第二講：命題與條件
命題屬性：能夠判斷出真假。
1、 命題有四種形式：
原命題：；
逆命題：；
否命題：；
逆否命題：.
若命題甲命題乙，且命題乙命題甲，則命題甲和命題乙稱為等價命題.原命題和逆否命題為等價命題,逆命題和否命題為等價命題.
提示：等價交換是解題的一種很好的策略。
2、 若,則叫做的充分條件;
若,則叫做的必要條件;
這就是必要性的由來；
若,則是的充要條件.
3、 若則是的充分條件；若則是的必要條件；若則是的充要條件。
提示：從集合角度來判斷充分必要條件更科學。
例：「」是「」的條件。
用集合的角度來解：
表示平面上除掉（2，3）這個點，表示平面上除掉這條直線的點，所以後乙個是前乙個的子集，故「」是「」的必要而非充分條件。
提示：解有關命題的題目應該把握住的幾個關鍵點：
1 命題的形式；
2 充分必要條件的推理方向；
3 怎樣用集合的包含關係來理解分析集合的推理。
例1． 寫出命題：「」的逆命題、否命題、逆否命題、並判斷它們的真假。
解：逆命題：；
否命題：；
逆否命題：.
因為當x=2時, ,所以原命題為真命題,從而逆否命題也為真命題.
逆命題為假命題.它的乙個反例是取x=1,此時》2,但.由此知否命題也為假命題.
例2． 已知乙個命題的逆命題是：「若整數m、n不具有相同的奇偶性，則mn和m+n也不具有相同的奇偶性」，寫出其餘命題的形式，並判斷其真偽。
解：原命題：若mn和m+n不具有相同的奇偶性，則整數m、n不具有相同的奇偶性；
否命題：若mn和m+n具有相同的奇偶性，則整數m、n具有相同的奇偶性；
逆否命題：若m、n具有相同的奇偶性，則mn和m+n具有相同的奇偶性。
因為m、n不具有相同的奇偶性，所以，mn為偶數，m+n為奇數，mn和m+n不具有相同的奇偶性，所以逆命題正確，否命題和逆命題互為逆否命題，是等價命題，從而否命題也真命題；
若m、n均為奇數，則mn為奇數，m+n為偶數，mn和m+n奇偶性不同，所以，逆否命題為假命題，原命題和逆否命題是等價命題，所以原命題也為假命題。
例3.有限集合s中元素的個數記為，設a，b都為有限集合，給出下列命題：
（1）的充要條件是
（2）的必要條件是
（3）的充分條件
（4）的充要條件是
以上真命題的序號是
解：根據集合的交集、子集等概念，再結合充分必要條件的定義可得：真命題為（1），（2）；
例4． 命題甲：數列是公差不為0的等差數列；命題乙：數列的前n項，判斷甲、乙是否為等價命題，並說明理由。
解：若是公差不為0的等差數列，設首項為
該數列的前n項和
令若數列的且n項和
則當時，
又當n=1時，也滿足上式，所以
所以所以是公差不為0的等差數列。
所以，命題甲和命題乙為等價命題。
提示：通過這道題，我們可以得出：對於，則數列為等差數列。那麼，對於呢？其實，當c為0時，就是前面討論的結論；當時，則第一項為a+b+c，從第二項開始為等差數列。
例5． （1）已知角則的（ ）
a、充分但非必要條件 b、必要但非充分條件 c、充分必要條件 d、既非充分又非必要條件
解：若若，取
所以，應選a
（2）（09安徽省高考題）下列選項中，是的必要不充分條件的是
（a），
（b的影象不過第二象限
（c（d在上為增函式
解：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可舉反例。選a
(3)設或或是的充分條件，求m的取值範圍。
解：設是
由圖得：
解得：或
的取值範圍是
分析：此題給出了是的充分條件，根據子集與推出關係的等價轉換，可以用數軸來表示它們之間的關係，這更加直觀、明確。
例6．（2023年上海高考理科試題第15題）設是定義在正整數集上的函式，且滿足；「當成立時，總可推出「成立」。那麼。下列命題總成立的是
（a）若成立，則當時，均有成立。
（b）若成立，則當時，均有成立。
（c）若成立，則當時，均有成立。
（d）若成立，則當時，均有成立。
解：分析命題之間的關係，要用到原命題等價於逆否命題，也就有當成立時，總可推出成立」。等價於：
成立總可推出成立。對比上述（a）選擇支，若成立，只能推出：當時，均有成立。
所以（a）不對；（b）選擇支：若成立，能推出當，；（b）不成立；（c）選擇支，若成立，只能推出：當時，均有成立，所以正確的答案是（d）。
（ ）a、充分但非必要條件 b、必要但非充分條件
c、充分必要條件 d、既非充分又非必要條件
解:若取，則充分性不成立；若取且，這兩個不等式的解集都為，，必要性也不成立。答案選d
例8． 寫出為偶函式的乙個充分不必要條件。（答案不唯一，只需寫出乙個即可），你能否寫出必要不充分條件，充要條件嗎？
解：取或者取
如果要找出充要條件，則由定義得：
；例9．已知三個一元二次方程：中至少有乙個方程有實根，求實數的取值範圍。
解：考慮三個方程都沒有實根的情形：
故所求的範圍是
例10．給出如下兩個命題：命題是的反函式，且命題：集合求實數a的取值範圍，使命題中有且只有乙個為真命題。
解：化簡命題，得若p真q假,則有若p假q真,則有故當時，命題中有且只有乙個為真命題
例11． 設，若「對於一切實數x，f（x）>0」是」對一切實數x,g(x)>0」的充分條件,求實數m的取值範圍.
解:對於一切實數x, (這裡a=(-1,3))
當m=0,g(x)=2ax,因為g(0)=0,所以不可能對一切實數x,g(x)>0,因此,對一切實數x,g(x)>0
「對一切實數x,f(x)>0」是」對一切實數x,g(x)>0」的充分條件,必須且只須
提示：這裡的關鍵點是將（「對於一切實數x，f（x）>0」是」對一切實數x,g(x)>0」的充分條件）這個條件轉化為第乙個條件a的取值範圍是第二個條件a的取值範圍的子集。
記住這個觀點：命題條件問題轉化為集合問題來解決。
例12． 已知拋物線點a（3，0）b（0，3），求拋物線與線段ab有兩個不同交點的充要條件是什麼？
ab方程為x+y-3=0，，
自測練習題：
（1）為奇函式是的（ d ）條件。
a.充要b.充分非必要
c.必要非充分 d.既非充分也非必要
提示：顯然推不出為奇函式；那為奇函式能否推出呢，反例，故為奇函式是的.既非充分也非必要條件。
（2）是在第三或第四象限的（ c ）
a.充要b.充分非必要
c.必要非充分 d.既非充分也非必要
（3）空間四邊形的四邊相等是的（ b ）條件。
a.充要b.充分非必要
c.必要非充分 d.既非充分也非必要
（4）是有極限的（ b ）條件。
a.充要b.充分非必要
c.必要非充分 d.既非充分也非必要
提示：反例，當時，有極限。
5、求證：關於的方程有一根為的充要條件是：。
充分性： ， ，即
是方程的乙個根。
必要性：是方程的乙個根，
可得即。
關於的方程有一根為的充要條件是：。
第2講命題與條件 學生
第二講命題和條件 班級 姓名 學號 一 填空題 1 設是方程的兩實數根 則是的條件。2 是成立的條件。3 已知命題 1 該命題的乙個充分非必要條件是 2 該命題的乙個必要非充分條件是 4 命題 面積不相等的兩個三角形不全等 的逆否命題是 5 有4個命題 1 沒有男生愛踢足球 2 所有男生都不愛踢足球...
11 2命題邏輯與條件判斷
課題教學目標 上課時間 1 理解命題邏輯的幾個常用聯結詞 或 且 非 的意義 2 能將一些簡單的命題翻譯為命題公式，或者說出命題公式所表示的實際意義，並判斷這些命題公式的真 假命題邏輯的幾個常用聯結詞 或 且 非 的意義將命題翻譯為命題公式以及判斷命題公式的真假 教學環節與內容 預習展示反饋 總第課...
1 2命題及其關係 充分條件與必要條件
一 填空題 本大題共12小題，每小題5分，共60分 1 命題 若x2 1，則 12 已知集合m b 是假命題，則x的取值範圍是 10 已知p q 若q是p的必要非充分條件，則實數m的取值範圍是 11 以下四個命題中，真命題的序號是 abc中，a b的充要條件是sin a sin b 函式y f x ...