---《解直角三角形》教學案例
一、 教材分析
1、教材所處的地位和作用
本節課選自華東師大版九年級上冊25.3《解直角三角形》第一課，它是在學生學習了勾股定理和銳角三角函式的基礎上，以實際問題為載體,**解直角三角形的一般方法和思路。它是前面知識的綜合運用。
通過本節課學習，不僅可以鞏固勾股定理和銳角三角函式等相關知識，初步獲得解決問題的方法和經驗,而且還讓學生進一步體會數學與現實生活的密切聯絡，同時為本章的後續學習作了鋪墊，它是本章的乙個重要學習內容。
2、教學目標
（1）知識目標
①讓學生感受解直角三角形的必要性，理解解直角三角形的概念及相關知識。
②讓學生初步掌握運用三角函式及勾股定理的知識、解直角三角形的思想與方法。
③讓學生經歷觀察、操作、**、實踐，培養學生運用知識解決實際問題的能力，實現從感性到理性、從未知到已知，從已知到新知的矛盾特徵的轉化過程，形成新的知識網路。
（2）能力目標
①通過對實際問題的**與解決，讓學生經歷將實際問題抽象為數學問題的過程，培養學生自主探索的能力，發展應用知識。
②會把實際問題的數量關係轉化為解直角三角形的數學問題，感知數學建模的思想和過程，形成解決問題的基本策略與能力。
③通過課堂為學生提供的充分從事數學活動的機會，讓學生理解並掌握基本數學知識與技能，了解數形結合的思想方法，培養轉化、化歸的思想方法，進而獲得廣泛的數學活動的經驗。
（3）情感目標
①讓學生認識數學與人類生活的密切聯絡以及對人類發展的作用。體驗數學活動充滿著探索與創造，從而激發學生學習的好奇心與求知慾。
②通過學習，讓學生在學習活動中獲得成功的體驗，鍛鍊克服困難，戰勝困難的意志，建立自信心。
③在學生充分參與知識形成過程中，學會與人合作、交流的學習方法，形成大膽質疑、實是求是的科學態度，感受數學的嚴謹性及數學結論的確定性。
3、教材的重點和難點
重點：熟練地運用三角函式解直角三角形。
難點：把實際問題抽象為數學問題，建立合適的數學模型，探索解決問題的有效方法。
4、 教學裝置或教輔工具：
多**、三角板、計算器。
5、教學思路：觀察操作-概括歸納-應用提高
二、教學過程
(一)溫故知新：
1、直角三角形的理論依據：（提問學生）
① 三邊之間關係：
② 角之間關係： ∠a+∠b=90
③ 邊角之間關係：sina=cosb=；cosa=sinb=；tana=cotb=； cota=tanb=
2、例題:在rt△abc中，∠c＝90°，已知a＝， b＝，
求c，∠a，∠b
（教師講解，規範學生解題步驟。答案：∠a=60°，∠b=30°，c=12）
（二）新知**
1、定義:（教師講解後，直接引入定義）
解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．
2、提問：上面的例子是給了兩條邊。那麼，如果給出乙個角和一條邊，能不能求出其他元素呢？
練習:在rt△abc中，∠c＝90°, b＝15， ∠a＝30°，解這個直角三角形?
分析：題目實際是要求∠b,a,c的值
（答案：∠b=60°，a=5，c=10）
設計意圖：讓學生初步體會解直角三角形的含義、步驟及解題過程。
3、**：
（1）通過對上面兩個例題的學習，如果讓你設計乙個關於解直角三角形的題目，你會給題目幾個條件？如果只給兩個角，可以嗎？
（2）通過上面兩個例子的學習，你們知道解直角三角形有幾種情況嗎？
(教師引導學生觀察上述兩道例題，結合兩個**問題，開展合作交流**，學會初步知識歸納總結)
**結果：
（1）解直角三角形，只有下面兩種情況：
①已知兩條邊；
②已知一條邊和乙個銳角
即：「在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2個元素（至少有乙個是邊）就可以求出其餘的3個元素」
（2）已知兩角的直角三角形大小不能確定，因此不能求解
設計意圖：激發學生的合作**熱情，培養學生模擬和歸納總結能力，掌握解直角三角形的型別和條件，體會解直角三角形的需已知其中2個元素（至少要有一條邊）。
（三）應用示例
▲例1（課件展示）．如圖，一棵大樹在一次強烈的**中斷倒下，
試問你能通過測量哪些元素，從而知道大樹原來的高度？（精確到1公尺）
（充分徵集學生想法, 引導學生首先懂得將實際問題的圖形抽象為數學圖形進行研究。讓學生觀察思考解直角三角形應該知道哪些元素，結合剛才**結論：解直角三角形的需已知其中2個元素(至少要有一條邊)，進行尋找需要的測量條件，鞏固本節課教學重點）
測量條件一：(已知兩條邊)
如測量得樹的底端a到折斷處c的長度ac=11公尺，樹頂落在地面b處離樹的底端a距離ab=25公尺，求大樹在折斷之前高多少？（精確到1公尺）
學生分析思考：
(1)求大樹折斷倒下部分bc的長度；
解：如圖，在rt△abc中，
∠cab=90°,ac=11,ab=25
∴bc=
≈27（公尺）
∴bc+ac≈27+11≈38(公尺)
答：大樹在折斷之前高為38公尺。
測量條件二：（已知一條邊和乙個銳角）
如測量得樹頂落在地面b處離樹的底端a的距離ab=25公尺，倒下的樹徑cb與地面的夾角∠abc=24° 求大樹在折斷之前高多少？（精確到1公尺）
學生分析思考：
(1)求大樹折斷倒下部分bc的長度；
（2）求大樹的底端到折斷處部分ac的長度；
解：如圖，在rt△abc中，∠cab=90°,∠abc=24°,ab=25公尺
（1）∵cos∠abc=
∴bc==≈27（公尺）即大樹折斷倒下部分bc的長度約為27公尺.
(2) (關於ac的求解)
方法一:∵tan∠abc=
∴ac=ab·tan∠abc=25·tan24°≈11.1(公尺）
∴bc+ac≈27+11.1≈38（公尺）
答：大樹折斷之前高約為38公尺.
方法二∵sin∠abc=
∴ac= sin∠abc·bc
= sin24°·27
≈11.0
引導學生觀察思考: 可以用三種方法求出的ac值，它們的值各不同，哪種方法好呢?
設計意圖：鞏固利用直角三角形的有關知識解決實際問題，提高學生分析問題、解決問題的能力。同時，讓學生感受在解直角三角形的計算中要盡量使用原始資料，減少計算誤差。
」測量條件二的題目」是今年泉州市的中考題,讓學生明確中考題其實很多直接是課本題目的變式題,所以一定要重視課本,不放過課本的任何乙個題目.
(四)拓展提公升
▲例2、如圖，在△abc中, ∠b=45°, ∠c=60°,ab=6,求bc的長？
解：如圖，過點a作ad⊥bc於點d
∵在rt△abd中, ∠b=45° ab=6
cos∠abd=
∴bd= cos∠abd·ab
= cos45°·6
=3∴ad=bd=3
又∵在rt△acd中, ∠c=60°ad=3
tan∠acd=
∴dc===
∴bc=bd+dc=3+
練習：等腰三角形的頂角為120°，腰長為2cm,則它底邊的長為
(答案:2)
設計意圖：在學生掌握解直角三角形的知識基礎上，讓學生了解對於一些斜三角形的題目，我們可以通過新增輔助線，轉化構造為直角三角形進行相關求解,感悟數學化歸的思想方法。
（五）課堂小結：
（1）掌握解直角三角形型別及所需條件。
（2）學會將簡單的實際問題轉化為數學問題，養成「先畫圖，再求解」的習慣運用直角三角形知識解決生活中的問題。（數形結合和數學建模的思想）
（3）對於有些斜三角形題目可以通過新增輔助線，轉化為解直角三角形問題來求解。(化歸思想)
（六）作業布置：
課本79頁練習題的第1題。
課本p82,習題1（2）（3）
練習冊p104，基礎過關
▲教學反思：
新課程改革提出的要求是：讓學生通過交流、合作、討論的方式，積極探索，改進學習方法，提高學習質量，並學會將數學知識應用於生活實際,逐步形成正確地數學價值觀。本著這一基本理念，在本課的教學中，我始終注重的是學生的參與意識，注重學生對待學習的態度是否積極；注重引導學生從數學的角度去思考問題,讓學生主動暴露思維過程，及時得到資訊的反饋。
將解直角三角形的知識始終與現實生活中學生熟悉的實際問題相結合，不斷提高他們運用數學方法分析、解決實際問題的能力。在重視課本例題的基礎上，適當對題目進行延伸，結合中考試題，使例題的作用更加突出。在整個教學過程中，我讓學生領會從簡單到複雜的數學問題之間的關係,教學過程圍繞1、什麼是解直角三角形？
2、由什麼條件可解直角三角形？3、用什麼方法來解直角三角形？ 4、對於斜三角形怎麼辦等幾個知識點展開,層層深入。
教學過程要學生掌握數學建模,感悟多種數學思想方法,會把圖形語言、文字語言與數學符號語言有機地結合起來，從而達到靈活運用數學知識解決實際問題的最終目的。
數學建模思想方法作為數學的一種基本方法
數學建模思想方法作為數學的一種基本方法，滲透在初中數學教材的各種知識板塊當中，在方程 不等式 函式和三角函式等內容篇章中呈現更為突出，學生學習掌握這種思想方法是完成學習任務和繼續深造學習必備的基本能力。此外，新課標強調，數學教育要重視學生應用數學知識解決實際問題能力的培養，而這種能力的核心就是掌握數...
數學思想方法教學
摘要 全面推進素質教育是當今學校教育的發展方向，本文針對農村中學數學教育的思想方法，結合具體實際，提出自己一些有效的方法和措施。其中包括初中數學蘊含的數學思想 數學思想和方法的教學原則 數學思想和方法的教學策略及自己在山區中學數學教學中一些行之有效的方法和措施。關鍵詞 思想方法 教學原則 教學策略 ...
數學思想方法教學
摘要 全面推進素質教育是當今學校教育的發展方向，本文針對農村中學數學教育的思想方法，結合具體實際，提出自己一些有效的方法和措施。其中包括初中數學蘊含的數學思想 數學思想和方法的教學原則 數學思想和方法的教學策略及自己在山區中學數學教學中一些行之有效的方法和措施。關鍵詞 思想方法 教學原則 教學策略 ...