高中數學方程在向量中的應用技巧

方程在向量中的應用技巧

山東省膠南市第一中學韓朝泉

一．平面向量基本定理中方程的應用技巧

設是平面內的兩個不共線向量，是平面內的任意乙個向量，按照平面向量基本定理，，而且是唯一確定的．可見，應用平面向量基本定理關鍵是確定，而方程（組）在確定係數方面具有無可替代的作用，解題時，將確定係數問題轉化為方程（組）問題是乙個常用技巧．

例1．如圖所示，在中，，與交於點ｍ，設，，試用表求．

分析：由於點ｍ是ａｄ與ｂｃ兩條線段的交點，ｍ在這兩條線段上的具體位置不能用數量表示，因此，直接用三角形法則，不能將轉化為用表示；這時，方程可以發揮重要作用，如果設，那麼只需要依據ａ，ｍ，ｄ三點共線及ｂ，ｍ，ｃ三點共線列出方程組即可得解．

解析：設，則，

，由於ａ，ｍ，ｄ三點共線，所以；

而，，由於ｃ，ｍ，ｂ三點共線，所以，；

由解得，所以，．

二．方程在向量的座標運算中的應用技巧

方程在解決某些向量的座標運算問題時，常可起到化繁為簡的作用．主要用於確定向量的座標、應用向量平行、垂直的座標形式等．

例２．已知且求．

分析：向量的座標只與向量的起點，終點座標有關，因此，只要求出點ｍ和點ｎ的座標即可．根據條件可以設出點ｍ和點ｎ的座標，列出兩個方程，通過解方程組得到點ｍ和點ｎ的座標．

解析：，

；設，則，由，可得；

即，同理可得．所以，．

三．解決向量中引數的有關計算問題

向量中有些含有引數的問題，在求引數的值，或求引數的範圍時，方程起到至關重要的作用．由於引數一般存在於表示式中，因此，在形式上就給布列方程創造了條件，只需將含引數的表示式座標化，即可得到所需方程（組）．

例３．已知=4，，．

(1)求與的夾角；

(2)設，**段上是否存在點m，使，若存在，求出點m的座標，若不存在，請說明理由．

分析：（１）將=4，代入已知的式子中，即可解出的值，進而可以解出夾角；整個過程就是乙個解方程的過程．

（２）這是乙個探索性的問題，可以假設存在這樣的點m，由於點m**段上，為了確定點m的位置，可以引入引數，令，由的值確定點m的位置；這樣，點m是否存在的問題就轉化為引數是否存在的問題，將已知條件代入，即轉化為方程是否有解的問題．

解析：（１），，

又因為=4，，，即

．（２）設存在點m，滿足，則

，，解得或

或所以，存在點或點滿足題意．

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