----從2023年《課標》的三個案例說起
北京教科院吳正憲
如何幫助學生在數學學習中感悟數學思想，積累數學活動經驗呢？我們從2023年《課標》附錄的三個案例說起。
案例1：圖中每個小方格為1個面積單位，試估計曲線所圍成的面積。如圖一:
(圖一)
教師們對此題目並不陌生，，解決這個問題通常的做法是數方格。先數一數有多少個
整格，再數一數有幾個半格，把不滿整格的進行整合,最後累加起來,用此方法估計不規
則圖形的面積。這是我們常用的方法。
在這次審定課標的討論中，張恭慶院士的發言對我頗有啟發。他認為這樣處理沒能體
現估算的價值，此題還可以挖掘更豐富、更深刻的內涵。在張恭慶院士的建議下，我們
進行了討論，課標修改組對此也作了認真修改，以充分體現該題的數學教育價值。
教學時教師可以幫助學生事先做好規劃，鼓勵學生運用不同的方法估計圖形的面積。
例如，教學中教師可以啟發學生首先觀察圖形，邊進行思考「你認為曲線所圍成的面積
結果可能會在那個範圍之間呢？你能用已有的經驗來解決這個問題嗎？」 教師可以引導
學生試一試。首先選擇好用來估計的「單位」即：以圖形中的乙個小方格為乙個單位。
再找出曲線圍成圖形面積的上界和下界。學生可以這樣操作，先數出曲線圍成圖形內包
含的完整小方格數，用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的下界（有75
個這樣的單位）；然後再數出曲線圍成圖形邊緣接觸到的所有的小方格數，也用彩色筆將
它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的上界（有113個這樣的單位）。進一步引導
學生發現，第一種方法估計的比實際面積小，第二種方法估計的比實際面積大，實際的
面積是在這兩個數之間。 由此確定曲線圍成圖形面積可能的取值範圍。
如圖二：
(圖二)
在此基礎上教師可以鼓勵引導學生用自己的方法進行估計，通過記錄、計算、比較的**過程，體會估算的意義和方法。
教師繼續追問「那麼還有什麼方法能使估算的結果更接近實際面積的嗎？試一試！」對學有餘力的學生無疑是提出了更富有挑戰性的問題。
引導學生將所有的方格等分成更小的方格，繼續利用上面的經驗，探索出更接近實際面積的估計值。滲透極限思想。
如圖三:
圖三)同樣的數學學習素材，截然不同的教學設計，給我們的啟示是什麼？
「數方格」的設計沒能充分體現估算的學習價值，只是把估算當成乙個操作技能——數方格（知識點）去教了，為了教估算而估算。「尋找區間」的設計則注重學生估算意識和方法的培養。特別是選擇合適的估計「單位」是引導學生進行有效估算的關鍵，引導學生體驗逐漸逼近的極限思想。
教學過程中教師要注重幫助學生養成事先做好規劃的習慣，啟發學生運用不同的方法估計圖形的面積。通過對上界、下界的確定，幫助學生尋求取值範圍，找到合適的區間。這個上界、下界的確定，對學生體驗估算是很有意義的。
這是真正意義上估算價值的體現。 特別是通過教師引導學生將方格等分成更小的方格，使估計值更逼近準確值，從中滲透「極限」的數學思想。這對學生的數學學習是很有意義的。
估算教學要通過在具體情境背景下的問題解決，培養學生用近似的思想解決問題，培養學生估算意識和方法，讓學生多擁有一種解決問題的方法。並在其中幫助學生感悟數學思想和方法，積累數學數活動的經驗。
案例2：「乙個房間裡有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數和凳子腿數加起來共有60個，那麼有幾個椅子和幾個凳子？」
此題目老師們似乎也很熟悉，有人把它稱為「雞兔同籠」的變型。這是在過去的奧數培訓中是不可缺少的訓練內容。今天的《課標》中又增加了這樣的案例，為什麼？
該案例的數學教育價值何在？面對著同樣的教學內容，今天該怎樣進行教學？我們不妨將兩種教學方法做乙個比較。
過去教學此內容教師通常採用假設法，一開始就將自己明白的道理講給學生，比如「我們把所有的椅子都假設成有三條腿計算時，求出來的就是四條腿的椅子數；我們再把所有的椅子都假設成有四條腿計算時，求出來的就是三條腿的凳子數；」接著一下子就把算式給出來了。
（60－16×3）÷（4－3）＝12（四條腿的椅子數）
（60×4－60）÷（4－3）＝4（三條腿的凳子數）
學生死記硬背公式，照貓畫虎完成任務，沒有經歷公式數學化的學習過程。這樣的教學事實上正像東北師**寧中校長所說「老師講課不能太聰明了，老師雖然知道結果，但要引發學生思考。教師一下子把算式給出來了，學生還**什麼？
」在這樣的課堂裡學生已經沒有了探索的空間。《課標》（2023年版）教學建議中讓學生在解決問題的過程中「感悟數學思想，積累數學活動經驗」在此已經成為了一句空話！
我們一起來看看《課標》（2023年版）在案例的解讀中給出了怎樣的建議？這樣的教學又會給學生繼續學習數學帶來怎樣的後勁兒？
教師首先引導學生在對題目理解的基礎上進行觀察與猜想，並進行大膽嘗試，讓每一位學生親自做一做，運用嘗試的方法探索規律，得出結果。並記錄計算的過程，引發新的思考。
如：椅子數凳子數腿的總數
16 04×16=64
15 14×15+3×1=63
14 24×14+3×2=62
啟發學生觀察，「每減少乙個椅子就要增加乙個凳子，腿的總數就要減少4-3=1。」 如果繼續嘗試下去會有怎樣的情況發生？學生帶著觀察結果，繼續**……
13 34×13+3×3=61
12 44×12+3×4=60
至此得到椅子數12，凳子數4時，腿數恰好為60。通過引導學觀察發現：腿的總數為60時，需要減少的椅子數是64-60=4，於是椅子數是16-4=12，凳子數是0+4=4。
最後驗證：12×4+3×4=60，是正確的。當然，也可以引導學生從凳子數的變化思考，即：
「每減少乙個凳子就要增加乙個椅子，腿的總數就要增加4-3=1。」
教學中教師通過引導學生以常見的「四條腿的椅子、三條腿的凳子」簡單背景為研究素材，通過學生的觀察、猜想、實驗、發現「每減少乙個椅子就要增加乙個凳子，腿的總數就要減少4-3=1。」學生在嘗試中不斷地歸納出數學規律，抽象出數學模型，並在此基礎上推廣到其他同類問題的研究中。學生在解決問題的實踐中感悟數學思想，積累數學活動經驗，這是培養學生數學能力的重要途徑。
對於學有餘力的學生，教師可以鼓勵他們用字母代替椅子數與凳子數，得到計算腿的總數的數學模型。
學生經歷了觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，得出數學結論。學生經歷了數學化的學習過程，體會到從特殊到一般的數學思想歸納法。歸納是人們認識事物的基本的思想方法，學生在數學活動中感悟數學思想方法，同時學會逐步積累利數學活動經驗，為後續學習數學作好準備。
比較兩個案例，您從中獲得了怎樣的思考？
案例3：圖形分類
如圖，桌上散落著一些扣子，請把這些扣子分類。想一想：應當如何確定分類的標準？根據分類的標準可以把這些扣子分成幾類？然後具體操作，並用文字、圖畫或**等方式把結果記錄下來。
面對著形狀不同、顏色不同的、扣眼的數量不同的眾多扣子，教師應引導學生該從何做起？如何理利用學生已有的經驗進行分類？又該如何表示記錄這些分類的結果呢？
怎樣滲透分類的思想？教學中教師要注重結合具體的分類任務，設計有效的數學**活動，使學生經歷完整的分類過程。建議教師可以先放手讓學生先自己試一試，讓他們在困惑中發現問題、提出問題、學會反思；再動手實踐、歸納概括、形成正確的結論。
具體建議分四步完成：
學生自己嘗試、發現問題、提出問題。（為什麼同樣的扣子分的結果不一樣？ 引起主動反思。）
討論確定分類標準。（讓學生理解分類是要依賴分類標準的，例如，可以根據扣子的形狀、扣子的顏色或者扣眼的數量制定分類的標準。注意引導學生反思分類標準的交錯造成的分類結果的重疊與遺漏，如：
藍色的一類，方型的一類，就會有扣子既不在藍色的一類，又不在方型的一類，而有些扣子既在藍色的一類，也在方型的一類。所以分類時，要按同一類的標準分。）
抽象出圖形共性。（根據分類標準，引導學生實際操作，並運用文字、圖畫或**等方法記錄分類的結果，培養學生整理資料的能力。）
組織匯報。（學生報告分類結果，互動評價，教師引導學生回顧整理思路。）
2023年《課標》指出：「分類就是一種重要的數學思想。分類的過程就是對事物共性的抽象過程。
」學生正是在嘗試問題解決的過程中，感悟這樣一種分類的數學思想和方法。在分類的過程中學生首先發現了問題「為什麼同樣的扣子分的結果卻不一樣？」，引起主動反思，從而激起去尋求「新分類標準」的需求；然後再探索「新標準下的分類方法」。
學生經歷了對「形狀不同、顏色不同、扣眼數量不同」扣子的分類過程，在數學活動中體會著如何確定分類標準？如何在分類的過程中認識物件的性質？如何區分不同物件的不同性質？
經過實驗探索不斷積累活動經驗，加深對分類思想與分類方法的理解。學會分類，有助於學生分析和解決新的數學問題。學生在學習過程中成為了積極的探索者。
總之，教師要自覺幫助學生在積極參與數學學習中，重視數學思想的滲透和數學活動經驗積累。正像史寧中校長所說：「數學思想很重要！教師腦中有了意識，就能在教學中不斷的嘗試和滲透。
1．教育部義務教育數學課程標準北京師範大學出版社，2011：12.
2．教育部義務教育數學課程標準(修改意見)
如何幫助學生積累數學活動經驗
隨著數學新課程對 過程與方法 的關注，人們對其 數學活動經驗的內涵 組成 教育意義等都進行了深入的 在實際教學中 如何幫助學生有效地積累數學活動經驗 掌握所學知識，已成為數學教師密切關注的問題。鄭旭老師的 比較圖形的面積 課堂實錄，精彩的展現了積累數學活動經驗的過程。下面就鄭老師的課談幾點看法，一 ...
讓「微課」幫助學生感悟數學
作者 付海霞 讀與寫 中旬刊 2016年第06期 中圖分類號 g623.5 文獻標識碼 b 文章編號 1672 1578 2016 06 0222 01 小學數學新課程標準 指出 資訊科技的發展對數學教育的價值 目標 內容以及教學方式產生了很大的影響。數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代...
積累數學活動經驗,感悟數學思想
數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標誌。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷 體驗各種數學活動過程的結果。數學活動經驗需要在 做 的過程和 思考 的過程中幾點，是在數學學習活動過程中逐步積累的。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考 合作交流，逐步感悟數學思想，...