該題目的工具到達時間服從泊松分布。
3.3排隊規則
排隊規則指顧客按怎樣的規定的次序接受服務。常見的有等待制，損失制，混合制，閉合制。當乙個顧客到達時所有服務台都不空閒，則此顧客排隊等待直到得到服務後離開，稱為等待制。
在等待制中，可以採用先到先服務，如排隊買票；也有後到先服務，如天氣預報；也有隨機服務，如**服務；也有有優先權的服務，如危重病人可優先看病。當乙個顧客到來時，所有服務台都不空閒，則該顧客立即離開不等待，稱為損失制。顧客排隊等候的人數是有限長的，稱為混合制度。
當顧客物件和服務物件相同且固定時是閉合制。如幾名維修工人固定維修某個工廠的機器就屬於閉合制。
3.4排隊系統的數量指標的假設
(1)隊長與等待隊長
隊長（通常記為）是指系統中的平均顧客數（包括正在接受服務的顧客）。等待隊長（通常記為）指系統中處於等待的顧客的數量。顯然，隊長等於等待隊長加上正在服務的顧客數。
(2)等待時間
等待時間包括顧客的平均逗留時間（通常記為）和平均等待時間（通常記為）。顧客的平均逗留時間是指顧客進入系統到離開系統這段時間，包括等待時間和接受服務的時間。顧客的平均等待時間是指顧客進入系統到接受服務這段時間。
(3)忙期
從顧客到達空閒的系統，服務立即開始，直到再次變為空閒的時間，這段時間是系統連續繁忙的時期，稱之為系統的忙期。它反映了系統中服務機構工作強度，是衡量服務系統利用效率的指標，即服務強度=忙期/服務總時間=1─閒期/服務總時間，閒期與忙期對應的系統的空閒時間，也就是系統連續保持空閒的時間長度。
四、符號約定
隊長，指在系統中的顧客數
指在系統中排隊等待服務的顧客數
指乙個顧客在系統中的停留時間，期望值
乙個顧客在系統中排隊等待的時間，期望值
平均到達率
五、問題分析與模型建立
排隊論中的記號是20世紀50年代初由引入的，通常由3~5個字母組成，形式為：
a/b/c/n
其中a表示輸入過程，b代表服務時間，c代表服務台數量，n表示系統空間數。如：
(1) m/m/s/∞表示輸入過程是poisson流，服務時間服從負指數分布，系統有s個服務台平行服務，系統容量為無窮大的等待制排隊系統。
(2) m/g/s/∞表示輸入過程是poisson流，服務時間服從一般概率分布，系統有s個服務台平行服務，系統容量為無窮大的等待制排隊系統。
（3）d/m/s/k表示顧客相繼到達時間間隔獨立、服從定長分布，服務時間服從負指數分布，系統有s個服務台平行服務，系統容量為k個的混合制系統。
(4) m/m/s/s表示輸入過程是poisson流，服務時間服從負指數分布，系統有s個服務台平行服務，顧客到達後不等待的損失制系統。
（5）m/m/s/k/k表示輸入過程是poisson流，服務時間服從負指數分布，系統有s個服務台平行服務，系統容量和顧客容量都為k個的閉合制系統
以單個體檢專案為例，可以將此系統當做m/m/s進行分析，其中體檢人員到達規律服從引數為的poisson分布，在時間內到達的人數服從的的分布為：
1）其單位時間到達的平均人數為，時間內到達的平均人數為。
體檢者接受服務的時間服從負指數分布，單位時間服務的平均人數為，服務時間的分布為：
2）每個人接受服務的平均時間為。
可以計算出穩定狀態下系統有個人的概率：
3）其中稱為系統的服務強度。
則系統全部空閒的概率為：
系統的平均隊長為：
4）系統的平均等待隊長為：
5）系統的平均逗留時間為：
6）系統的平均等待時間為：
7）從(4)~(6)式可以看出：
8）或9）
該公式稱為little公式，在其它排隊論模型中依然適用。
little公式的直觀意義：
表明排隊系統的隊長等於乙個顧客平均逗留時間內到達的顧客數。
表明排隊系統的等待隊長等於乙個顧客平均等待時間內到達的顧客數。
根據以上建立的模型，我們可以使用lingo軟體計算出系統的平均等待時間，平均逗留時間，平均佇列長度，等系統指標，從而可以對問題進行系統分析。
lingo中的相關函式及相關引數計算公式
1.顧客等待概率的公式：
10） 其中s是服務台或服務員的個數，load是系統到達負荷，即 load=λ/μ=r*t, 式中r表示λ, t表示1/μ, r表示λ,在下面的程式中，因此，r或λ是顧客的平均到達率，μ是顧客的平均被服務數，t 就是平均服務時間.
2.顧客的平均等待時間公式：
11）其中t/(s-load)是乙個重要指標，可以看成乙個「合理的長度間隔」。注意，當load→s時，此值趨於無窮。也就是說，系統負荷接近服從器的個數時，顧客平均等待時間將趨於無窮.
當load> s時, 上式wq無意義。其直觀的解釋是：當系統負荷超過服從器的個數時, 排隊系統達不到穩定的狀態,其隊將越排越長.
3.系統中顧客的平均逗留時間12）
4.系統中顧客的的平均隊長13）
5. 系統中顧客的的平均等待隊長
5.1單人體檢最優模型
假設每個專案單位時間內接受體檢的人數相同，即引數就有相同的值，而每個體檢專案由於其執行的複雜程度的不同，例如，胸透，核磁共振等專案所耗費的時間要多於測體重，視力所耗費的時間，因此，引數u的取值不相同。要為單名體檢者安排最優方案，我們就只需要考慮到其所需要體檢的具體專案，其他專案不再考慮反之內。對於這個m/m/s系統，我們可以將其看成n個並立案的m/m/1系統。
由於體檢人員的到達率符合possion分布，根據已知的和u的值，我們可以用lingo軟體計算出和的值。例如當每小時到達人數為8人，每小時可以體檢的人數為9人時， =53.33min， =7.
11人。
排隊的煩惱
第三，讓每個孩子都有機會排第一。在每次的活動中，每位幼兒都爭著去做，但教師只是選擇幾個平時能力比較強的幼兒擔任。時間長了，能力強的幼兒只能被動的接受，能力弱的只有羨慕的眼光。怎樣才能使每一位幼兒得到鍛鍊，又能讓他們互相謙讓著排好隊呢？我決定和孩子們一起討論一下，聽一聽他們的意見。於是，我說 那我們一...
關於排列組合中的分組排隊問題
型別 分組問題 例1有6本不同的書，計算以下情況的各種可能？將其平均分給甲乙丙三人 將其平均分成三堆 將其分成三堆，一堆1本，一堆2本,一堆3本 將其分成三堆，兩堆1本，一堆4本 將其分給甲乙丙三人,甲得1本,乙得2本丙得3本 分給甲乙丙三人,一人得1本,一人得2本,一人得3本.分給甲乙丙三人每人至...
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作者 鄧遠凌 語文教學與研究 綜合天地 2014年第03期 魯迅在 娜拉走後怎樣 的演講中說過 群眾，尤其是中國的，永遠是戲劇的看客，中國人不但自己做戲，演給別人看，而且把別人的所作所為都當作戲來看。祝福 正隱喻了這樣的一種狀態 魯鎮的人看祥林嫂與祥林嫂的被看 不幸遭遇 魯迅意識到 改變國民的精神 ...