江西省高安中學2009-2010學年度下學期期末考試
高二年級數學（理）科試題
一、選擇題：（共12 小題，每小題5分，共60分）
1．圓的半徑是1，圓心的極座標是（1,0），則這個圓的極座標方程是（ ）
abcd.
2.已知，不等式中等號成立的充要條件是（ ）
abcd.
3.極座標方程表示的曲線是（ ）
a.兩條相交直線b.兩條射線c.一條直線d.一條射線
4.不等式的解集是（ ）
a. bcd.
5.已知橢圓的極座標方程是，則它的短軸長是（ ）
abcd.
6．曲線（為引數）與軸的交點座標是（ ）
a.（8,0），（-7,0） b.（-8,0），（-7,0） c.（8,0），（7,0） d.（-8,0），（7,0）
7．不等式的解集是（ ）
abcd.
8.引數方程（為引數），表示的曲線是（ ）
a.半圓b.半個橢圓c.雙曲線的一支d.兩條射線
9．若直線（為引數）與圓相切，則直線的傾斜角是（ ）
ab.或cd.或
10．若，則的最大值是（ ）
abcd.-1
11．比1 小的三個正數之和為2，設，則的取值範圍是（ ）
abcd.
12．已知滿足方程，則的最大值是( )
ab． cd．
二、填空題：（共 4小題， 每小題4分，共16分）
13.若，且、、三點共線，則的最小值為
14.極座標方程所表示的曲線的直角座標方程是
15.已知都是正數，且則的最小值是
16.函式的最大值是此時
三、解答題：（共 6小題， 共74分）
17.（12分）拋物線c：的焦點為.
（1）求過點且傾斜角為的直線的引數方程.（2）求以為極點，x軸正半軸為極軸，拋物線c的極座標方程.（3）直線與拋物線c相交a，b兩點，求的值.
18.（12分）如圖：在三稜錐中，,是直角三角形， ，，點分別為的中點．(1)求證：
(2）求直線與平面所成的角的大小； (3)求二面角的正切值．
19．（12分）在某次趣味運動會中，甲、乙、丙三名選手進行單迴圈賽（即每兩人比賽一場），共賽三場，每場比賽勝者得1分，輸者得0分，沒有平局；在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為．（1）求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率；（2）求三人得分相同的概率；(3）設在該小組比賽中甲得分數為，求．
20．（12分）設都是正數.
（1）用柯西不等式證明：
（2）用排序不等式證明：
21.（12分）
設橢圓c：的左焦點為f，上頂點為a，過點a與af垂直的直線分別交橢圓c與x軸正半軸於點p、q，且. ⑴求橢圓c的離心率；⑵若過a、q、f三點的圓恰好與直線：
相切，求橢圓c的方程.
22. (14分)已知函式和點，過點作曲線的兩條切線，切點分別為．
（1）設，試求函式的表示式；
（2）是否存在，使得與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）的條件下，若對任意的正整數，在區間內總存在個實數，使得不等式成立，求的最大值．
江西省高安中學2009-2010學年度下學期期末考試
高二年級數學（理）答案
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13、1614、 15、 16、；
三．解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17、（本小題滿分12分）
（1）（t為引數） ………………4分
（28分
（3） 112分
18、（本小題滿分12分）解法一:（1） 鏈結bd．在中，.
∵，點為ac的中點，∴．………1分
又∵即bd為pd在平面abc內的射影，
2分 ∵分別為的中點,∴,
4分 （2）∵∴．
鏈結交於點，∵，,∴，
∴為直線與平面所成的角，.…………………6分
.∵∴，，又∵，
∴.∵，∴，
∴在rt△中，，∴．……………8分
（3）過點作於點f，鏈結，∵
∴即bm為em在平面pbc內的射影，
∴∴為二面角的平面角．……………………11分
∵中12分
解法二：建立空間直角座標系解答（略）
19、（本小題滿分12分）
解：（1）設甲獲小組第一且丙獲小組第二為事件a,
(a4分
（2）設三場比賽結束後，三人得分相同為事件b,
即每人勝一場輸兩場,有以下兩種情形：
甲勝乙，乙勝丙，丙勝甲，概率為=,………………6分
甲勝丙，丙勝乙，乙勝甲，概率為=,
三人得分相同的概率為8分
（3）可能的取值為0、1、2,
p（=0）=,p（=1）=+=,
p（=211分
e=0+1+212分
20、（本小題滿分12分）
證：（1）用柯西不等式證明如下：因為
所以（2）用排序不等式證明如下：設，其中是的乙個排列，則
，. 由排序不等式知，反序和最小，從而
21、（本小題滿分12分）
解⑴設q（，0），由f（-c，0）
a（0，b）知
設，得…2分
因為點p在橢圓上，所以…………4分
整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，,故橢圓的離心率e=………6分
⑵由⑴知7分
9分於是f（－a，0） q，
△aqf的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|fq|=a……………………11分
所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為……12分
22、（本小題滿分14分）
（ⅰ）設、兩點的橫座標分別為、，
2分 ∴切線的方程為：，
又切線過點， 有，
即， （1）
同理，由切線也過點，得．（2）
由（1）、（2），可得是方程的兩根
，把（* ）式代入,得,
因此，函式的表示式為4分
（ⅱ）當點、與共線時，，
＝，即＝，
化簡，得6分
，． （3）
把（*）式代入（3），解得
存在，使得點、與三點共線，且8分
（ⅲ）易知在區間上為增函式，
則10分
依題意，不等式對一切的正整數恆成立，
，即對一切的正整數恆成立12分
， ，． 由於為正整數
又當時，存在，，對所有的滿足條件．
因此，的最大值為14分
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