文章計算平面直角座標系內圖形的面積

在平面直角座標系中，求乙個三角形的面積，則需要根據三角形的各頂點的座標，確定邊長或高，進而求出三角形的面積．而對於四邊形，五邊形等圖形面積的計算，則往往需要轉化為三角形解決．

一、計算三角形的面積

例1 如圖1，△abc的三個頂點的座標分別是a(2，3)，b(4，0)，c(-2，0)．求△abc的面積．

分析:觀察圖形可知，bc在x軸上，bc的長為4-(-2)=6．要求三角形的面積，還應確定bc邊上的高．點a到x軸的距離恰好點bc邊上的高．

解：因為bc=4-(-2)=6，bc邊上的高就點a到橫軸的距離，因為點a的座標是(2，3)，所以bc邊上的高是3，所以s△abc=×6×3=9．

【評注】當三角形有一邊在橫軸上時，則以座標軸上的邊為底邊，其長等於座標軸上的兩個頂點的橫座標差的絕對值;則這邊上的高，等於另一頂點縱座標的絕對值;當三角形的一邊在縱軸上時，則以座標軸上的邊為底邊，其長等於座標軸上的兩個頂點縱座標差的絕對值，這邊上的高，等於另一頂點的橫最最座標的絕對值．

圖1圖2

例2 如圖2，平面直角座標系中，已知點a(-3，-2)，b(0，3)，c(-3，2)．求△abc的面積．

分析:在△abc中只有邊ac的長度是比較求得的，所以找到ac邊上的高，而點a到縱座標的距離恰好是ac邊上的高．

解:ac=|2-(-2)|=4，作ac邊上的高bd，而bd就等於點a到縱軸的距離，因為點a的座標是(-3，-2)，所以bd=|-3|=3，所以s△abc=×4×3=6．

【評注】當三角形的一邊和座標軸平行時，這條邊的長等於兩個頂點橫座標(平行橫軸)或縱座標(平行縱軸)的差的絕對值;這邊上的高等於平行座標軸的邊與座標軸的距離．

例3 如圖3，平面直角座標系中，已知△abc三個頂點的座標分別是a(-3，-1)，b(1，3)，c(2，-3)．求△abc的面積．

分析:三角形的三邊都不和座標軸平行，根據平面直角座標系的特點，可以將三角形面積轉化為梯形或長方形的面積減去多餘的直角三角形的面積，即可求到此三角形的面積．

解:過點a，c分別作平行於y軸的直線，與過b點作平行於x軸的直線交於點d、e．則四邊形aced為梯形．根據點a(-3，-1)，b(1，3)，c(2，-3)，可求得ad=4，ce=6， db=4，be=1，de=5，所以△abc的面積為：

s△abc= (ad+ce)·de-ad·db-ce·be= (4+6)×5-×4×4-×6×1=14．

【評注】當三角形的三邊都不和座標軸平行時，可將通過過三角形的頂點作座標軸的平行線，將三角形的面積轉化為梯形或長方形的面積與直角三角形的面積差求解．

圖3圖4

例4 如圖4，四邊形abcd的四個頂點的座標分別是a(4，2)，b(4，-2)，c(0，-4)，d(0，1)．求四邊形abcd的面積．

分析:因為點a、b的橫座標相同，點cd在縱軸上，所以ab//cd，則四邊形abcd為梯形，可以過a作cd上的高ae，則ae的長就是點a到y軸的距離．

解：因為cd=1-(-4)=5，ab=2-(-2)=4，ae=4，sabcd= (ab+cd)·ae= (5+4)×4=18．

【評注】一般四邊形的面積的計算，可將四邊形的面積轉化為特殊的四邊形(如梯形)與特殊的三角形(如直角三角形)的面積和或差的形式計算．

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