2023年廣州數學中考一輪複習----二次函式
【知識講解】
一二次函式的基本概念
1．二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。這裡需要強調：二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
2. 二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵ 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：的性質：
結論：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2. 的性質
結論：上加下減。
總結：3. 的性質：
結論：左加右減。
4. 的性質：
總結：三二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
五二次函式圖象的畫法
六二次函式的性質
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
總結： 3. 常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
九、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4. 關於頂點對稱
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
十二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
② 當時，圖象與軸只有乙個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
【典型例題】
1．如圖，二次函式y=（x﹣2）2+m的圖象與y軸交於點c，點b是點c關於該二次函式圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函式y=kx+b的圖象經過該二次函式圖象上點a（1，0）及點b．
（1）求二次函式與一次函式的解析式；
（2）根據圖象，寫出滿足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值範圍．
2．（2012廣東）如圖，拋物線y=x2﹣x﹣9與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c，連線bc、ac．
（1）求ab和oc的長；
（2）點e從點a出發，沿x軸向點b運動（點e與點a、b不重合），過點e作直線l平行bc，交ac於點d．設ae的長為m，△ade的面積為s，求s關於m的函式關係式，並寫出自變數m的取值範圍；
（3）在（2）的條件下，連線ce，求△cde面積的最大值；此時，求出以點e為圓心，與bc相切的圓的面積（結果保留π）．
考點：二次函式綜合題。
3．（2012廣東深圳9分）如圖，已知△abc的三個頂點座標分別為a(－4，0)、b(1，0)、c(－2，6)．
(1)求經過a、b、c三點的拋物線解析式；
(2)設直線bc交y軸於點e，連線ae，求證：ae=ce;
(3)設拋物線與y軸交於點d，連線ad交bc於點f，試問以a、b、f，為頂點的三角形與△abc相似嗎？
請說明理由．
【考點】二次函式綜合題，待定係數法，曲線上點的座標與方程的關係，勾股定理，相似三角形的判定。
4．（2012廣州）如圖，拋物線y=與x軸交於a、b兩點（點a在點b的左側），與y軸交於點c．
（1）求點a、b的座標；
（2）設d為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△acd的面積等於△acb的面積時，求點d的座標；
（3）若直線l過點e（4，0），m為直線l上的動點，當以a、b、m為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．
5．（2012恩施州）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交於a（﹣1，0），c（2，3）兩點，與y軸交於點n．其頂點為d．
（1）拋物線及直線ac的函式關係式；
（2）設點m（3，m），求使mn+md的值最小時m的值；
（3）若拋物線的對稱軸與直線ac相交於點b，e為直線ac上的任意一點，過點e作ef∥bd交拋物線於點f，以b，d，e，f為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點e的座標；若不能，請說明理由；
（4）若p是拋物線上位於直線ac上方的乙個動點，求△apc的面積的最大值．
6. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本題滿分10分）
如圖，直線交軸於a點，交軸於b點，過a、b兩點的拋物線交軸於另一點c（3,0）.
⑴ 求拋物線的解析式;
⑵ 在拋物線的對稱軸上是否存在點q，使△abq是等腰三角形？若存在，求出符合條件的q點座標；若不存在，請說明理由.
7. （2011貴州安順，27，12分）如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，且a（一1，0）．
⑴求拋物線的解析式及頂點d的座標；
⑵判斷△abc的形狀，證明你的結論；
⑶點m(m，0)是x軸上的乙個動點，當cm+dm的值最小時，求m的值．
8．（10貴州遵義）如圖，已知拋物線的頂點坐
標為q，且與軸交於點c，與軸交於a、b兩
點（點a在點b的右側），點p是該拋物線上一動點，從點c
沿拋物線向點a運動（點p與a不重合），過點p作pd∥軸，
交ac於點d．
(1)求該拋物線的函式關係式；
(2)當△adp是直角三角形時，求點p的座標；
(3)在問題(2)的結論下，若點e在軸上，點f在拋物線上，
問是否存在以a、p、e、f為頂點的平行四邊形？若存在，
求點f的座標；若不存在，請說明理由．
一輪複習二次函式 1
課時14 二次函式 1 1 課標要求 1.通過對實際問題的分析，並體會二次函式的意義 2.會用描點法畫出二次函式的影象，通過影象上了解二次函式的性質。3.會用配方法將數字係數的二次函式的表示式化為，並能由此得到二次函式的頂點座標，說出影象的開口方向，畫出影象的對稱軸，並能解決簡單實際問題。4.會利用...
08屆一輪複習教案二次函式
一 課題 二次函式 二 教學目標 掌握二次函式的概念 圖象及性質 能利用二次函式研究一元二次方程的實根分布條件 能求二次函式的區間最值 三 教學重點 二次函式 一元二次方程及一元二次不等式之間的靈活轉化 四 教學過程 一 主要知識 1 二次函式的解析式的三種形式 一般式，頂點式，兩根式 2 二次函式...
中考二次函式複習
中考複習 二次函式 基礎鞏固 知識點一 對稱軸與頂點座標 說明 1 將二次函式一般形式化成頂點式，根據頂點式，可知頂點座標，對稱軸，函式的最值。2 對稱軸公式重點 當拋物線上兩點的縱座標y一致時，可求出對稱軸。型別一 頂點座標，配方求頂點座標 1 拋物線 是常數 的頂點座標是 a b c d 2 二...