安徽省樅陽縣錢橋中學（246732） 陸克義
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數學的思想方法蘊含於知識內容之中，是知識轉化為能力的橋梁．數形結合思想是一種重要的數學思想，同時又是一種重要的數學方法，在數學解題中有著重要的應用,在教學中應予以重視．
本文從兩道課本習題出發,編擬一組習題,討論數形結合思想在解題中的應用,並揭示有關的解題規律,以加深學生對知識的理解,培養學生舉一反三的能力.
例1 已知，求的最大值和最小值．——人教版全日制普通高階中學教科書（必修）《數學》第二冊（上）（經全國中小學教材審定委員會2023年審查通過）p.88 b組第6題
分析在平面直角座標系中，表示圓，設，則問題轉化為求與圓
有公共點的直線的截距的最值，利用數形結合易求．
解：作⊙o：及平行直線,在這一組平行線中，以直線l1在y軸上的截距最大，為，直線l2在y軸上的截距最小，為，從而的最大值為，最小值為．
評注：本題也可利用方程思想由方程和消去y，由△≥0可求得，從而的最大值為，最小值為．這一思路仍然依賴數形結合思想．
例2 求函式的最大值和最小值．——教材（同上）p82第11題
分析 ⊙c：的引數方程為{ ，因此點可看作⊙c：上的點，函式的值是過⊙c：上的點與原點的直線的斜率，結合圖形易求．
解：作⊙c：，表示⊙c上的點與原點的連線的斜率，作⊙c的切線oa及ob，，因此，的最大值為，最小值為0．
評注：本題若令，利用方程和，消去y,由△≥0，︱y︱≤1,︱x︱≤1,可求得，因此的最大值為，最小值為0．這一解法不如利用數形結合簡明．
題組練習：
1． 已知點在橢圓，求的最大值和最小值．
分析的值可看作是過橢圓上的點與原點的直線的斜率．
解：的值是表示過橢圓，即橢圓上的點與原點的直線的斜率，直線l1切橢圓於a點，直線l2切橢圓於b點，l1的斜率，l2的斜率．因此，的最大值為，最小值．
2． 線段︱ab︱=4,︱pa︱+︱pb︱=6,m是ab的中點，當p點在同一平面內運動時，求︱pm︱的最大值和最小值．
分析以線段ab所在直線為x軸，線段ab的中點m為座標原點，建立直角座標系，由橢圓定義知，p的軌跡為以a、b為焦點的橢圓，︱pm︱表示橢圓上的點與原點的距離，問題轉化為求橢圓上的點與橢圓中心距離的最值．
解：以線段ab所在直線為x軸，線段ab的中點m為座標原點，建立直角座標系，由橢圓定義知，p的軌跡為以a、b為焦點的橢圓，其軌跡方程為，︱pm︱表示橢圓上的點與原點的距離，因此，︱pm︱的最大值為3，最小值為．
3.已知實數滿足，求的最大值．
分析：表示橢圓，設，則表示雙曲線，當取不同值時，對應的雙曲線不同，越大，雙曲線的實軸越大，實半軸的平方也越大，因此利用數形結合易求的最大值．
解：將變形，得：，因此，方程表示中心在（2，0），焦點在x軸上的橢圓，設，問題轉化為求的最大值；當≠0時，表示雙曲線，滿足，同時又滿足的實數對對應的點應是橢圓及雙曲線的公共點，結合圖形可知的最大值為16，即的最大值為16．
結語：有些學生解題思路不清，解題速度不快，其主要原因就是對數學思想方法沒掌握．因此，在數學解題學習中，應注重數學思想方法的挖掘和概括，特別應注意挖掘課本中有代表性的習題所蘊含的數學方法，引導學生領會化歸、整體化、方程、分類討論、正難則反的逆向思維等數學思想，提公升學生的思維層次，這對培養自身的數學素養和提高自己解決問題的能力都會起到十分重要的作用．
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