初一數學競賽講座
第3講奇偶分析
我們知道，全體自然數按被2除的餘數不同可以劃分為奇數與偶數兩大類。被2除餘1的屬於一類，被2整除的屬於另一類。前一類中的數叫做奇數，後一類中的數叫做偶數。
關於奇偶數有一些特殊性質，比如，奇數≠偶數，奇數個奇數之和是奇數等。靈活、巧妙、有意識地利用這些性質，加上正確的分析推理，可以解決許多複雜而有趣的問題。用奇偶數性質解題的方法稱為奇偶分析，善於運用奇偶分析，往往有意想不到的效果。
例1 右表中有15個數，選出5個數，使它們
的和等於30，你能做到嗎？為什麼？
分析與解：如果乙個乙個去找、去試、去算，
那就太費事了。因為無論你選擇哪5個數，它們的
和總不等於30，而且你還不敢馬上斷言這是做不到的。最簡單的方法是利用奇偶數的性質來解，因為奇數個奇數之和仍是奇數，表中15個數全是奇數，所以要想從中找出5個使它們的和為偶數，是不可能的。
例2 小華買了一本共有96張練習紙的練習本，並依次將它的各面編號（即由第1面一直編到第192面）。小麗從該練習本中撕下其中25張紙，並將寫在它們上面的50個編號相加。試問，小麗所加得的和數能否為2000？
解：不能。
由於每一張上的兩數之和都為奇數，而25個奇數之和為奇數，故不可能為2000。
說明：「相鄰兩個自然數的和一定是奇數」，這條性質幾乎是顯然的，但在解題過程中，能有意識地運用它卻不容易做到，這要靠同學們多練習、多總結。
例3 有98個孩子，每人胸前有乙個號碼，號碼從1到98各不相同。試問：能否將這些孩子排成若干排，使每排中都有乙個孩子的號碼數等於同排中其餘孩子號碼數的和？並說明理由。
解：不能。
如果可以按要求排成，每排中都有乙個孩子的號碼數等於同排中其餘孩子號碼數的和，那麼每一排中各號碼數之和都是某乙個孩子號碼數的2倍，是個偶數。所以這98個號碼數的總和是個偶數，但是這98個數的總和為
1+2+…+98=99×49，是個奇數，矛盾！所以不能按要求排成。
例4 如右圖，把圖中的圓圈任意塗上紅色或藍色。
問：有無可能使得在同一條直線上的紅圈數都是奇數？
請說明理由。
解：不可能。
如果每條直線上的紅圈數都是奇數，而五角星有五
條邊，奇數個奇數之和為奇數，那麼五條線上的紅圈共
有奇數個（包括重複的）。從另乙個角度看，由於每個
圓圈是兩條直線的交點，則每個圓圈都要計算兩次，因
此，每個紅圈也都算了兩次，總個數應為偶數，得出矛盾。所以，不可能使得在同一條直線上的紅圈數都是奇數。
說明：上述兩題都是從兩個不同的角度去分析處理同乙個量，而引出矛盾的。
例5 有20個1公升的容器，分別盛有1，2，3，…，20厘公尺3水。允許由容器a向容器b倒進與b容器內相同的水（在a中的水不少於b中水的條件下）。問：
在若干次倒水以後能否使其中11個容器中各有11厘公尺3的水？
解：不可能。
在倒水以後，含奇數立方厘公尺水的容器數是不會增加的。事實上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）來表示兩個分別盛有偶數及偶數，偶數及奇數，奇數及奇數立方厘公尺水的容器。於是在題中條件限制下，在倒水後，（偶，偶）仍為（偶，偶）；而（偶，奇）會成為（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）卻成為（偶，偶）。
在任何情況下，盛奇數立方厘公尺水的容器沒有多出來。
因為開始時有10個容器裡盛有奇數立方厘公尺的水，所以不會出現有11個盛有奇數立方厘公尺水的容器。
例6 乙個俱樂部裡的成員只有兩種人：一種是老實人，
永遠說真話；一種是**，永遠說假話。某天俱樂部的全
體成員圍坐成一圈，每個老實人兩旁都是**，每個**
兩旁都是老實人。外來一位記者問俱樂部的成員張三：
「俱樂部裡共有多少成員？」張三答：「共有45人。」
另乙個成員李四說：「張三是老實人。」請判斷李四是老
實人還是**？
分析與解：根據俱樂部的全體成員圍坐一圈，每個老實人兩旁都是**，每個**兩旁都是老實人的條件，可知俱樂部中的老實人與**的人數相等，也就是說俱樂部的全體成員總和是偶數。而張三說共有45人是奇數，這說明張三是**，而李四說張三是老實人，說了假話，所以李四也是**。
說明：解答此題的關鍵在於根據題設條件匯出老實人與**的人數相等，這裡實質上利用了對應的思想。
類似的問題是：
圍棋盤上有19×19個交叉點，現在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間地放，並使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉點上放著白子（或黑子）。問：能否把黑子全移到原來的白子的位置上，而白子也全移到原來黑子的位置上？
提示：仿例6。答：不能。
例7 某市五年級99名同學參加數學競賽，競賽題共30道，評分標準是基礎分15分，答對一道加5分，不答記1分，答錯一道倒扣1分。問：所有參賽同學得分總和是奇數還是偶數？
解：對每個參賽同學來說，每題都答對共可得165分，是奇數。如答錯一題，就要從165分中減去6分，不管錯幾道，6的倍數都是偶數，165減去偶數，差還是奇數。
同樣道理，如有一題不答，就要減去4分，並且不管有幾道題不答，4的倍數都是偶數，因此，從總分中減去的仍是偶數，所以每個同學的得分為奇數。而奇數個奇數之和仍為奇數，故99名同學得分總和一定是奇數。
例8 現有足夠多的蘋果、梨、桔子三種水果，最少要分成多少堆（每堆都有蘋果、梨和桔子三種水果），才能保證找得到這樣的兩堆，把這兩堆合併後這三種水
果的個數都是偶數。
分析與解：當每堆都含有三種水果時，三種水果的奇偶情況如下表：
可見，三種水果的奇偶情況共有8種可能，所以必須最少分成9堆，才能保證有兩堆的三種水果的奇偶性完全相同，把這兩堆合併後這三種水果的個數都是偶數。
說明：這裡把分堆後三種水果的奇偶情況一一枚舉出來，使問題一目了然。
例9 有30枚2分硬幣和8枚5分硬幣，5角以內共有49種不同的幣值，哪幾種幣值不能由上面38枚硬幣組成？
解：當幣值為偶數時，可以用若干枚2分硬幣組成；
當幣值為奇數時，除1分和3分這兩種幣值外，其餘的都可以用1枚5分和若干枚2分硬幣組成，所以5角以下的不同幣值，只有1分和3分這兩種幣值不能由題目給出的硬幣組成。
說明：將全體整數分為奇數與偶數兩類，分而治之，逐一討論，是解決整數問題的常用方法。
若偶數用2k表示，奇數用2k+1表示，則上述討論可用數學式子更為直觀地表示如下：
當幣值為偶數時，2k說明可用若干枚2分硬幣表示；
當幣值為奇數時，2k+1=2（k-2）+5，
其中k≥2。當k=0，1時，2k+1=1，3。1分和3分硬幣不能由2分和5分硬幣組成，而其他幣值均可由2分和5分硬幣組成。
例10 設標有a，b，c，d，e，f，g的7盞燈順次排成一行，每盞燈安裝乙個開關。現在a，c，d，g這4盞燈亮著，其餘3盞燈沒亮。小華從燈a開始順次拉動開關，即從a到g，再從a開始順次拉動開關，他這樣拉動了999次開關後，哪些燈亮著，哪些燈沒亮？
解：一盞燈的開關被拉動奇數次後，將改變原來的狀態，即亮的變成熄的，熄的變成亮的；而一盞燈的開關被拉動偶數次後，不改變原來的狀態。由於999=7×142+5，
因此，燈a，b，c，d，e各被拉動143次開關，燈f，g各被拉動142次開關。所以，當小華拉動999次後b，e，g亮，而a，c，d，f熄。
例11 桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動77枚，第2次翻動其中的76枚，第3次翻動其中的75枚……第77次翻動其中的1枚。按這樣的方法翻動硬幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上？說明你的理由。
分析：對每一枚硬幣來說，只要翻動奇數次，就可使原先朝下的一面朝上。這一事實，對我們解決這個問題起著關鍵性作用。
解：按規定的翻動，共翻動1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬幣翻動了39次，這是奇數。因此，對每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到：
77×39=77+（76+1）+（75+2）+…+（39+38），
根據規定，可以設計如下的翻動方法：
第1次翻動77枚，可以將每枚硬幣都翻動一次；第2次與第77次共翻動77枚，又可將每枚硬幣都翻動一次；同理，第3次與第76次，第4次與第75次……第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動一次。這樣每枚硬幣都翻動了39次，都由正面朝下變為正面朝上。
說明：（1）此題也可從簡單情形入手（如9枚硬幣的情形），按規定的翻法翻動硬幣，從中獲得啟發。
（2）對有關正、反，開、關等實際問題通常可化為用奇偶數關係討論。
例12 在8×8的棋盤的左下角放有9枚棋子，組成乙個3×3的正方形（如左下圖）。規定每枚棋子可以跳過它身邊的另一枚棋子到乙個空著的方格，即可以以它旁邊的棋子為中心作對稱運動，可以橫跳、豎跳或沿著斜線跳（如右下圖的1號棋子可以跳到2，3，4號位置）。問：
這些棋子能否跳到棋盤的右上角（另乙個3×3的正方形）？
解：自左下角起，每乙個方格可以用一組數（行標、列標）來表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j列的方格記為（i，j）。問題的關鍵是考慮9枚棋子（所在方格）的列標的和s。
一方面，每跳一次，s增加0或偶數，因而s的奇偶性不變。另一方面，右上角9個方格的列標的和比左下角9個方格的列標之和大
3×（6+7+8）-3×（1+2+3）=45，
這是乙個奇數。
綜合以上兩方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那個3×3的正方形裡。
奇偶分析作為一種分析問題、處理問題的方法，在數學中有廣泛的應用，是處理存在性問題的有力工具，本講所舉例題大多屬於這類問題。這種方法具有很強的技巧性，尤其是選擇什麼量進行奇偶分析往往是很困難的。選準了，只須依據奇偶數的性質，分析這個量的奇偶特徵，問題便迎刃而解；選不好，事倍功半。
同學們應認真領會本講所舉例題，以把握選擇合適的量進行奇偶分析的技巧。
練習3 1．下列每個算式中，最少有乙個奇數，乙個偶數，那麼這12個整數中，至少有幾個偶數？
2．任意取出1234個連續自然數，它們的總和是奇數還是偶數？
3．一串數排成一行，它們的規律是：前兩個數都是1，從第三個數開始，每乙個數都是前兩個數的和。如右所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
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