———「三角形的面積」教學設計與思考
◇張紅娜
「三角形的面積」是傳統的教學內容。 既為傳統的內容，則必有傳統的教學方法與之相應：課前，讓學生分別準備完全一樣的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形卡片各兩個。
課上，要求學生動手將兩個完全一樣的三角形拼成乙個平行四邊形，然後組織交流討論：三角形與拼成的平行四邊形有什麼關係？ 最後得出三角形面積的計算方法。
整個學習過程中，學生經歷了動手操作、討論交流等學習活動和由直觀演示到抽象概括的過程，也似乎符合新課程所倡導的新理念。 但是，如果細細思考和品味這樣的教學，其中的問題和困惑便應運而生：
一、是對學生真實學情的「順應」，還是教材編排和教師設計意圖的「強加」？我一直有這樣的困惑：學生在學習長方形、正方形和平行四邊形的面積時，都沒有事先準備兩個完全一樣的圖形的經驗，為什麼學習三角形的面積，事先要做這樣的準備？
這是學生自身學習的需要，還是教師教學的需要？ 是對學生真實學情的「順應」，還是教材編排和教師設計意圖的「強加」？ 學生是在主動學習還是依然在被動接受？
二、是三角形轉化為平行四邊形，還是平行四邊形轉化為三角形？
把兩個完全一樣的三角形拼成乙個平行四邊形，實現三角形到平行四邊形的轉化，這是大家公認的轉化思路。在學生真實的思維中，這樣的轉化是被動的。把平行四邊形的其中兩條鄰邊「擠壓」為一條邊從而轉化為三角形並保留轉化痕跡，或直接沿對角線把平行四邊形分成兩個完全一樣的三角形，直**到三角形的面積正好為原平行四邊形面積的一半，豈不是更符合學生的認知習慣和認知規律？
三、是讓學生直觀感知，還是引發學生深層思考？
直觀的拼擺， 固然能幫助學生感知和理解三角形與平行四邊形面積間的關係，對三角形面積計算公式的推導具有一定的價值。 但作為新課程理念下的數學學習，是讓學生只「知其然」，還是讓學生既「知其然」，也能「知其所以然」？ 是讓學生匆匆地參與數學活動，還是通過數學活動讓學生積累經驗？
是讓學生牢記數學結論，還是引導學生感悟數學思想方法，引發他們深層的數學思考？
修訂後的數學課程標準明確提出，通過義務教育階段的數學學習，學生能「獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗」。 在每個人發展的過程中，需要運用到的知識和技能可能只是他所學全部知識和技能的一部分，而在學習掌握知識和技能的過程中感悟到的基本思想和基本活動經驗，則能廣泛地遷移到學習和工作中。 正是基於上述思考，我在本節課的教學中做了如下嘗試。
教學過程
一、複習鋪墊
教師圍繞以下問題引導學生複習舊知：
1．我們認識的平面圖形有哪些？
根據學生的回答課件出示：
2．你會計算哪些平面圖形的面積？
課件留下：
3．它們的面積怎麼計算？
（課件引出長方形、正方形、平行四邊形面積的計算方法及字母公式，如下）
4．溝通並提公升：當平行四邊形的一組底和高正好是它的一組相鄰的底邊時，就成了長方形或正方形。 作為特殊的平行四邊形，長方形和正方形的面積計算方法是否也可以用 s=ah 來表示？
師小結：看來，知識之間的「聯絡」（板書：聯絡）是非常緊密的。
找到了這些聯絡，也就抓住了數學問題的實質，我們的進一步學習就有了依據。 因為很多時候，我們遇到新問題時，都要利用知識間的聯絡將新知識「轉化」為學過的舊知識來解決。 比如，學習平行四邊形的面積時， 就把它轉化成長方形從而發現它的面積計算方法。
這是我們學習數學的乙個很重要並且很有效的「招數」，掌握和使用這種「招數」，你會感受到數學學習的其樂無窮！
二、引入新課
師：通過複習，我們進一步理解了這些平行四邊形的面積計算方法， 知道它們的面積與底和高有關係：用一組對應的底和高相乘就可以求出這些特殊的四邊形的面積。
如果把這些四邊形變成由三條線段圍成的圖形———三角形（課件動態演示如下圖），三角形的面積該怎樣計算呢？ 這節課，我們就重點來**這個問題。
三、學習新知
1.激勵引導。
師：和長方形、正方形、平行四邊形一樣，三角形的面積也有它的計算方法。 同學們想知道嗎？
（生異口同聲：想！ ）是讓張老師直接告訴你們，還是你們自己來發現？
（生：自己發現！）同學們真是好樣的！
因為，只有自己發現的問題才能掌握得最牢固，記憶得最深刻！ 我尊重你們的意見，並且願意幫助你們來學習！ 不過，我們的學習可不能急於求成，因為這樣往往無從下手。
我有個建議：我們的學習可以從提出具體的問題入手，通過乙個個細小的問題再步步深入地去解決大問題。 每個問題出現後，我們都可以先做出大膽的猜想，然後再通過一定的方法進行驗證。
如果這樣帶著問題有層次地思考，我們的學習不但有成效，而且非常有意義！咱們一起來試一試，好嗎？
2.嘗試**。
（1）三角形的面積與底和高是否有關係？
①提出問題。
師：張老師給大家帶個頭,先提出乙個問題：三角形也有底和高，那麼，它的面積與底和高是否有關係呢？
②學生猜想。
③思考驗證。 （教師用課件演示）
④得出結論。 三角形的面積與它的底和高有關係：底或高變化，它的面積就隨之發生變化。
（2）三角形的面積與底和高有什麼關係？
師：接下來，你們有什麼問題要提出來？
生：三角形的面積與它的底和高有什麼關係？
師：你們猜猜看，面積與底和高會有什麼關係？
生：三角形的面積會不會也是底和高相乘啊？ （師順勢板書：s＝ah？ ）
師： 三角形的面積計算方法是不是大家猜想的結果呢？我們還要通過認真的思考來驗證。
這個重要的任務要交給大家來完成，敢接受挑戰嗎？ 在你們開始行動之前，張老師先做個提醒，說不定對大家有所幫助：①三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，每種三角形都有三組對應的底和高。
請你選擇一種三角形，再選擇它其中的一組對應底和高。 然後思考：這一組底和高相乘計算出的是不是三角形的面積？
如果不是，那應該是誰的面積？ 把你的想法在練習本上畫出來。
②如果學習起來有困難，把你學過的知識搬出來，試著用知識間的聯絡來幫忙，或用轉化的方法來解決問題。
③如果需要的話，同桌或小組之間可以共同交流**，也可以向張老師求助。
學生開始嘗試**：或獨立，或合作。 教師巡視並參與學習，及時收集學生的學習情況。
教師組織學生交流自己或小組**的「成果」：
生 1：我選的是銳角三角形的一組底和高，它們相乘算出的不是三角形的面積， 而是外面這個平行四邊形的面積。 這個平行四邊形的底和高正好與三角形的底和高一樣，面積正好是三角形的 2 倍，所以用 ah 先算出平行四邊形的面積， 再除以 2 就是三角形的面積了。
生 2：我選的是直角三角形的一組底和高，它們相乘正好是長方形的面積，再除以 2 就是直角三角形的面積了。
生 3：我選的是鈍角三角形的一組底和高，底和高相乘也是先算出了平行四邊形的面積，再除以 2 就是三角形的面積。
師小結：大家很會思考！發現的結果也很有價值！
三角形的面積的確與它的底和高有關，用底和高相乘算出的不是三角形的面積，而是與三角形等底等高的平行四邊形的面積，而這個平行四邊形的面積正好是三角形面積的 2 倍，所以用底×高÷2 就可以算出三角形的面積了。
四、嘗試練習（略）
五、學習總結（略）
六、拓展延伸
師：三角形的面積計算方法，根據學過的知識，還可以通過其他方法來**和發現，有興趣的同學可以課下試一試。
課後思考
一、感悟數學思想
本節課的教學，我抓住了「轉化」這一核心思想並貫穿在教學的始終：在複習長方形、正方形和平行四邊形面積計算方法的基礎上加以提公升，指出可以統一用「底×高」計算三者的面積。 這樣，既溝通了知識間的聯絡，讓學生感受到知識在聯絡中的不斷發展，也為下面學習三角形面積計算公式的推導做好了鋪墊；接著，在引入新課環節，我利用課件動態演示「四邊形」變「三角形」的過程（如下圖），實則已經暗示了「平行四邊形」轉化為「三角形」的過程，為發現三角形面積與平行四邊形面積的關係埋下了伏筆； 在組織學生學習時， 我有意識地、不斷地對學生進行這樣的引導：
知識之間的「聯絡」是非常緊密的。 找到了這些聯絡，也就抓住了數學問題的實質， 我們的進一步學習就有了依據……如果學習起來有困難，把你學過的知識搬出來，試著用知識間的聯絡來幫忙， 或用轉化的方法來解決問題。 在課的結尾，我依然引導學生感悟到「轉化」在數學學習中的作用和魅力。
二、積累數學活動經驗
在三角形面積的**過程中， 我鼓勵學生積極思考、自主探索、合作交流，經歷「提出問題———大膽猜想———學習驗證———推理發現」的數學學習過程。 教師則努力做到積極參與、組織引導、扶放有度。 如：
「我尊重你們的意見，並且願意幫助你們來學習！」「我有個建議……咱們一起來試一試，好嗎？」「張老師給大家帶個頭，先提出乙個問題……」「在你們開始『行動』之前，張老師先做個簡單的提醒，說不定對大家有所幫助。
」「如果需要的話，同桌或小組之間可以共同交流**，也可以求助張老師。 」教師為學生的學習活動提供了寬鬆的環境，學生在學習的過程中不盲目、不盲從，有目的、有思路、有方法，這樣的學習活動必定能積累到寶貴的活動經驗，這樣的學習活動必定是有效的學習活動。
（作者單位：河南許昌市普通教育教學研究室）
積累數學活動經驗,感悟數學思想
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感悟數學思想積累數學活動經驗
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