高考數學140分必讀之把關題解析30講（5）
1．北京豐台區二模
19. （本小題滿分14分）
設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2。
（i）求此雙曲線的漸近線的方程；
（ii）若a、b分別為上的點，且，求線段ab的中點m的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線；
（iii）過點能否作出直線，使與雙曲線交於p、q兩點，且。若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。
解：（i）
，漸近線方程為4分
（ii）設，ab的中點
則m的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓。（9分）
（iii）假設存在滿足條件的直線
設由（i）（ii）得
∴k不存在，即不存在滿足條件的直線14分
20. （本小題滿分13分）
已知數列的前n項和為，且對任意自然數都成立，其中m為常數，且。
（i）求證數列是等比數列；
（ii）設數列的公比，數列滿足：
，試問當m為何值時，
成立？解：（i）由已知
（2）由得：，即對任意都成立
（ii）當時，
由題意知
13分2．石家莊模擬
21．（本小題滿分12分）
設橢圓的左焦點為，上頂點為，過點與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸於，兩點，且分向量所成的比為8∶5．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若過三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程．
解：（1）設點其中．
由分所成的比為8∶5，得2分
4分而，
5分由①②知．
6分（2）滿足條件的圓心為，
8分圓半徑10分
由圓與直線：相切得，，
又．∴橢圓方程為12分
22．（本小題滿分14分）
（理）給定正整數和正數，對於滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，並求出取最大值時的首項和公差．
（文）給定正整數和正數，對於滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，並求出取最大值時的首項和公差．
（理）解：設公差為，則． 3分
4分7分
又．∴，當且僅當時，等號成立11分
13分當數列首項，公差時，，
∴的最大值為14分
（文）解：設公差為，則． 3分
6分又．
∴．當且僅當時，等號成立11分
13分當數列首項，公差時，．
∴的最大值為14分
3．唐山二模
21．（本小題滿分12分）
垂直於x軸的直線交雙曲線於m、n不同兩點，a1、a2分別為雙曲線的左頂點和右頂點，設直線a1m與a2n交於點p（x0，y0）
（ⅰ）證明：
（ⅱ）過p作斜率為的直線l，原點到直線l的距離為d，求d的最小值.
解（ⅰ）證明：
①直線a2n的方程為 ②……4分
①×②，得
（ⅱ）……10分
當……12分
22．（本小題滿分14分）
已知函式
（ⅰ）若
（ⅱ）若
（ⅲ）若的大小關係（不必寫出比較過程）.
解：（ⅰ）
（ⅱ）設
……6分
（ⅲ）在題設條件下，當k為偶數時
當k為奇數時……14分
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