重慶市教育科學研究院張曉斌
摘要：本文**了創設探索發現問題情境的具體方式和有效策略，以期培養學生的創新思維能力。
關鍵詞：創設方式；有效策略；問題情境；數學教學；創新思維
「問題是數學的心臟」，沒有問題就沒有數學。現代認知心理學關於思維的研究成果表明，思維過程首先是解決問題的過程，即思維通常是由問題情境產生的，而且是以解決問題情境為目的的。所謂問題情境是指個體覺察到的一種有目的但又不知如何達到這一目的的心理困境，也就是當已有知識不能解決新問題而出現的一種心理狀態。
人們就必須擬出以前未曾有過的、新的活動策略，亦即完成創造性思維活動。而藉以解決包含在其中的問題的心理過程，則稱做問題性思維。
根據認知理論，數學課堂教學過程應該是以不斷地提出問題並解決問題的方式來獲取新知識的問題性思維過程。解決問題首先要提出問題，著名數學家華羅庚曾說：「難處不在於有了公式去證明，而在於沒有公式之前怎樣去找出公式來。
」因此，教師無論是在教學的整個過程，還是在教學過程中的某些微觀環節，都應該十分重視數學問題情境的創設。創設問題情境的實質在於揭示事物的矛盾或引起主體內心的衝突，打破主體已有的認知結構的平衡狀態，從而喚起思維，激發其內驅力，使學生進入問題者的「角色」，真正「捲入」學習活動之中，達到掌握知識，訓練創新思維的目的。
一、創設問題情境的方式
問題情境對於學生來說，是引發認知衝突的條件，對於教師來說，是引發學生認知衝突的手段。教師可以利用各種各樣的問題情境：意外的情境，不對應的情境，選擇的情境，衝突的情境，反駁的情境等。
在數學教學中，能引發創新思維的問題情境有以下幾種基本方式：
1．引發式。教師可以通過實驗、教具和多**展現數學知識的產生過程，或由舊知識的探索、發現、拓展引出新問題，或由有趣故事展開，讓學生身臨其境，實現和展開思維活動，這樣學生就親自參與了數學思維活動的全過程。如在「橢圓」的教學中，首先請三個同學做實驗，兩個同志按住繩子的兩端，第三個同學用粉筆套住繩子在黑板上畫圖形，畫好後請這個同學說出他在畫的過程中有什麼感受。
這個同學說出了以下結論：當開始兩個同學把繩子拉直按住兩端時，畫出的就是線段，不是橢圓，只有當粉筆端到兩個同學按住的兩點的距離和大於這兩點的距離時，才是橢圓。這樣不但引出了橢圓的定義，而且還得到了的特殊情形。
這難道不是學生創新思維的體現嗎？
2．矛盾揭示式。利用隱含於教材中的矛盾因素或學生已有認知與新知識之間的矛盾和衝突來設計矛盾的問題情境，讓學生通過積極思維來解決矛盾。如在解答例題時，可有意的出現差錯與疏漏，形成學生思維上的正誤衝突，從而獲得問題的解決。
有這樣一道題目：已知，化簡，其中。
開始時，進展比較順利：
解： 原式
（解到這裡時，教師不動聲色地往下做——） 。
這時，部分學生在交頭接耳，有的甚至脫口而出：「錯了」！此時再問大家該怎麼辦？經過研究，認為應當分區間討論，從而將最後兩步訂正如下： 原式
這種正確與錯誤的強烈對比，波瀾迭起的教學，形成了創新思維的問題情境，有利於訓練學生思維的批判性和嚴謹性。
3．出其不意式。創設一些學生的認知結構不和諧或將學生認知結構運用於陌生情境中的問題，使學生在驚奇中迫切進入積極思維狀態。例如在講複數的三角形式的乘法法則時，先讓學生利用複數的代數形式（不用）計算（）6 非常繁瑣，不僅耗時費力，而且極易致錯。
這時教師不失時機說：「我們今天將要學習複數三角形式的乘法法則，利用它來計算該題僅需幾秒鐘！」學生頓時感到驚異和驚疑，也就產生了對新知識的期待和渴求，自然引出新課。
4．似是而非式。提出一些似是而非、模稜兩可的問題，讓學生在捉摸不透、無所適從中進入積極思維狀態。如在複數的教學中要隨時注意把實數集與複數集中相異性質進行比較，讓學生判斷下列命題是否正確，並說明理由：
（1）若則；
（2）；
（3）；
（4）的充要條件是；
（5）方程的解為；
（6）一元二次方程的兩根必為共軛虛根。
學生通過對這些問題的深入思考，不僅明辨了是非，複習鞏固了有關的複數知識，而且還培養了他們思維的深刻性、批判性和創造性。
5．猜想證明式。牛頓說：「沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發現。
」事實上，數學及其他科學的發展的淵源之一就是猜想的假說。數學課中教師要經常創設情境讓學生對問題的條件與結論、拓展的走向、解法的思路等作出猜想，引導學生在充分理解題意的基礎上敢於打破常規，標新立異，大膽猜想，從而培養學生自覺的獨創意識。例如：
已知數列滿足，。求證：對一切，都有為整數。
大多數學生很快可以算出，，，，，但對怎樣證明束手無策，怎麼辦呢？觀察已知等式，鼓勵學生大膽猜測的表示式，這時有學生提出：設（p、q為整數），然後用待定係數法求得，。
因此，再用數學歸納法可證明該等式成立，則本題易證。
二、創設問題情境的有效策略
良好的問題情境有助於實現原有的認知對新知識的同化，使認知結構得到補充和完善，從而促進學生的心理發展。構建良好的問題情境，可以使學習材料的意義被充分地揭示出來，使學生易於理解，也就是使學習材料的邏輯意義明朗化；更重要的是，它可以激發學生積極主動地使新舊知識發生相互作用，產生有機聯絡，從而使新知識獲得實際意義，最終實現有意義的學習。數學教學中，創設有效的問題情境，我們認為有如下一些基本策略。
1．創設「小步距」問題情境，注重問題的有序性和階梯性
問題情境的設定要具有合理的程式和階梯性，即問題的設計要由淺入深，由易到難，層層遞進，把學生的思維逐步引向新的高度。創設「小步距」問題情境就是要善於把乙個複雜的、難度較大的課題分解成若干個相互聯絡的子問題（或步驟），或把解決某個問題的完整的思維過程分解成幾個小階段。「小步距」問題情境的創設，首先，必須具有適應性和針對性，即必須針對學生已有的知識、心理發展水平和學習材料的難易程度來設計問題，創設的問題情境既要反映數學知識的發生發展過程，如數學概念的形成過程，定理、公式、法則的發現過程，數學問題的分析過程以及解題方法和規律的概括過程等，又要考慮學生學習數學知識的認知活動過程，如感知、表象、抽象、概括、建構等，使知識的「探索」過程和「獲取」過程有機統一。
其次，必須具有有序性和階梯性，即針對知識的系統性和學生認知發展水平的有序性。教師設定問題要坡度適中、排列有序、循序漸進、形成有層次結構的開放性系統，並不斷地與外界教學環境保持能量、資訊的交換，這樣才能使問題情境所包含的資訊量不斷增加，才能使學生產生「有階可上，步步登高」的愉悅感，也才能興趣盎然地接受知識、訓練能力、體驗情感。例如求=？
可設計如下6個問題：①用什麼公式計算？②用對數恒等式化簡，關鍵是什麼？
③為了使冪的底與對數的底是相同的非1正數，這個非1正數是7呢？還是，為什麼？④用的變形，這時對數符號前面的負號，又如何處理呢？
2．創設「變式」問題情境，注意問題的開放性和發散性
良好的問題情境不僅應當是「標準的」，即具有典型的模式，為吸收或同化其他學習材料提供理想的框架，有利於學生對材料進行抽象和概括，而且應當具有「變式」性，即問題情境的形式和敘述可以不斷變化，而基本原則和本質屬性保持不變。變式性問題往往注重揭示條件性知識，注重的是方法，因此「變式」性問題情境主要具有這樣一些功能：①構建功能，即利用「變式」性問題情境能加深對相應「問題群」的理解和解釋；②整合功能，即能夠把輸入的資訊按問題型別或知識結構整合成乙個整體，有利於知識結構向認知結構的轉化；③遷移功能，即它揭示了知識應用的條件，最具遷移性。
因此，教師在創設問題情境的過程中，既要注意基本知識點的中心性，又要引導學生從不同角度去思考，進行發散思維，深刻領會與中心點有密切聯絡的知識，從而使學生對知識的深化理解。對於問題更要注重其變式綜合，靈活應用，可以對已有問題進行改變，使一問題的精髓滲透到其它問題當中，加強新舊知識的聯絡，促進知識的遷移。這樣就可使問題情境具有較好的發散性，即問題情境的設計能充分激發學生聯想，開拓學生思路，激發學生的創造精神。
數學教學中常見的變式有：圖形變式，表示式的變式，語言變式，解法變式，問題變式等，通過這些變式活動，可以活躍學生的思維，使其產生多向聯想。例如研究三稜錐（即四面體）頂點的射影與底面三角形「五心」的關係時就可設定以下問題：
① 當三稜錐是正三稜錐時；
② 當三條側稜的長均相等時；
③ 當側稜與底面所成的角都相等時；
④ 當各個側面與底面所成的二面角相等且頂點射影在底面三角形內時；
⑤ 當頂點與底面三邊距離相等時；
⑥ 當三條側稜兩兩垂直時；
⑦ 當三條側稜分別與所對側面垂直時；
⑧ 當各個側面在底面上的射影面積相等時；
⑨ 當各個側面與底面所成的角相等且頂點射影在底面三角形外時。
教師通過不斷變換命題的條件，引深拓廣，產生乙個個既類似又有區別的問題，形成一浪高過一浪的氣勢撲向學生，使學生產生濃厚的興趣，在挑戰中尋找樂趣，不時閃現出創造思維的火花，品嚐到「數學發現」的甜頭。同時也進一步鞏固了線線、線面垂直關係，尤其是三垂線定理的掌握。
3．創設「精製式」問題情境，注意問題的方向性和策略性
人們在解決問題時，既需要概念性知識，又需要程式性知識，還需要策略性知識。新的知識觀正是從這三個方面來規範和強調知識的重要性。因此，乙個問題情境包含的知識也應該是多方面的。
乙個精而有效的問題情境，不在於其所具有的概念性知識的多少，而在於其中蘊涵的程式性知識和策略性知識的有效性，在於由概念性知識和程式性知識相結合而形成的問題圖式，即解決各類問題的基本框架和模式。數學教學更重要的是解決「為什麼這樣做」的方法問題。因些，課堂教學中教師應充分利用每堂課寶貴而有限的時間，精心構建問題情境，使其蘊涵豐富的程式性知識和策略性知識，幫助學生形成問題圖式。
構建的問題情境一旦具有延伸性和方向性，就可以擴大學生學習活動的心理空間，充分啟用原有知識，並使新舊知識發生有機聯絡，形成良好的知識結構。
例如求等比數列前項和公式時，通過印度國王獎勵軍棋發明家的故事引入，然後問：① 如何求總公尺粒數？學生躍躍欲試，但無從下手。
教師接著問：② 這是什麼數列的求和？學生都能回答。
又問：③ 反映等比數列的本質屬性是什麼？它的意義是什麼？
學生回答：公比。我們把它變為：。
⑤ 那麼這個特點能否用於等比數列的求和呢？請同學們試著求，。從這兩個具體問題的解決，我們發現，用「倍錯位相減」法，可以消去個項，從而將求項之和轉化為只需求兩項之和即可。
⑥ 現在同學們能求嗎？此時同學們興趣高漲，紛紛動筆求出：。教師再問：
⑦ 時，？⑧ 在等比數列中，已知和任意一項，怎樣求？同學們易由得：。
顯然後一公式比前一公式更具有一般性。⑨ 上述求和公式的探求還有其它方法嗎？請同學們繼續**。
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