證明題訓練一
1. (2008 貴州省貴陽市) 如圖，在中，分別為邊的中點，連線．
（1）求證：．（5分）
（2）若，則四邊形是什麼特殊四邊形？請證明你的結論．（5分）
2. (2008 湖北省咸寧市) 如圖，在△abc 中，點o是ac邊上的乙個動點，過點o作直線mn∥bc，設mn交∠bca的角平分線於點e，交∠bca的外角平分線於點f．
（1）求證：eo=fo；
（2）當點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形？
並證明你的結論．
3. (2008 青海省) 如圖，在中，是邊上的一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線於，且，連線．
（1）求證：是的中點；
（2）如果，試猜測四邊形的形狀，並證明你的結論．
4. (2008 山東省聊城市) 如圖，矩形中，是與的交點，過點的直線與的延長線分別交於．
（1）求證：；
（2）當與滿足什麼關係時，以為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論．
5. (2008 山東省青島市) 已知：如圖，在正方形abcd中，g是cd上一點，延長bc到e，使ce＝cg，連線bg並延長交de於f．
（1）求證：△bcg≌△dce；
（2）將△dce繞點d順時針旋轉90°得到△dae ′ ，判斷四邊形e ′bgd是什麼特殊四邊形？並說明理由．
6. (2008 上海市) 如圖，已知平行四邊形中，對角線交於點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求證：四邊形是正方形．
7. (2007 山東省日照市) 如圖，在等腰rt△abc中，∠acb=90°，d為bc的中點，de⊥ab，垂足為e，
過點b作bf∥ac交de的延長線於點f，連線cf．
(1)求證：ad⊥cf；
(2)連線af，試判斷△acf的形狀，並說明理由．
8. (2007 山東省東營市) 已知：如圖，在△abc中，ab＝ac，ad⊥bc，垂足為點d，an是△abc外角∠cam的平分線，ce⊥an，垂足為點e，
（1）求證：四邊形adce為矩形；
（2）當△abc滿足什麼條件時，四邊形adce是乙個正方形？並給出證明．
9. (2008 重慶市) 已知：如圖，在梯形中，，，平分，，的延長線交於點．
求證：（1）；（2）．
10. (2009 四川省樂山市) 如圖，在正方形中，分別是邊上的點，鏈結並延長交的延長線於點
（1）求證：；
（2）若正方形的邊長為4，求的長．
證明題訓練一答案
第1題答案.
（1）在平行四邊形abcd中，∠a＝∠c，ad＝cb，ab＝cd．
∵e，f分別為ab，cd的中點
∴ae=cf 2分
在和中，
． 5分
（2）若ad⊥bd，則四邊形bfde是菱形． 1分
證明：，
是，且是斜邊（或） 2分
是的中點，
． 3分
由題意可知且，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形． 5分
第2題答案.
解（1）證明： ∵ce平分， ∴，
又∵mn∥bc
∴． 2分
同理，． 3分
∴ ． 4分
（2）當點o運動到ac的中點時，四邊形aecf是矩形． 5分
∵，點o是ac的中點． ∴四邊形aecf是平行四邊形． 6分
又∵，． ∴，即． 7分
∴四邊形aecf是矩形． 8分
第3題答案.
（1）證明：，
． （1分）
是的中點，．又，
． （2分）
． （3分），．
即是的中點． （4分）
（2）解：四邊形是矩形， （5分）
證明：，，
四邊形是平行四邊形． （6分）
，是的中點，
．即． （7分）
四邊形是矩形． （8分）
第4題答案.
（1）證明：四邊形是矩形，
（矩形的對角線互相平分），
（矩形的對邊平行）．
，．（a．a．s）． 4分
（2）當時，四邊形是菱形． 5分
證明：四邊形是矩形，
（矩形的對角線互相平分）．
又由（1）得，
，四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的
四邊形是平行四邊形） 6分
又，四邊形是菱形（對角線互相垂直的平行四
邊形是菱形）． 8分
（注：小括號內的理由不寫不扣分）．
第5題答案.
證明：（1） ∵四邊形abcd是正方形，
∴bc=cd，∠bcd=90°．
∵∠bcd +∠dce=180°，
∴∠bcd=∠dce=90°．
又∵cg=ce，
∴△bcg≌△dce4′
（2）∵△dce繞d順時針旋轉得到△dae ′，
∴ce=ae ′．
∵ce=cg，
∴cg=ae ′．
∵四邊形abcd是正方形，
∴be ′∥dg，ab=cd．
∴ab－ae ′ =cd－cg，
即be ′ =dg．
∴四邊形de ′ bg是平行四邊形8′
第6題答案.
證明：（1）四邊形是平行四邊形，． （2分）
又是等邊三角形，，即． （2分）
平行四邊形是菱形； （2分）
（2）是等邊三角形，． （1分）
，． （1分）
，．． （1分）
四邊形是菱形，． （2分）
四邊形是正方形． （1分）
第7題答案.
(1)證明：在等腰直角三角形abc中，
∵∠acb=90o，∴∠cba=∠cab=45°．
又∵de⊥ab，∴∠deb=90°，∴∠bde=45°．
又∵bf∥ac，∴∠cbf=90°，
∴∠bfd=45°=∠bde， ∴bf=db．…………2分
又∵d為bc的中點，∴cd=db，即bf=cd．
在rt△cbf和rt△acd中，
∴rt△cbf≌rt△acd，
∴∠bcf=∠cad4分
又∵∠bcf+∠gca=90°，
∴∠cad +∠gca =90°，即ad⊥cf6分
(2) △acf是等腰三角形．
理由：由(1)知： cf=ad，△dbf是等腰直角三角形，且be是∠dbf的平分線，
∴be垂直平分df，即af=ad8分
∴cf=af，
∴△acf是等腰三角形10分
第8題答案.
（1）證明：在△a bc中， ab＝ac，ad⊥bc．
∴ ∠bad＝∠dac． 2分
∵ an是△abc外角∠cam的平分線，
∴ ．∴ ∠dae＝∠dac＋∠cae＝180°＝90°． 4分
又 ∵ ad⊥bc，ce⊥an，
∴ ＝90°，
∴ 四邊形adce為矩形． 5分
（2）說明：①給出正確條件得1分，證明正確得3分．
②答案只要正確均應給分．
例如，當ad＝時，四邊形adce是正方形． 6分
證明：∵ ab＝ac，ad⊥bc於d．
∴ dc＝． 7分
又 ad＝，
∴ dc＝ad． 8分
由（1）四邊形adce為矩形，
∴ 矩形adce是正方形． 9分
第9題答案.
證明：（1）平分，． （1分）
在和中，
（3分）
． （4分）
（2）鏈結． （5分），，
． （6分）
，．． （7分）
，．，．
． （8分）
又是公共邊，． （9分）
． （10分）
第10題答案.
（1）證明：為正方形，
又（2）解：為正方形，
又正方形的邊長為4．
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