證明題訓練二
1. (2009 湖北省荊門市) 如圖，半徑為2的⊙o內有互相垂直的兩條弦ab、cd相交於p點．
（1）求證：pa·pb=pc·pd；
（2）設bc中點為f，連線fp並延長交ad於e，求證：ef⊥ad；
（3）若ab=8，cd=6，求op的長．
2. (2010 福建省福州市) 如圖，是的直徑，弦於點，
點在上，．
（１）求證：∥；
（２）若，，求的直徑．
3. (2010 北京市) 已知：如圖，在△中，是邊上一點，⊙
過三點，．
（1）求證：直線是⊙的切線；
（2）如果，⊙的半徑為，求的長．
4. (2010 遼寧省本溪市) 已知：如圖，在△abc中，∠a=45°，以ab為直徑的⊙o交ac於點d，且ad=dc，co的延長線交⊙o於點e，過點e作弦ef⊥ab，垂足為點g.
（1）求證：bc是⊙o的切線.
（2）若ab=2，求ef的長.
5. (2010 山東省德州市) 如圖，在△abc中，ab=ac，d是bc中點，ae平分∠bad交bc於點e，點o是ab上一點，⊙o過a、e兩點, 交ad於點g，交ab於點f．
（1）求證：bc與⊙o相切；
（2）當∠bac=120°時，求∠efg的度數．
6. (2010 山東省煙台市) 如圖，以△abc的一邊ab為直徑作⊙o，⊙o與bc邊的交點d恰好為bc的中點.過點d作⊙o的切線交ac邊於點e.
（1）求證：de⊥ac；
（2）若∠abc=30°，求tan∠bco的值.
7. (2010 廣東省珠海市) 如圖，△內接於⊙，，，是邊上一點，是
優弧的中點，鏈結，，，.
（1）當的長度為多少時，△是以為底邊的等腰三角形？並證明；
（2）若，求的長.
8. (2010 湖南省懷化市) 如圖，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，於d,且ab=8,db=2.
（1）求證：△abc∽△cbd;
（2）求圖中陰影部分的面積（結果精確到0.1，參考資料）.
9. (2010 四川省樂山市) 如圖，是的直徑，是圓上一點，＝，鏈結過點作弦的平行線（1）求證：是的切線；
（2）已知求弦bc的長.
10. (2010 四川省內江市) 如圖，在中，點在斜邊上，以為直徑的與相切於
點（1）求證：平分
（2）若
①求的值；②求圖中陰影部分的面積.
證明題訓練二答案
第1題答案.
（1）∵∠a、∠c所對的圓弧相同，∴∠a＝∠c．
∴rt△apd∽rt△cpb，∴，∴pa·pb＝pc·pd；
（2）∵f為bc中點，△bpc為rt△，∴fp＝fc，∴∠c＝∠cpf．
又∠c＝∠a，∠dpe＝∠cpf，∴∠a＝∠dpe．∵∠a＋∠d＝90°，
∴∠dpe＋∠d＝90°．∴ef⊥ad．
（3）作om⊥ab於m，on⊥cd於n，由垂徑定理：
∴om2＝（2）2－42＝4，on2＝（2）2－32＝11
又易證四邊形monp是矩形，
∴op＝
第2題答案.
解：（1）證明：∵， ∴．……2分
又∵，∴． ……4分
5分 (2)連線.
為的直徑， ∴． ……7分
又∵， ∴．
9分 在rt△中, ，
∵，∴．
即的直徑為11分
第3題答案.
（1）證明：∵，，
∴．∵，
∴．∴．
∵ 點在⊙上，
∴ 直線是⊙的切線． 2分
（2）解：∵，，
可求．∵，，∴．
作於點．
∴．∴．
∵， 5分
第4題答案.
（1）證法
一、連線od，則od=oa1分）
∴∠ado= ∠a=45
∴∠aod=180°-45°-45°=90
∵o為ab中點，d為ac中點
∴od∥bc
∴∠abc=∠aod=90°
∴直徑ab⊥bc
∴bc是⊙o的切線5分）
證法二、連線bd1分）
∵ab是⊙o的直徑，
∴∠adb=90
又∵ad=dc，∴ab=cb
∴∠acd=∠cab=45°
∴∠abc=180°-∠acb-∠cab=90
又∵ab為ab是⊙o的直徑
∴bc是⊙o的切線5分）
（2）解：在rt△abc中，bc=ab·tan∠a=2×tan45°=2
在rt△obc中，∴oc7分
∵ab⊥ef ∴∠ego=90°
∴∠ego=∠abc
又∠eog=∠cob
∴△oeg∽△ocb8分
∴=∴=
eg∵直徑ab⊥ef
∴ef=2eg10分）
第5題答案.
（1）證明：連線oe1分
∵ab=ac且d是bc中點，
∴ad⊥bc．
∵ae平分∠bad，
∴∠bae=∠dae3分
∵oa=oe，
∴∠oae=∠oea．
∴∠oea=∠dae．
∴oe∥ad．
∴oe⊥bc．
∴bc是⊙o的切線6分
（2）∵ab=ac，∠bac=120°，
∴∠b=∠c=307分
∴∠eob =608分
∴∠eao =∠eag =309分
∴∠efg =3010分
第6題答案.
（1）證明：連線od
∵de為⊙o的切線，∴od⊥de2分
∵o為ab中點，d為bc中點，
∴od∥ac3分
∴de⊥ac4分
（2）過o作of⊥bd，則bf=fd5分
在rt△bfo中，∠b=30°，
∴of=ob，bf= ob7分
∵bd=dc，bf=fd，
∴fc=3bf=ob8分
在rt△ofc中，
tan∠bco10分
第7題答案.
解：（1）當時，△是以為底邊的等腰三角形……………（2分）
∵是優弧的中點，
∴∵， ∴又
∴△≌△
即△是以為底邊的等腰三角形………………（4分）
（2）由（1）可知：當時，，，
過作，垂足為，則， ………（6分）
∵，∴，
8分)9分)
第8題答案.
（1）證明：∵ab是⊙o的直徑，
acb=,又，∴∠cdb=……………………1分
在△abc與△cbd中，
∠acb=∠cdb=,∠b=∠b, ∴△abc∽△cbd3分
(2)解：∵△abc∽△cbd∴
∴ ∵ab=8,db=2, ∴cb=4.
在rt△abc中，…………4分
5分∴…………6分
第9題答案.
（1）證明：鏈結od，交ac於e，如圖所示，
∵＝，∴od⊥ac2分
又∵ac∥mn，∴od⊥mn3分
∴mn是⊙o的切線4分
（2）解：設oe＝x，
∵ab＝10，∴oa=5，ed＝5－x，
又∵ad =6
在和中，
∵，∴5－x＝6－（5－x），
解得7分
∵ab是⊙o的直徑，∴∴
∴oe是△abc的中位線，∴bc＝2oe＝2＝
10分第10題答案.
（1）證明：連線，則，. 1分
是的切線，
2分平分 4分
（2）①鏈結，為直徑，
又由（1）知 6分
7分， 8分
②在中，
9分10分11分12分
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