歷年中考數學重難點專題講座
第二講圖形位置關係
第一部分真題精講
【例1】(2010，豐台，一模)
已知：如圖，ab為⊙o的直徑，⊙o過ac的中點d，de⊥bc於點e．
（1）求證：de為⊙o的切線；
（2）若de=2，tanc=，求⊙o的直徑．
【思路分析】 本題和大興的那道圓題如出一轍，只不過這兩個題的三角形乙個是躺著乙個是立著，讓人懷疑他們是不是串通好了…近年來此類問題特別愛將中點問題放進去一併考察，考生一定要對中點以及中位線所引發的平行等關係非常敏感，尤其不要忘記圓心也是直徑的中點這一性質。對於此題來說，自然連線od，在△abc中od就是中位線，平行於bc。所以利用垂直傳遞關係可證od⊥de。
至於第二問則重點考察直徑所對圓周角是90°這一知識點。利用垂直平分關係得出△abc是等腰三角形，從而將求ab轉化為求bd，從而將圓問題轉化成解直角三角形的問題就可以輕鬆得解。
【解析】
（1）證明：聯結od． ∵ d為ac中點， o為ab中點，
∴ od為△abc的中位線． ∴od∥bc．
∵ de⊥bc， ∴∠dec=90°.
∴∠ode=∠dec=90°. ∴od⊥de於點d.
∴ de為⊙o的切線
（2）解：聯結db． ∵ab為⊙o的直徑，
∴∠adb=90°． ∴db⊥ac． ∴∠cdb=90°.
∵ d為ac中點， ∴ab=ac．
在rt△dec中，∵de=2 ，tanc=， ∴ec=. （三角函式的意義要記牢
由勾股定理得：dc=.
在rt△dcb 中， bd=．由勾股定理得： bc=5.
∴ab=bc=5
∴⊙o的直徑為5
【例2】（2010，海淀，一模）
已知：如圖，為的外接圓，為的直徑，作射線，使得平分，過點作於點.
（1）求證：為的切線；
（2）若，，求的半徑.
【思路分析】本題是一道典型的用角來證切線的題目。題目中除垂直關係給定以外，就只給了一條ba平分∠cbf。看到這種條件，就需要大家意識到應該通過角度來證平行。
用角度來證平行無外乎也就內錯角同位角相等，同旁內角互補這麼幾種。本題中，連oa之後發現∠abd=∠abc，而oab構成乙個等腰三角形從而∠abo=∠bao，自然想到傳遞這幾個角之間的關係，從而得證。第二問依然是要用角的傳遞，將已知角∠bad通過等量關係放在△abc中，從而達到計算直徑或半徑的目的。
【解析】證明：連線.
∵，∵，
∴. ∴ .
∴∥. （得分點，一定不能忘記用內錯角相等來證平行）
∵,∴.∴.
∵是⊙o半徑，
∴為⊙o的切線
（2）∵,，，
∴.由勾股定理，得.
∴.（通過三角函式的轉換來擴大已知條件）
∵是⊙o直徑，
∴.∴.
又∵, ,
∴. （這一步也可以用三角形相似直接推出bd/ab=ab/ac=sin∠bad）
在rt△中， ==5.
∴的半徑為.
【例3】（2010，昌平，一模）
已知：如圖，點是⊙的直徑延長線上一點，點
在⊙上，且
（1）求證：是⊙的切線；
（2）若點是劣弧上一點，與相交
於點，且，，
求⊙的半徑長.
【思路分析】 此題條件中有oa=ab=od，聰明的同學瞬間就能看出來ba其實就是三角形obd中斜邊od上的中線。那麼根據直角三角形斜邊中線等於斜邊一半這一定理的逆定理，馬上可以反推出∠obd=90°，於是切線問題迎刃而解。事實上如果看不出來，那麼連線ob以後像例2那樣用角度傳遞也是可以做的。
本題第二問則稍有難度，額外考察了有關圓周角的若干性質。利用圓周角相等去證明三角形相似，從而將未知條件用比例關係與已知條件聯絡起來。近年來中考範圍壓縮，圓冪定理等綱外內容已經基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例來計算，希望大家認真掌握。
【解析】
（1）證明：連線.
∵，∴.
∴是等邊三角形.
∴.∵，
∴.∴. （不用斜邊中線逆定理的話就這樣解，麻煩一點而已）
又∵點在⊙上，
∴是⊙的切線 .
（2）解：∵是⊙的直徑，
在中， ,
∴設則，
∴.∴. （設元的思想很重要）
∵,∴∽.
∴.∵,
∴.5分
【例4】（2010，密雲，一模）
如圖，等腰三角形中，，．以為直徑作交於點，交於點，，垂足為，交的延長線於點．
（1）求證：直線是的切線；
（2）求的值．
【思路分析】本題和前面略有不同的地方就是通過線段的具體長度來計算和證明。欲證ef是切線，則需證od垂直於ef，但是本題中並未給od和其他線角之間的關係，所以就需要多做一條輔助線連線cd，利用直徑的圓周角是90°，並且△abc是以ac,cb為腰的等腰三角形，從而得出d是中點。成功轉化為前面的中點問題，繼而求解。
第二問利用第一問的結果，轉移已知角度，借助勾股定理，在相似的rt三角形當中構造代數關係，通過解方程的形式求解，也考察了考生對於解三角形的功夫。
【解析】
（1）證明：如圖，鏈結，則．
∵，∴．
∴是的中點．
∵是的中點，
∴．∵於f．
∴．∴是的切線．
( 2 ) 鏈結，∵是直徑, ∴．（直徑的圓周角都是90°）
∴．∴．
設，則．
在中，．
在中，．（這一步至關重要，利用兩相鄰rt△的臨邊構建等式，事實上也可以直接用直角三角形斜邊高分比例的方法）
∴．解得．即．
在中．∴．
【例5】2010，通州，一模
如圖，平行四邊形abcd中，以a為圓心，ab為半徑的圓交ad於f，交bc於g，延長ba交圓於e.
（1）若ed與⊙a相切，試判斷gd與⊙a的位置關係，並證明你的結論；
（2）在（1）的條件不變的情況下，若gc＝cd＝5，求ad的長.
【思路分析】本題雖然是圓和平行四邊形的位置關係問題，但是依然考察的是如何將所有條件放在最基本的三角形中求解的能力。判斷出dg與圓相切不難，難點在於如何證明。事實上，除本題以外，門頭溝，石景山和宣武都考察了圓外一點引兩條切線的證明。
這類題目最重要是利用圓半徑相等以及兩個圓心角相等來證明三角形相似。第二問則不難，重點在於如何利用角度的倍分關係來判斷直角三角形中的特殊角度，從而求解。
【解析】
（1）結論：與相切
證明：連線
∵點、在圓上，
∴∵四邊形是平行四邊形，∴∴
∵∴∴ （做多了就會發現，基本此類問題都是要找這一對角，所以考生要善於把握已知條件往這個上面引）在和∴
∴∵與相切∴∴
∴∴與相切
（2）∵，四邊形是平行四邊形
∴，， ∵∴
∴∴（很多同學覺得題中沒有給出特殊角度，於是無從下手，其實用倍分關係放在rt三角形中就產生了30°和60°的特殊角）
∴【總結】 經過以上五道一模真題，我們可以得出這類題型的一般解題思路。要證相切，做輔助線連線圓心與切點自不必說，接下來就要考慮如何將半徑證明為是圓心到切線的距離，即「連半徑，證垂直」。近年來中考基本只要求了這一種證明切線的思路，但是事實上證明切線有三種方式。
為以防遇到，還是希望考生能有所了解。
第一種就是課本上所講的先連半徑，再證垂直。這樣的前提是題目中所給條件已經暗含了半徑在其中。例如圓外接三角形，或者圓與線段交點這樣的。把握好各種圓的性質關係就可以了。
第二種是在題目沒有給出交點狀況的情況下，不能貿然連線，於是可以先做垂線，然後通過證明垂線等於半徑即可，就是所謂的「先證垂直後證半徑」。例如大家看這樣一道題， 如圖△abc中，ab=ac，點o是bc的中點，與ab切於點d，求證：與ac也相切。
該題中圓0與ac是否有公共點是未知的，所以只能通過o做ac的垂線，然後證明這個距離剛好就是圓半徑。如果考生想當然認為有乙個交點，然後直接連ac與圓交點這樣證明，就誤入歧途了。
第三種是比較棘手的一種，一方面題目中並未給出半徑，也未給出垂直關係，所以屬於半徑和垂直都要證明的題型。例如看下面一道題：
如圖，中，ab=ac，=，o、d將bc三等分，以ob為圓心畫，求證：與ac相切。
本題中並未說明一定過a點，所以需要證明a是切點，同時還要證明o到ac垂線的垂足和a是重合的，這樣一來就非常麻煩。但是換個角度想，如果連線ao之後再證明ao=ob，ao⊥ac，那麼就非常嚴密了。
（提示：做垂線，那麼垂足同時也是中點，通過數量關係將ao，bo都用ab表示出來即可證明相等，而△aoc中利用直角三角形斜邊中線長是斜邊一半的逆定理可以證出直角。）
至於本類題型中第二問的計算就比較簡單了，把握好圓周角，圓心角，以及可能出現的弦切角所構成的線段，角關係，同時將條件放在同乙個rt△當中就可以非常方便的求解。總之，此類題目難度不會太大，所以需要大家做題速度快，準確率高，為後面的代幾綜合體留出空間。
第二部分發散思考
【思考1】（2009，海淀，一模）
如圖，已知ab為⊙o的弦，c為⊙o上一點，∠c=∠bad，且bd⊥ab於b.
（1）求證：ad是⊙o的切線；
（2）若⊙o的半徑為3，ab=4，求ad的長.
【思路分析】此題為去年海淀一模題，雖然較為簡單,但是統計下來得分率卻很低. 因為題目中沒有給出有關圓心的任何線段，所以就需要考生自己去構造。同一段弧的圓周角相等這一性質是非常重要的，延長db就會得到乙個和c一樣的圓周角，利用角度關係，就很容易證明了。
第二問考解三角形的計算問題，利用相等的角建立相等的比例關係，從而求解。
【思考2】2009，西城，一模
已知：如圖，ab為⊙o的弦，過點o作ab的平行線，交
⊙o於點c，直線oc上一點d滿足∠d=∠acb.
（1）判斷直線bd與⊙o的位置關係，並證明你的結論；
（2）若⊙o的半徑等於4，，求cd的長.
【思路分析】本題也是非常典型的通過角度變換來證明90°的題目。重點在於如何利用∠d=∠acb這個條件，去將他們放在rt三角形中找出相等，互餘等關係。尤其是將∠obd拆分成兩個角去證明和為90°。
歷年中考證明題
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第一部分真題精講 例1 2010，豐台，一模 已知 如圖，ab為 o的直徑，o過ac的中點d，de bc於點e 1 求證 de為 o的切線 2 若de 2，tanc 求 o的直徑 例2 2010，海淀，一模 已知 如圖，為的外接圓，為的直徑，作射線，使得平分，過點作於點.1 求證 為的切線 2 若，...
廣西南寧歷年中考數學簡單幾何證明題
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