高考數學140分30講（11）
1．高考2005浙江文
19．如圖，已知橢圓的中心在座標原點，焦點f1，f2在x軸上，長軸a1a2的長為4，左準線l與x軸的交點為m，|ma1|∶|a1f1|＝2∶1．
(ⅰ)求橢圓的方程；
(ⅱ)若點p為l上的動點，求∠f1pf2最大值．
本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。
解：(ⅰ)設橢圓方程為，半焦距為，則
(ⅱ)20．已知函式和的圖象關於原點對稱，且．
(ⅰ)求函式的解析式；
(ⅱ)解不等式；
(ⅲ)若在上是增函式，求實數的取值範圍．
本題主要考查函式圖象的對稱、二次函式的基本性質與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。滿分14分。
解：(ⅰ)設函式的圖象上任意一點關於原點的對稱點為，則
∵點在函式的圖象上
∴(ⅱ)由
當時，，此時不等式無解。
當時，，解得。
因此，原不等式的解集為。
（ⅲ）①②ⅰ）
ⅱ）2．高考2005上海理
21．(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分.
對定義域分別是df、dg的函式y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 當x∈df且x∈dg
規定: 函式h(x)= f(x當x∈df且xdg
g(x) 當xdf且x∈dg
(1) 若函式f(x)=,g(x)=x2,x∈r,寫出函式h(x)的解析式;
(2) 求問題(1)中函式h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常數,且α∈[0,π],請設計乙個定義域為r的函式y=f(x),及乙個α的值,使得h(x)=cos4x,並予以證明.
[解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)
1x=1
(2) 當x≠1時, h(x)= =x-1++2,
若x>1時, 則h(x)≥4,其中等號當x=2時成立
若x<1時, 則h(x)≤ 0,其中等號當x=0時成立
∴函式h(x)的值域是(-∞,0] ∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
則g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
於是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+sin2x, α=,
g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,
於是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.
22．(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分8分, 第3小題滿分6分.
在直角座標平面中,已知點p1(1,2),p2(2,22),┄,pn(n,2n),其中n是正整數.對平面上任一點a0,記a1為a0關於點p1的對稱點, a2為a1關於點p2的對稱點, ┄, an為an-1關於點pn的對稱點.
(1)求向量的座標;
(2)當點a0在曲線c上移動時, 點a2的軌跡是函式y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為週期的週期函式,且當x∈(0,3]時,f(x)=lgx.求以曲線c為圖象的函式在(1,4]上的解析式;
(3)對任意偶數n,用n表示向量的座標.
[解](1)設點a0(x,y), a0為p1關於點的對稱點a0的座標為(2-x,4-y),
a1為p2關於點的對稱點a2的座標為(2+x,4+y),
∴=.(2) ∵=,
∴f(x)的圖象由曲線c向右平移2個單位,再向上平移4個單位得到.
因此, 曲線c是函式y=g(x)的圖象,其中g(x)是以3為週期的週期函式,且當x∈(-2,1]時,g(x)=lg(x+2)-4.於是,當x∈(1,4]時,g(x)=lg(x-1)-4.
另解設點a0(x,y), a2(x2,y2),於是x2-x=2,y2-y=4,
若3< x2≤6,則0< x2-3≤3,於是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).
當1< x≤4時, 則3< x2≤6,y+4=lg(x-1).
∴當x∈(1,4]時,g(x)=lg(x-1)-4.
(3) =,
由於,得
=2()
=2(++┄+)=2=
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