2.6 二次函式
●知識梳理
二次函式的基本性質
（1）二次函式的三種表示法：
y=ax2+bx+c；y=a（x－x1）（x－x2）；y=a（x－x0）2+n.
（2）當a＞0，f（x）在區間［p，q］上的最大值為m，最小值為m，令x0=（p+q）.
若－＜p，則f（p）=m，f（q）=m；
若p≤－＜x0，則f（－）=m，f（q）=m；
若x0≤－＜q，則f（p）=m，f（－）=m；
若－≥q，則f（p）=m，f（q）=m.
●點選雙基
1.設二次函式f（x）=ax2+bx+c（a≠0），如果f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），則f（）等於
ab.－
解析：f（）=f（－）=.
答案：d
2.二次函式y=x2－2（a+b）x+c2+2ab的圖象的頂點在x軸上，且a、b、c為△abc的三邊長，則△abc為
a.銳角三角形b.直角三角形
c.鈍角三角形d.等腰三角形
解析：y=［x－（a+b）］2+c2+2ab－（a+b）2=［x－（a+b）］2+c2－a2－b2.
∴頂點為（a+b，c2－a2－b2）.
由題意知c2－a2－b2=0.
∴△abc為直角三角形.
答案：b
3.已知函式f（x）=4x2－mx＋5在區間［－2，＋∞）上是增函式，則f（1）的範圍是
解析：由y=f（x）的對稱軸是x=，可知f（x）在［，+∞）上遞增，由題設只需≤－2m≤－16，
∴f（1）=9－m≥25.
答案：a
4.函式f（x）=2x2－6x+1在區間［－1，1］上的最小值是最大值是
解析：f（x）=2（x－）2－.
當x=1時，f（x）min=－3；當x=－1時，f（x）max=9.
答案：－3 9
5.（2023年春季上海）若函式y=x2+（a+2）x+3，x∈［a，b］的圖象關於直線x=1對稱，則b
解法一：二次函式y=x2+（a+2）x+3的圖象關於直線x=1對稱，說明二次函式的對稱軸為1，即－=1.∴a=－4.
而f（x）是定義在［a，b］上的，即a、b關於x=1也是對稱的，∴ =1.∴b=6.
解法二：∵二次函式y=x2+（a+2）x+3的對稱軸為x=1，∴f（x）可表示為f（x）=（x－1）2+c，與原二次函式的表示式比較對應項係數，可得a+2=－2.∴a=－4，b的計算同解法一.
解法三：∵二次函式的對稱軸為x=1，∴有f（x）=f（2－x），比較對應項係數，∴a=－4，b的計算同解法一.
答案：6
●典例剖析
【例1】 設x、y是關於m的方程m2－2am+a+6=0的兩個實根，則（x－1）2+（y－1）2的最小值是
a.－12b.18c.8d.
剖析：由δ=（－2a）2－4（a+6）≥0，得a≤－2或a≥3.
於是有（x－1）2+（y－1）2=x2+y2－2（x+y）+2=（x+y）2－2xy－2（x+y）+2=（2a）2－2（a+6）－4a+2=4a2－6a－10=4（a－）2－.
由此可知，當a=3時，（x－1）2+（y－1）2取得最小值8.
答案：c
深化拓展
δ≥0是二次方程有實根的隱含條件.
【例2】 （2023年江蘇，13）二次函式y=ax2+bx+c（x∈r）的部分對應值如下表：
則不等式ax2+bx+c＞0的解集是
解析：由表知y=a（x+2）（x－3），又x=0，y=－6，代入知a=1.∴y=（x+2）（x－3）.
答案：【例3】 已知二次函式f（x）=ax2+bx+c的圖象與直線y=25有公共點，且不等式ax2+bx+c＞0的解是－＜x＜，求a、b、c的取值範圍.
解：依題意ax2+bx+c－25=0有解，故δ=b2－4a（c－25）≥0.又不等式ax2+bx+c＞0的解是－＜x＜，
∴a＜0且有－=－， =－.
∴b=a，c=－a.
∴b=－c，代入δ≥0得c2+24c（c－25）≥0.
∴c≥24.故得a、b、c的取值範圍為a≤－144，b≤－24，c≥24.
評述：二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）與二次函式y=ax2+bx+c的圖象聯絡比較密切，要注意利用圖象的直觀性來解二次不等式和二次方程的問題.
●闖關訓練
夯實基礎
1.下圖所示為二次函式y=ax2＋bx＋c的圖象，則｜oa｜·｜ob｜等於
abcd.無法確定
解析：|oa|·|ob|=|oa·ob|=|x1x2|=||=－（∵a＜0，c＞0）.
答案：b
2.已知f（x）=x2－2x+3，在閉區間［0，m］上有最大值3，最小值2，則m的取值範圍是
解析：通過畫二次函式圖象知m∈［1，2］.
答案：［1，2］
3.已知函式y=（ex－a）2+（e－x－a）2（a∈r，且a≠0），求y的最小值.
解：y＝（ex＋e－x）2－2a（ex＋e－x）＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，則f（t）＝t2－2at＋2a2－2.
∵t＝ex＋e－x≥2，∴f（t）＝（t－a）2＋a2－2的定義域為［2，＋∞）.
∵拋物線的對稱軸方程是t＝a，
∴當a≥2時，ymin＝f（a）＝a2－2；當a＜2且a≠0時，ymin＝f（2）＝2（a－1）2.
4.要使y=x2+4x（x≥a）有反函式，則a的最小值為
解析：要使y=x2+4x（x≥a）有反函式，則y=x2+4x在［a，+∞）上是單調函式.∴a≥－2.
答案：－2
5.已知函式f（x）=mx2+（m－3）x+1的圖象與x軸的交點至少有乙個在原點的右側，求實數m的取值範圍.
解：若m=0，則f（x）=－3x+1，顯然滿足要求.
若m≠0，有兩種情況：
①原點的兩側各有乙個，則
m＜0；
②都在原點右側，則
解得0＜m≤1.
綜上可得m∈（－∞，1］.
培養能力
6.設f（x）=x2－2ax+2.當x∈［－1，+∞）時，f（x）≥a恆成立，求實數a的取值範圍.
解：（1）當a≤－1時，f（x）min=f（－1）=3+2a，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立
f（x）min≥a，即3+2a≥aa≥－3.故此時－3≤a≤－1.
（2）當a＞－1時，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立f（x）min≥a，即2－a2≥aa2+a－2≤0－2≤a≤1.故此時－1＜a≤1.
由（1）（2）知，當－3≤a≤1時，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恆成立.
7.對於函式f（x），若存在x0∈r，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點.已知函式f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）.
（1）當a=1，b=－2時，求f（x）的不動點；
（2）若對於任意實數b，函式f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值範圍.
解：（1）當a=1，b=－2時，f（x）=x2－x－3=xx2－2x－3=0（x－3）（x+1）=0x=3或x=－1，∴f（x）的不動點為x=3或x=－1.
（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點對任意實數b，ax2+（b+1）x+b－1=x恒有兩個不等實根對任意實數b，δ=（b+1）2－4a（b－1）＞0恆成立對任意實數b，b2+2（1－4a）b+1+4a＞0恆成立δ′=4（1－4a）2－4（1+4a）＜0（1－4a）2－（1+4a）＜04a2－3a＜0a（4a－3）＜00＜a＜.
8.（2023年全國，文）設函式f（x）=x2+|x－2|－1，x∈r.
（1）判斷函式f（x）的奇偶性；
（2）求函式f（x）的最小值.
解：（1）f（x）=
∵f（0）=1≠0，
∴f（x）不是r上的奇函式.
∵f（1）=1，f（－1）=3，f（1）≠f（－1），
∴f（x）不是偶函式.
故f（x）是非奇非偶的函式.
（2）當x≥2時，f（x）=x2+x－3，此時f（x）min=f（2）=3.
當x＜2時，f（x）=x2－x+1，此時f（x）min=f（）=.
總之，f（x）min=.
**創新
9.二次函式f（x）=px2+qx+r中實數p、q、r滿足++=0，其中m＞0，
求證：（1）pf（）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）內恆有解.
證明：（1）pf（）=p［p（）2+q（）+r］
=pm［++］
=pm［－］
=p2m［］
=p2m［－］.
由於f（x）是二次函式，故p≠0.
又m＞0，所以pf（）＜0.
（2）由題意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r.
①當p＞0時，由（1）知f（）＜0.
若r＞0，則f（0）＞0，又f（）＜0，
∴f（x）=0在（0，）內有解；
若r≤0，則f（1）=p+q+r=p+（m+1）（－－）+r=－＞0，
又f（）＜0，
所以f（x）=0在（，1）內有解.
因此方程f（x）=0在（0，1）內恆有解.
②當p＜0時，同樣可以證得結論.
評述：（1）題目點明是「二次函式」，這就暗示著二次項係數p≠0，若將題中的「二次」兩個字去掉，所證結論相應更改.
（2）對字母p、r分類時先對哪個分類是有一定講究的.本題的證明中，先對p分類，然後對r分類顯然是比較好的.
●思悟小結
1.二次函式f（x）=ax2+bx+c的圖象形狀、對稱軸、頂點座標、開口方向等是處理二次函式問題的重要依據.
2.二次函式、一元二次方程和一元二次不等式是乙個有機的整體，要深刻理解它們相互之間的關係，能用函式思想來研究方程和不等式，便是抓住了關鍵.
●教師**中心
教學點睛
1.二次函式是最重要的初等函式之一，因為很多問題可化歸為二次函式來處理，所以必須熟練掌握二次函式的性質，並能靈活運用這些性質去解決問題.
2.求二次函式的解析式就是確定函式式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的值.二次函式也可以表示為y=a（x－x0）2+h或y=a（x－x1）（x－x2）（b2－4ac≥0）等形式，應提醒學生根據題設條件選用適當的表示形式，用待定係數法確定相應字母的值.
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