新考研大綱如約而至。對考生而言，關注點應從對考綱的關注轉到如何更有效地複習上。筆者作為奮戰在教學一線的數學老師，考慮到這階段的同學已經歷了基礎階段和暑期的複習，已具備一定基礎，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識體系，重難點也未必完全把握。
所以，借助此次與廣大考生交流的機會，跨考教育數學教研室劉瑋宇老師梳理了高等數學中的重難點，以期給正在全力攀登的考生搭一把手。
專題二不等式證明
不等式證明是真題中常考大題的地方，其中2023年的字母不等式的證明題有不少同學就找不到思路。下面我們梳理不等式證明的基本題型以及處理思路。
1. 基本思路
考慮一道題：證明f(x)>g(x),x屬於(a,b)。如何證明呢?
能否帶入驗證呢?即便有愚公移山的精神也不行!因為太行王屋二山再大，體積質量畢竟有限;而(a,b)中的實數確是真真切切的無窮多，所以帶入驗證的工作成了貨真價實的「子子孫孫無窮匱也」。
那有什麼可行的思路呢?注意到，待證不等式可恒等變形為f(x)-g(x)>0,如果令f(x)=f(x)-g(x),進一步可化為f(x)>0,x屬於(a,b)。如何證明乙個函式在乙個範圍恆大於零呢?
僅需證明其在該範圍的最小值大於或等於0即可。而找乙個函式在乙個區間(考慮(a,b)對應的閉區間)上的最小值應該不難。
好，我們由此得到了證明函式不等式的基本思路：移項構造輔助函式，結合單調性證明該函式的最小值大於等於零即可。具體解題有什麼步驟嗎?
基本步驟如下：1)移項構造輔助函式;2)計算區間端點處的函式值(常有乙個端點處的函式值為0，不妨設左端點的函式值為0);3)僅需證明函式單增即可，也即證明導函式大於或等於0對於開區間成立。
2.若干變形
以上是函式不等式證明的基本思路，真題中有什麼變形呢?首先，如果待證的不等式形式較複雜，得考慮先化簡：若不等式兩邊有公因子，考慮約去公因子(考慮公因子的正負對不等號的影響);若待證不等式有分母，考慮去分母;若待證不等式是指數式，考慮不等號兩邊取對數。
其次，在第2)個計算步驟中，若端點函式值不存在，那怎麼辦?用極限代替即可。再者，「僅需證明函式單增」只是咱們的美好願望，如果實現不了呢?
從影象上看，已知函式在區間左端點的函式值為零，如果函式單增，那麼函式在整個區間的影象確實是位於x軸的上方;而如果函式如果不是單增，那影象也有可能位於x軸的上方。換言之，函式單增僅是不等式成立的充分條件。不必擔心，若願望落空，回到最基本的思路即可：
證明函式在區間上的最小值大於等於零即可。
3. 字母不等式
以去年的那道證明題為例，要證的是不等式，但不含x而含有字母a，b，如何處理?以往的真題中出現過x1、x2這些非x的字母。這類不等式統稱字母不等式。
處理方式出乎意料的簡單：把其中乙個字母看成常量，另乙個字母看成變數(或者替換為x)，字母不等式就化為函式不等式，進而按照函式不等式的處理思路處理即可。趙本山的小品中老虎把烏龜看成穿上馬甲的蛇鬧出了笑話，咱們現在把字母不等式看成穿上馬甲的函式不等式不僅不是笑話，而且是正確的處理方式。
4. 積分不等式
積分不等式長得比較嚇人，但我要套用毛爺爺那句話：一切積分不等式都是紙老虎!這不是盲目自信，而是事實確是如此。
積分不等式也屬函式不等式，只不過穿上了積分這個馬甲。處理思路是函式不等式的思路結合積分的性質。
2016考研數學大綱專題解析之極限
新考研大綱如約而至。對考生而言，關注點應從對考綱的關注轉到如何更有效地複習上。筆者作為奮戰在教學一線的數學老師，考慮到這階段的同學已經歷了基礎階段和暑期的複習，已具備一定基礎，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識體系，重難點也未必完全把握。
所以，借助此次與廣大考生交流的機會，跨考教育數學教研室劉瑋宇老師梳理了高等數學中的重難點，以期給正在全力攀登的考生搭一把手。
專題一極限
考試對極限的考察以計算為主。下面我們梳理一下極限計算的方法。
1. 四則運算
此法可簡要概括為「若極限式中每一部分(和差式中的每一項或乘除式的每個因子)的極限存在，則和的極限等於極限的和，差的極限等於極限的差，乘積的極限等於極限的乘積，商的極限等於極限的商(分母不為零)」。
而在實際做題過程中，我們往往不容易觀察出每一部分的極限都存在，而是只觀察出一部分的極限存在，這時能否利用四則運算法則往下寫呢?我們需分成加和乘(減看成特殊的加，除看成特殊的乘)兩種運算討論：兩個函式相加，取極限，若能觀察出一項的極限存在，若另一項的極限存在，則由四則運算法則，和的極限等於極限的和，可以往下算;若另一項的極限不存在，可以證明(用反證法)整個極限不存在，也即「收斂+發散=發散」，而這種情況在真題中的極限計算題中還未出現過。
綜上，兩個函式相加取極限，只要一項極限存在，就可以放心大膽地、一馬平川地往下算。萬一另一項的極限不存在呢?那回答整個極限不存在即可。
下面討論乘的情況，兩個函式相乘取極限，若乙個函式的極限存在，那得追問一句：極限值是否為0?若為0，則不能把該函式的極限算出(因為可能出現「0乘無窮」這種未定式);若極限值不為0，則後面的討論類似於加的情況。
2. 洛必達法則
洛必達法則知名度很高。提起極限計算的方法，有同學別的方法想不起來，唯獨對洛必達念念不忘，可謂情有獨鍾。到了這個階段，對於此法，首先要注意條件。
洛必達法則有三個條件：1)0分之0或無窮分之無窮型;2)分子、分母在乙個範圍(若極限過程為x趨近於一點，則「區域性」為該點的某去心鄰域)可導;3)分子、分母分別求導後的極限存在。具體函式僅判斷第1)條一般不會出問題，因為第2)、3)條在多數情況下成立。
但對抽象函式的極限問題要小心，可不可導，連不連續對洛必達法則的運用都有影響。此外，泰勒公式以強大著稱，但有一種情況不得不請出不那麼強大的洛必達法則幫忙，誰這麼大牌?原來是含有變限積分的極限。
一般得借助洛必達法則削去積分號。
3. 等價無窮小替換
這種方法大家都比較熟悉。首先要記住常見的等價無窮小替換公式。接下來就是廣義化的思想方法(如x趨於0時，sinx等價於x，那麼x的位置換成趨近於0的函式行不行?
行!這就是廣義化的思想)。再者，等價無窮小替換常在洛必達法則之前用，這樣可以簡化洛必達法則中的求導運算。
注意，易錯點是只有整個極限式的乘除因子才能替換。
4. 泰勒公式
泰勒公式可以說是計算極限的最強大的**。有同學戲稱「一把泰勒走天下，洛必達之類都是浮雲」。確有幾分道理。
該公式有兩種形式：帶皮亞諾餘項的公式和帶拉格朗日餘項的公式。前者用來算極限，後者用來證明。
算極限首先應記清8個常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,
ln(1+x),(1+x)^a在0點展開的泰勒公式)，接下來就是帶入、化簡計算的功夫了。泰勒公式展示其威力的場合還有抽象函式。有乙個訊號會提示我們考慮泰勒公式，即題目中出現高階導數(二階及以上階數的導數稱為高階導數)。
5. 冪指型函式的處理
冪指型函式是指底數字置和指數字置都有自變數的函式。此類函式在考試中可能讓我們求極限或求導數。處理該類函式問題有萬能的一招：指數對數恒等式轉化。
6. 夾逼定理
首先要熟悉該定理的內容。有數列和函式兩種形式。若乙個數列夾在兩外兩個數列之間(並不要求對所有的n成立，對充分大的n成立即可)，且在n趨於無窮時，兩頭的數列收斂到同乙個數，則中間的數列被逼迫著極限也存在且極限值為同乙個數。
函式形式的夾逼定理類似理解。
接著應熟悉乙個結論：無窮小乘以有界量=無窮小。該結論是夾逼定理的推論。可用其解題。
最後，一種長得非常有型的極限計算題——n項分母互不相同的分式的和的極限，可考慮夾逼定理，也可能考慮定積分定義。限於篇幅，本文在此點到為止，不詳述。
7. 單調有界定理
該定理內容並不難：單調遞增且有上界的數列必有極限;單調遞減且有下界的數列必有極限。此處需注意，不是嚴格的單調也可以。
該定理數一數二同學尤其要注意，因為真題在此處考過多次大題。該定理的一種比較典型的應用場合是遞推式數列的極限問題。一般情況下，證明數列的極限存在就可考慮該定理。
凱程教育：
凱程考研成立於2023年，國內首家全日制集訓機構考研，一直從事高階全日制輔導，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高階考研教研隊伍組成，為學員全程高質量授課、答疑、測試、督導、報考指導、方法指導、聯絡導師、複試等全方位的考研服務。
凱程考研的宗旨：讓學習成為一種習慣；
凱程考研的價值觀口號：凱旋歸來，前程萬里；
信念：讓每個學員都有好最好的歸宿；
使命：完善全新的教育模式，做中國最專業的考研輔導機構；
激情：永不言棄，樂觀向上；
敬業：以專業的態度做非凡的事業；
服務：以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業的服務，團隊合作，為學員服務，為學員引路。
如何選擇考研輔導班：
在考研準備的過程中，會遇到不少困難，尤其對於跨專業考生的專業課來說，通過報輔導班來彌補自己複習的不足，可以大大提高複習效率，節省複習時間，大家可以通過以下幾個方面來考察輔導班，或許能幫你找到適合你的輔導班。
師資力量：師資力量是考察輔導班的首要因素，考生可以針對輔導名師的輔導年限、輔導經驗、歷年輔導效果、學員評價等因素進行綜合評價，詢問往屆學長然後選擇。判斷師資力量關鍵在於綜合實力，因為任何一門課程，都不是由
一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結果。還要深入了解教師的學術背景、資料著述成就、輔導成就等。凱程考研名師雲集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。
而有的機構只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。
對該專業有輔導歷史：必須對該專業深刻理解，才能深入輔導學員考取該校。在考研輔導班中，從來見過如此輝煌的成績：
凱程教育拿下2015五道口金融學院狀元，考取五道口15人，清華經管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿大金融碩士合計20人，北師大教育學7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學方面，凱程在人大、北大、貿大、政法、武漢大學、公安大學等院校斬獲多個法學和法碩狀元，更多專業成績請檢視凱程**。在凱程官方**的光榮榜，成功學員經驗談**特別多，都是凱程戰績的最好證明。對於如此高的成績，凱程集訓營班主任邢老師說，凱程如此優異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數是跨專業考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優異的成績。
最好的辦法是直接和凱程老師詳細溝通一下就清楚了。
2019考研數學大綱解析及備考指導
鐵軍 您好 主持人 我們先請鐵老師看一下今年考研數學大綱有什麼樣的變化，請您跟同學們介紹一下。鐵軍 2012年數學的考研大綱發得比較晚，今天是9月15號，終於在同學何老師的期盼中發下來了。數學大綱我們進行了詳細的對比，2012年考研的數學大綱和2011年相比沒有任何變化，包括標點符號都沒有變化。20...
2019考研數學大綱解析與後續複習規劃
文都教育 各位辛勤備考的文都學子，你們好！2017考研數學大綱終於浮出水面。和我們文都數學老師 的一樣，今年的數學大綱較往年相比，沒有任何變化。這說明我們之前的授課安排和複習計畫都是科學合理的。大家只需按照自己既定的複習計畫，一步步去執行。與此同時，為了使大家的複習備考更加順利，特做如下提醒 一.2...
2023年教育學考研大綱解析
溫馨提示 2015年歷史學考研大綱與2014年相比幾門學科課程考點沒有什麼變動。2015年研究生入學的初試開始時間提前至2014年12月27日！時間緊迫，請大家調整好複習進度！對我們考研的同學來講，其中一件大事就是一年一度的新大綱公布！今年9月13日新大綱如期與大家見面了，我們太奇考研教育的老師就今...