第一部分集合與函式
1、在集合運算中一定要分清代表元的含義.
[舉例1]已知集，求.
分析：集合p、q分別表示函式與在定義域r上的值域，所以，，.
[舉例2]函式，其中p、m是實數集r的兩個非空子集，又規定：.給出下列四個判斷：
（1）若，則；（2）若，則；
（3）若則；（4）若則.
其中正確的判斷有
a、1個b、2個c、3個d、4個.
分析：這是一道比較難的題，涉及到函式的概念，集合的意義.是函式的值域，是函式的值域.
取，可知（1）、（3）不正確.由函式的定義可知，函式定義域內的任意乙個值只能與乙個函式值對應，所以若，只能是，此時，（2）正確.對於命題（4）：
設則且，若，顯然有且，所以有；若，由則，由，則.若有，則，所以，則，所以，則.同理可證，若，則有.
（4）也正確，選b.
2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
[舉例]若且，求的取值範圍.
分析：集合a有可能是空集.當時，，此時成立；當時，，若，則，有.綜上知，.
注意：在集合運算時要注意學會轉化等.
3、充要條件的判定可利用集合包含思想判定：若，則a是b的充分條件；若，則a是b的必要條件；若且即，則a是b的充要條件.有時利用「原命題」與「逆否命題」等價，「逆命題」與「否命題」等價轉換去判定也很方便.
充要條件的問題要十分細心地去辨析：「哪個命題」是「哪個命題」的充分（必要）條件；注意區分：「甲是乙的充分條件（甲乙）」與「甲的充分條件是乙（乙甲）」，是兩種不同形式的問題.
［舉例］設有集合，則點的＿＿＿＿＿＿＿條件是點；點是點的＿＿＿＿＿＿＿條件.
分析：集合m是圓外的所有點的集合，n是直線上方的點的集合.顯然有.（充分不必要、必要不充分）
4、掌握命題的四種不同表達形式，會進行命題之間的轉化，會正確找出命題的條件與結論.能根據條件與結論判斷出命題的真假.
［舉例］命題：「若兩個實數的積是有理數，則此兩實數都是有理數」的否命題是它是＿＿＿＿（填真或假）命題.
5、若函式的影象關於直線對稱，則有或等，反之亦然.注意：兩個不同函式影象之間的對稱問題不同於函式自身的對稱問題.
函式的影象關於直線的對稱曲線是函式的影象，函式的影象關於點的對稱曲線是函式的影象.
[舉例1]若函式是偶函式，則的影象關於＿＿＿＿＿＿對稱.
分析：由是偶函式，則有，即，所以函式的影象關於直線對稱.或函式的影象是由函式的影象向右平移乙個單位而得到的，的影象關於軸對稱，故函式的影象關於直線對稱.
[舉例2]若函式滿足對於任意的有，且當時，則當時＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由知，函式的影象關於直線對稱，因而有成立.，則，所以.即時.
6、若函式滿足：則是以為週期的函式.注意：不要和對稱性相混淆.若函式滿足：則是以為週期的函式.（注意：若函式滿足，則也是週期函式）
［舉例］已知函式滿足：對於任意的有成立，且當時，，則＿＿＿＿＿＿.
分析：由知：，所以函式是以2為週期的週期函式.，，故意原式值為0.
7、奇函式對定義域內的任意滿足；偶函式對定義域內的任意滿足.注意：使用函式奇偶性的定**題時，得到的是關於變數的恒等式而不是方程.
奇函式的影象關於原點對稱,偶函式影象關於y軸對稱；若函式是奇函式或偶函式，則此函式的定義域必關於原點對稱；反之，若一函式的定義域不關於原點對稱，則該函式既非奇函式也非偶函式.若是奇函式且存在，則；反之不然.
［舉例1］若函式是奇函式，則實數＿＿＿＿＿＿＿；
分析：注意到有意義，必有，代入得.這種特值法在解填空、選擇題時若能靈活運用，則事半功倍.
[舉例2]若函式是定義在區間上的偶函式，則此函式的值域是
分析：函式是偶函式，必有，得；又由是偶函式，因而.即，所以此函式的值域為.
8、奇函式在關於原點對稱的區間內增減性一致，偶函式在關於原點對稱的區間內增減性相反.若函式的影象關於直線對稱，則它在對稱軸的兩側的增減性相反；此時函式值的大小取決於變數離對稱軸的遠近.解「抽象不等式（即函式不等式）」多用函式的單調性，但必須注意定義域.
［舉例］若函式是定義在區間上的偶函式，且在上單調遞增，若實數滿足：，求的取值範圍.
分析：因為是偶函式，等價於不等式，又此函式在上遞增，則在遞減.所以，解得.
9、要掌握函式影象幾種變換：對稱變換、翻摺變換、平移變換.會根據函式的影象，作出函式的影象.（注意：影象變換的本質在於變數對應關係的變換）；要特別關注的影象.
［舉例］函式的單調遞增區間為
分析：函式的影象是由函式的影象經過下列變換得到的：先將函式的影象上各點的橫座標縮短到原來的（或將函式的影象向上平移1個單位）得到函式的影象，再將函式的影象作關於軸對稱得到函式的影象，再將函式的影象向右平移個單位，得到函式的影象，再將函式的影象向下平移1個單位得到函式，最後將函式的影象在軸下方部分翻摺到軸上方得到函式的影象.
注意在變化過程中函式影象與座標軸的交點的變化（尤其是與軸的交點不要搞錯），從影象上可以看出此函式的單調遞增區間是與.
需要注意的是：函式影象變化過程：與變化過程：不同.前者是先作關於軸對稱後平移，而後者是先平移後再作關於直線對稱.
10、研究方程根的個數、超越方程（不等式）的解（特別是含有參量的）、二次方程根的分布、二次函式的值域、三角函式的性質（包括值域）、含有絕對值的函式及分段函式的性質（包括值域）等問題常利用函式影象來解決.但必須注意的是作出的圖形要盡可能準確：即找準特殊的點（函式影象與座標軸的交點、拐點、極值點等）、遞增遞減的區間、最值等.
［舉例1］已知函式，若不等式的解集不為空集，則實數的取值範圍是
分析：不等式的解集不為空集，亦即函式的影象上有點在函式的影象的上方.
函式的影象是軸上方的半
支拋物線，函式的影象是過點
斜率為的直線.當時直線與拋物線相切，由影象知：.（注意圖中的虛線也滿足題義）
[舉例2]若曲線與直線沒有公共點，則應當滿足的條件是 .
分析：曲線是由與組成，它們與軸的交點為和，影象如圖（實線部分）.可以看出
若直線曲線的影象沒有公共點，此
直線必與軸平行，所以，.
11、一條曲線可以作為函式影象的充要條件是：曲線與任何平行於y軸的直線至多只有乙個交點.
乙個函式存在反函式的充要條件是：定義域與值域中元素須一一對應，反應在影象上平行於軸的直線與影象至多有乙個交點.單調函式必存在反函式嗎？
（是的,並且任何函式在它的每乙個單調區間內總有反函式）.還應注意的是：有反函式的函式不一定是單調函式，你能舉例嗎？
［舉例］函式，（），若此函式存在反函式，則實數的取值範圍是
分析：由函式存在反函式的充要條件是定義域與值域中的元素一一對應，平行於軸的直線與函式的影象至多只有乙個交點.又由二次函式影象的對稱軸為直線知：
或必存在反函式，或必不存在反函式.當時如何討論？注意到函式在區間上遞減，在上遞增，所以只要或即可.
亦即或.綜上知，實數的取值範圍是
.12、求乙個函式的反函式必須標明反函式的定義域，反函式的定義域不能單從反函式的表示式上求解，而是求原函式的值域.求反函式的表示式的過程就是解（關於的）方程的過程.
注意：函式的反函式是唯一的，尤其在開平方過程中一定要注意正負號的確定.
［舉例］函式的反函式為
分析：令，則.因為，所以，則，.又原函式的值域為，所以原函式的反函式為.（若是從反函式表示式得求得就不是反函式的定義域）.
13、原函式的定義域是反函式的值域，原函式的值域是反函式的定義域；原函式與反函式的影象關於直線對稱；若函式的定義域為a，值域為c，,則有..需要特別注意一些復合函式的反函式問題.如反函式不是.
［舉例1］已知函式的反函式是，則函式的反函式的表示式是
分析：求函式的反函式是解方程的過程，即用表示然後將互換即得反函式的表示式.由可得.所以函式的反函式為.
[舉例2]已知，若，則＿＿＿＿.
分析：由得，所以.
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