小學六年級奧數教案—01比較分數的大小
同學們從一開始接觸數學，就有比較數的大小問題。比較整數、小數的大小的方法比較簡單，而比較分數的大小就不那麼簡單了，因此也就產生了多種多樣的方法。
對於兩個不同的分數，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：
分母相同的兩個分數，分子大的那個分數比較大；
分子相同的兩個分數，分母大的那個分數比較小。
第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數，通常是採用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。
由於要比較的分數千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。
1.「通分子」。
當兩個已知分數的分母的最小公倍數比較大，而分子的最小公倍數比較小時，可以把它們化成同分子的分數，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。
如果我們把課本裡的通分稱為「通分母」，那麼這裡講的方法可以稱為「通分子」。
2.化為小數。
這種方法對任意的分數都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便，就要看具體情況了。
3.先約分，後比較。
有時已知分數不是最簡分數，可以先約分。
4.根據倒數比較大小。
5.若兩個真分數的分母與分子的差相等、則分母（子）大的分數較大；若兩個假分數的分子與分母的差相等，則分母（子）小的分數較大。也就是說，
6.借助第三個數進行比較。有以下幾種情況：
（1）對於分數m和n，若m＞k，k＞n，則m＞n。
（2）對於分數m和n，若m-k＞n-k，則m＞n。
前乙個差比較小，所以m＜n。
（3）對於分數m和n，若k-m＜k-n，則m＞n。
注意，（2）與（3）的差別在於，（2）中借助的數k小於原來的兩個分數m和n；（3）中借助的數k大於原來的兩個分數m和n。
（4）把兩個已知分數的分母、分子分別相加，得到乙個新分數。新分數一定介於兩個已知分數之間，即比其中乙個分數大，比另乙個分數小。
利用這一點，當兩個已知分數不容易比較大小，新分數與其中乙個已知分數容易比較大小時，就可以借助於這個新分數。
比較分數大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發現總結，但無論哪種方法，均**於：「分母相同，分子大的分數大；分子相同，分母小的分數大」這一基本方法。
練習1 1.比較下列各組分數的大小：
小學六年級奧數教案—02巧求分數
我們經常會遇到一些分數的分子、分母發生變化的題目，例如分子或分母加、減某數，或分子與分母同時加、減某數，或分子、分母分別加、減不同的數，得到乙個新分數，求加、減的數，或求原來的分數。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。
數。分析：若把這個分數的分子、分母調換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數的方法求出分子、分母調換位置後的分數，再求倒數即可。
個分數。
分析與解：因為加上和減去的數不同，所以不能用求平均數的方法求解。
，這個分數是多少？
分析與解：如果把這個分數的分子與分母調換位置，問題就變為：
這個分數是多少？
於是與例3類似，可以求出
在例1～例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那麼會怎樣呢？
數a。分析與解：分子減去a，分母加上a，（約分前）分子與分母之和不變，等於29+43=72。約分後的分子與分母之和變為3+5=8，所以分子、分母約掉
45-43=2。
求這個自然數。
同乙個自然數，得到的新分數如果不約分，那麼差還是45，新分數約分後變
例7 乙個分數的分子與分母之和是23，分母增加19後得到乙個新分數，
分子與分母的和是1+5=6，是由新分數的分子、分母同時除以42÷6=7得到
分析與解：分子加10，等於分子增加了10÷5=2（倍），為保持分數的大小不變，分母也應增加相同的倍數，所以分母應加
8×2=16。
在例8中，分母應加的數是
在例9中，分子應加的數是
由此，我們得到解答例8、例9這類分數問題的公式：
分子應加（減）的數=分母所加（減）的數×原分數；
分母應加（減）的數=分子所加（減）的數÷原分數。
分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數，可以說是這類題中最難的，我們用設未知數列方程的方法解答。
（2x+2）×3=（x+5）×4，
6x+6=4x+20，
2x=14，
x=7。
練習2是多少？
小學六年級奧數教案—03分數運算技巧
對於分數的混合運算，除了掌握常規的四則運算法則外，還應該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。
1.湊整法
與整數運算中的「湊整法」相同，在分數運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數、整十數……從而使運算得到簡化。
2.約分法
3.裂項法
若能將每個分數都分解成兩個分數之差，並且使中間的分數相互抵消，則能大大簡化運算。
例7 在自然數1～100中找出10個不同的數，使這10個數的倒數的和等於1。
分析與解：這道題看上去比較複雜，要求10個分子為1，而分母不同的
就非常簡單了。
括號。此題要求的是10個數的倒數和為1，於是做成：
所求的10個數是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。
的10和30，仍是符合題意的解。
4.代數法
5.分組法
分析與解：利用加法交換律和結合律，先將同分母的分數相加。分母為n的分數之和為
原式中分母為2～20的分數之和依次為
練習38.在自然數1～60中找出8個不同的數，使這8個數的倒數之和等於1。
小學六年級奧數教案—05工程問題一
顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數學問題。其實，這類題目的內容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內容。
在分析解答工程問題時，一般常用的數量關係式是：
工作量=工作效率×工作時間，
工作時間=工作量÷工作效率，
工作效率=工作量÷工作時間。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數1表示，也可
工作效率指的是幹工作的快慢，其意義是單位時間裡所幹的工作量。單位時間的選取，根據題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。
工作效率的單位是乙個復合單位，表示成「工作量/天」，或「工作量/時」等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。
例1 單獨幹某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合幹50天後，剩下的工程乙隊幹還需多少天？
分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨乾需100天，甲的工作效
例2 某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉做新的工程，那麼乙隊又做了18天才完成任務。問：甲隊幹了多少天？
分析：將題目的條件倒過來想，變為「乙隊先乾18天，後面的工作甲、乙兩隊合幹需多少天？」這樣一來，問題就簡單多了。
答：甲隊幹了12天。
例3 單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起幹，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？
分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊幹的，所以甲隊實際工作了
例4 一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那麼完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？
分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，
例5 一水池裝有乙個放水管和乙個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，開啟放水管1時後又開啟排水管，那麼再過多長時間池內將積有半池水？
例6 甲、乙二人同時從兩地出發，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發後5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發後多長時間兩人相遇？
分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關係來解答。甲出發5分鐘後返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等於比乙晚出發15分鐘。
我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先幹15分鐘後，甲、乙合幹還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。
答：甲再出發後15分鐘兩人相遇。
練習51.某工程甲單獨幹10天完成，乙單獨幹15天完成，他們合幹多少天才可完成工程的一半？
2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先乾了6天後轉交給乙隊幹，後來甲隊重新回來與乙隊一起幹了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數。
3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工。現在合挖12天後，剩下的乙隊單獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？
則完成任務時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？
5.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天。現在兩隊同時從兩端開工，結果在距中點750公尺處相遇。這段公路長多少公尺？
6.蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。如果要求12時注滿水池，那麼甲、乙兩管至少要合開多長時間？
7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從
40千公尺。求甲、乙兩地的距離。
小學六年級奧數教案—06工程問題二
上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。在較複雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件裡，這時，只要我們靈活運用基本的分析方法，問題也不難解決。
六年級奧數卷 六
班級姓名成績 1 往濃度為10 重量為800克的鹽水中加入多少克水，才可以得到濃度為4 的鹽水？2 一容器內有濃度為15 的鹽水，若再加入20千克的水，則鹽水的濃度為10 問這個容器內原來含有鹽多少千克？3 5 的鹽水80克，8 的鹽水20克混合在一起，倒掉其中10克，再加入10克水，鹽在鹽水濃度是...
六年級奧數試題
2010年 希望盃 數學大賽 六年級決賽題 時間 90分鐘滿分 120分 一 填空題。每題6分，共72分。1 計算 2 計算 3 若10.5x 10 36 3y 14 則xy 4 有一類自然數，從第四個數字開始每個數字都恰好等於它前面三個數字的和，直到不能再寫為止，如2169，21146等等。那麼這...
六年級奧數教程
小學數學五公升六 習題集第一章簡易方程 1.解方程7x 3 4x 6 2 5 x 2 2 2x 7 3 解方程6 0.6 x 0.6 0.6 4 解方程 3x 2 4 2x 7 5 解方程0.6x 400 x 400 2 3 1 某數的2倍減去1等於這個數加上5，求某數。第二章列方程解應用題 4 今...