2023年試題
下列各題順次解答,不必抄題（但須寫明題號,例如:ⅰ甲、ⅰ乙、ⅱ、ⅲ等）.
一、甲、利用對數性質,計算lg25+lg2·lg50.
（log是以10為底的對數log10的記號）
乙、設m是實數,求證方程2x2-(4m-1)x-m2-m=0的兩
個根必定都是實數.
丙、設m是△abc的邊ac的中點,過m作直線交ab直線於e,過b作直線平行於me交ac直線於f.求證△aef的面積等於△abc的面積的一半.
[key] 一 、甲、解: ∵lg2=1-lg5,lg50=1+lg5,
原式=lg25+lg2·lg50=lg25+(1-lg5)(1+lg5)=lg25+1-lg25=1.
乙、解:方程的判別式δ=(4m-1)2+8(m2+m)=24m2+1,
∵ m2 ≥0 ,∴δ>0,
所以二個根全是實數.
丙、解:連bm.
△aef的面積=△abf的面積+△bef的面積,
∵ bf∥mf,
∴ △bef的面積=△bfm的面積,
∴ △aef的面積=△bam的面積.
丁、解:最大角對最大邊,由余弦定律得
37=32+42-2·3·4cosθ
∴ θ=120°.
戊、解:tanα+tanβ=-6,tanα·tanβ=7;
二、解聯立方程
[key]
兩邊分別平方,x+y=9,或x+y=16.
分別與(2)聯立:
解方程組(ⅰ),得
解方程組(ⅱ)得
綜上述,共得四組解:
經檢驗,以上四組解均為原方程的解.
[key] 三、解:令ap與bc的交點是m,
∵ ∠apb=∠abm.
∴ △abp∽△amb,∴ ap·am=ab2,(1)
∵ ∠apc=∠bpm,∠pac=∠pbm,
∴ △acp∽△bmp,∴ap·mp=pb·pc, (2)
(1)+(2),得 ap·am+ap·mp=ab2+pb·pc,
即 ap2=ab2+pb·pc.
四、有一四稜柱體,底面abcd為菱形,∠a抇ab=∠a抇ad（如右圖）,求證平面a抇acc挻怪庇詰酌鎋abcd.
[key] 四、
五、若三角形的三個角成等差級數,則其中一定有乙個角是60°;若這樣的三角形的三邊又成等比級數,則三個角都是60°,試證明之.
[key] 五、解:令三角形的三個角是a,b,c,
由 a-b=b-c,a+b+c=180°,
得 b=60°
設三邊的長為a,aq,aq2,則長邊aq的邊所對的角即為60°,
根據餘弦定理,
(aq)2=a2+(aq2)2-2a·aq2cos60°,
a2q2=a2+a2q4-a2q2.
∴ q=±1.但q=-1不合題意,
於是此三角形邊長各為a因而三個角都是60°.
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