專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略
【命題趨向】
三角函式與平面的向量的綜合主要體現為交匯型，在高考中，主要出現在解答題的第乙個試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現在：三角函式恒等變換公式、性質與圖象與平面的向量的數量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著不同程度的交匯，在高考中是乙個熱點.如08年安徽理科第5題(5分)，考查三角函式的對稱性與向量平移、08年山東文第8題理第15題(5分)考查兩角和與差與向量垂直、08福建文理第17題(12分)考查三角函式的求值與向量積、07的天津文理第15題(4分)考查正餘弦定理與向量數量積等.
根據2023年考綱預計在09年高考中解答題仍會涉及三角函式的基本恒等變換公式、誘導公式的運用、三角函式的影象和性質、向量的數量積、共線(平行)與垂直的充要條件條件．主要考查題型：(1)考查純三角函式函式知識，即一般先通過三角恒等變換公式化簡三角函式式，再求三角函式的值或研究三角函式的圖象及性質；(2)考查三角函式與向量的交匯，一般是先利用向量知識建立三角函式關係式，再利用三角函式知識求解；(3)考查三角函式知識與解三角形的交匯，也就是將三角變換公式與正餘弦定理交織在一起.
【考試要求】
1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定義．了解餘切、正割、餘割的定義．掌握同角三角函式的基本關係式．掌握正弦、余弦的誘導公式．了解週期函式與最小正週期的意義．
2．掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
3．能正確運用三角公式進行簡單三角函式式的化簡、求值和恒等式證明．
4．理解正弦函式、余弦函式、正切函式的影象和性質，會用「五點法」畫正弦函式、余弦函式和函式y=asin(ωx+φ)的簡圖，理解a，ω，φ的物理意義．
5．掌握正弦定理、餘弦定理，並能初步運用它們解斜三角形．
6．掌握向量的加法和減法．掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．
7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的座標的概念，掌握平面向量的座標運算．
8．掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．
9．掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點座標公式，並且能熟練運用．掌握平移公式．
【考點透視】
向量具有代數運算性與幾何直觀性的「雙重身份」，即可以象數一樣滿足「運算性質」進行代數形式的運算，又可以利用它的幾何意義進行幾何形式的變換.而三角函式是以「角」為自變數的函式，函式值體現為實數，因此平面向量與三角函式在「角」之間存在著密切的聯絡.同時在平面向量與三角函式的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰性.
主要考點如下：
1．考查三角式化簡、求值、證明及求角問題.
2．考查三角函式的性質與影象，特別是y=asin(x+)的性質和影象及其影象變換.
3．考查平面向量的基本概念，向量的加減運算及幾何意義，此類題一般難度不大，主要用以解決有關長度、夾角、垂直、平行問題等.
4．考查向量的座標表示，向量的線性運算，並能正確地進行運算.
5．考查平面向量的數量積及運算律(包括座標形式及非座標形式)，兩向量平行與垂直的充要條件等問題.
6．考查利用正弦定理、餘弦定理解三角形問題.
【典例分析】
題型一三角函式平移與向量平移的綜合
三角函式與平面向量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個知識系統中**不盡相同，但它們實質是一樣的，它們都統一於同一座標系的變化前後的兩個圖象中.解答平移問題主要注意兩個方面的確定：(1)平移的方向；(2)平移的單位.
這兩個方面就是體現為在平移過程中對應的向量座標.
【例1】 把函式y＝sin2x的圖象按向量＝(－，－3)平移後，得到函式y＝asin(ωx＋)(a＞0，ω＞0，||＝)的圖象，則和b的值依次為
a．，－3 b．，3 c．，－3 d．－，3
【分析】 根據向量的座標確定平行公式為，再代入已知解析式可得.還可以由向量的座標得圖象的兩個平移過程，由此確定平移後的函式解析式，經對照即可作出選擇.
【解析1】 由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y＋3＝sin2(x＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知＝，b＝－3，故選c.
【解析2】 由向量＝(－，－3)，知圖象平移的兩個過程，即將原函式的圖象整體向左平移個單位，再向下平移3個單位，由此可得函式的圖象為y＝sin2(x＋)－3，即y＝sin(2x＋)－3，由此知＝，b＝－3，故選c.
【點評】 此類題型將三角函式平移與向量平移有機地結合在一起，主要考查分析問題、解決問題的綜合應用能力，同時考查方程的思想及轉化的思想.本題解答的關鍵，也是易出錯的地方是確定平移的方向及平移的大小.
題型二三角函式與平面向量平行(共線)的綜合
此題型的解答一般是從向量平行(共線)條件入手，將向量問題轉化為三角問題，然後再利用三角函式的相關知識再對三角式進行化簡，或結合三角函式的圖象與民性質進行求解.此類試題綜合性相對較強，有利於考查學生的基礎掌握情況，因此在高考中常有考查.
【例2】 已知a、b、c為三個銳角，且a＋b＋c＝π.若向量＝(2－2sina，cosa＋sina)與向量＝(cosa－sina，1＋sina)是共線向量.
（ⅰ）求角a；
（ⅱ）求函式y＝2sin2b＋cos的最大值.
【分析】 首先利用向量共線的充要條件建立三角函式等式，由於可求得a角的正弦值，再根據角的範圍即可解決第(ⅰ)小題；而第(ⅱ)小題根據第(ⅰ)小題的結果及a、b、c三個角的關係，結合三角民恒等變換公式將函式轉化為關於角b的表示式，再根據b的範圍求最值.
【解】 （ⅰ）∵、共線，∴(2－2sina)(1＋sina)＝(cosa＋sina)(cosa－sina)，則sin2a＝，
又a為銳角，所以sina＝，則a＝.
（ⅱ）y＝2sin2b＋cos＝2sin2b＋cos
＝2sin2b＋cos(－2b)＝1－cos2b＋cos2b＋sin2b
＝sin2b－cos2b＋1＝sin(2b－)＋1.
∵b∈(0，)，∴2b－∈(－，)，∴2b－＝，解得b＝，ymax＝2.
【點評】 本題主要考查向量共線(平行)的充要條件、三角恒等變換公式及三角函式的有界性.本題解答有兩個關鍵：（1）利用向量共線的充要條件將向量問題轉化為三角函式問題；（2）根據條件確定b角的範圍.
一般地，由於在三角函式中角是自變數，因此解決三角函式問題確定角的範圍就顯得至關重要了.
題型三三角函式與平面向量垂直的綜合
此題型在高考中是乙個熱點問題，解答時與題型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要條件將向量問題轉化為三角問題，再利用三角函式的相關知識進行求解.此類題型解答主要體現函式與方程的思想、轉化的思想等.
【例3】 已知向量＝(3sinα,cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且⊥．
（ⅰ）求tanα的值；
（ⅱ）求cos(＋)的值．
【分析】 第(ⅰ)小題從向量垂直條件入手，建立關於α的三角方程，再利用同角三角函式的基本關係可求得tanα的值；第(ⅱ)小題根據所求得的tanα的結果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用兩角和與差的三角公式求得最後的結果．
【解0．而＝（3sinα，cosα），＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
故·＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．
由於cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．
∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（捨去）．∴tanα＝－．
（ⅱ）∵α∈（，2
由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（捨去）．∴sin＝，cos＝－，
∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－
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專題一 三角與向量的交匯題型分析及解題策略 命題趨向 三角函式與平面的向量的綜合主要體現為交匯型，在高考中，主要出現在解答題的第乙個試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現在 三角函式恒等變換公式 性質與圖象與平面的向量的數量積及平面向量的平行 垂直 夾角及模之間都有著不同程度的...
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