數學思想方法（一） 2009.2.25
實驗中學黎東材
【總述數學思想方法是對數學的認識內容和所使用的方法的本質認識，它是從某些具體數學認識過程中提煉出來的一些觀點，是知識轉化為能力的橋梁。
高考對數學思想和方法的考查是以知識為依託，以能力為目的。數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含於知識發生、發展和應用的過程中。因此，在高考中對數學思想和方法的考查必然要與數學知識相結合，以數學知識為素材，考查學生對數學思想和方法的理解和掌握程度。
高考對數學思想和方法的考查貫穿於整份試卷之中。客觀型試題雖以考查數學基礎知識、基本技能為主，但對數學思想和方法的考查也蘊含之中。解答題的考查要求能更深刻的體現出數學思想和方法在考查創新意識、應用意識、綜合能力中的地位和作用。
【函式與方程的思想】
函式是高中代數內容的主幹。函式思想是對函式內容在更高層次上的抽象、概括和提煉，是從函式各部分內容的內在聯絡和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題，寒暑思想貫穿於高中代數的全部內容。
函式知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。
(1) 函式和方程是密切相關的，對於函式，當時，就轉化為方程，也可以把函式式看做二元方程。函式問題（例如求反函式，求函式的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函式問題來求解，如解方程，就是求函式的零點。
(2) 函式與不等式也可以相互轉化，對於函式，當時，就轉化為不等式，借助於函式影象與性質解決有關問題，而研究函式的性質，也離不開解不等式。
(3) 數列的通項或前項和是自變數為正整數的函式，用函式的觀點處理數列問題十分重要。
(4) 函式與二項式定理是密切相關的，利用這個函式用賦值法和比較係數法可以解決很多二項式定理的問題。
(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關係問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函式的有關理論。
(6) 立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函式表示式的方法加以解決。
函式與方程、不等式是通過函式值等於零，大於零或者小於零二互相聯絡的，他們之間既有區別又有聯絡。函式與方程的思想，既是函式思想和方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，是研究變數與函式、相等與不等過程中的基本數學思想。
一、函式與方程
1.方程的解所在的區間為（ c ）
a. (0,1) b. (1,2) c. (2,3) d. (3,+∞)
2．(07天津)設均為正數，且，，.則
（ a ）
a. b. c. d.
3．(07湖南)函式，函式，則方程的解有（ b ）個
a.4 b.3 c.2 d.1
二、函式與不等式
4．如果函式對於任意實數，都有，那麼（ a ）
ab.cd.
5．（07安徽）若對任意，不等式恆成立，則實數的取值範圍是（ b ）
a. a＜-1 b.≤1c.＜
6.（08天津卷）設，若對於任意的，都有滿足方程，這時的取值集合為（ b ）
（a） （b） （c） （d）
7. （04天津卷）設是函式的反函式，則使成立的x的取值範圍為（ a ）
a． b． c． d．
8．（全國卷ⅰ）已知二次函式的二次項係數為，且不等式的解集為。
（ⅰ）若方程有兩個相等的根，求的解析式；
（ⅱ）若的最大值為正數，求的取值範圍。
解：（ⅰ）
①由方程 ②
因為方程②有兩個相等的根，所以，
即 由於代入①得的解析式
（ⅱ）由
及由 解得
故當的最大值為正數時，實數a的取值範圍是
三、函式與方程的思想貫穿高中數學
9．（08安徽卷）在數列在中，，，,其中為常數，則的值是 1 。
10．（08四川卷）設等差數列的前項和為，若，則的最大值為____4____。
11．數列中，，若數列是遞增數列，則實數的取值範圍是。
12．（07全國1理）的三個內角為，求當為何值時，取得最大值，並求出這個最大值。
13．（08崇文一模）如圖，在直三稜柱abc—a1b1c1中，∠abc=90°，ab=bc=aa1=2，d是ab的中點.
（i）求ac1與平面b1bcc1所成角的正切值； （ii）求證：ac1∥平面b1dc；
（iii）已知e是a1b1的中點，點p為一動點，記pb1=x. 點p從e出發，沿著三稜柱的稜，按照e→a1→a的路線運動到點a，求這一過程中三稜錐p—bcc1的體積表示式v（x）.
14. （07全國2）設為拋物線的焦點，為
該拋物線上三點，若，則
（ b ）
a．9 b．6 c．4 d．3
15．（07北京）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計畫將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．
（）求面積以為自變數的函式式，並寫出其定義域；
（）求面積的最大值．
【分類討論思想方法】
引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：
（1）問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如絕對值的定義
（2）問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有範圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前項和的公式
（3）解含有引數的題目時，必須根據引數的不同取值範圍進行討論。如解不等式
（4）另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。
一、因數學概念、定理、公式等需要討論
1．若，且，則實數中的取值範圍是（ d ）
ab. cd.
2．一條直線過點（5，2），且在軸，軸上截距相等，則這直線方程為（ d ）
ab.cd.
3．已知橢圓的離心率 e＝， 則m的值為（ b ）
a．3b．或3cd．或
4． 5．（06北京）在這五個數字組成的沒有重複數字的三位數中，各位數字之和為奇數的共有（ b ）
（a）36個 （b）24個 （c）18個 （d）6個
二、因問題本身含有引數
6．（06江西卷）若不等式對於一切成立，則取值範圍是（ c ）
a．0b. –2cd.-3
7．（05北京春）若不等式對於任意正整數恆成立，則實數的取值範圍是（ a ）
a. b. c. d.
8．解關於的不等式：
9．已知函式．
（1）當時求的最小值；
（2）設的最小值為，求的表示式；
（3）在（2）的條件下，求的最大值．
10．（08北京）已知函式，求導函式，並確定的單調區間．
【特殊與一般的思想】
通過對某些個例的認識，積累對這類事物的了解，由現象到本質，由實踐到理論；再用所得到的規律解決這類事物中的新問題。這種由特殊到一般再由一般到特殊的反覆認識的過程，就是人們認識世界的基本過程之一。
在高考考查中，突出體現的是特殊化的方法，常見的有構造特殊函式、特殊數列，尋找特殊點，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等。
一、代數中的特殊化
1．（2005遼寧）已知是定義在上的單調函式，實數
，，若，則（ a ）
(ab) (c) (d)
2．（07年安徽）定義在r上的函式既是奇函式，又是週期函式，是它的乙個正週期.若將方程在閉區間上的根的個數記為，則可能為( d )
a.0b.1c.3d.5
3.（08年遼寧）設是連續的偶函式，且當時是單調函式，則滿足的所有x之和為（ c ）
a． b． c． d．
4．(06上海卷)若關於的不等式≤＋4的解集是m，則對任意實常數，總有（ a ）
（a）2∈m，0∈m； （b）2m，0m； （c）2∈m，0m； （d）2m，0∈m．
5．已知數列滿足，則= （ b ）
a．0 b． c． d．
6．（06全國ii）設sn是等差數列｛an｝的前n項和，若＝，則＝（ a ）
（abcd）
7．（08朝陽一模）設數列的前項和為，對一切，點都在函式的圖象上．
（1）求的值，猜想的表示式，並用數學歸納法證明；
（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項迴圈地分為分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前後順序構成的數列為，求的值；
二、幾何中的特殊化
8．（07年全國1）乙個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三稜柱的三條側稜上．已知正三稜柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為．
9．（2005全國1）的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點為，，則實數= 1 。
10.（08江西卷）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值範圍是（ c ）
a． bcd．
11.（08福建卷)又曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為f1、f2,若p為其上一點，且,則雙曲線離心率的取值範圍為（ b ）
a.(1,3bc.(3d.
12．給定拋物線，證明在軸的正向上必存在一點，使得對於拋物線上任意一點過的弦均有為定值。
數學思想方法 一 2019
數學思想方法 一 2009.2.25 實驗中學黎東材 總述數學思想方法是對數學的認識內容和所使用的方法的本質認識，它是從某些具體數學認識過程中提煉出來的一些觀點，是知識轉化為能力的橋梁。高考對數學思想和方法的考查是以知識為依託，以能力為目的。數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含於...
數學思想方法教學
摘要 全面推進素質教育是當今學校教育的發展方向，本文針對農村中學數學教育的思想方法，結合具體實際，提出自己一些有效的方法和措施。其中包括初中數學蘊含的數學思想 數學思想和方法的教學原則 數學思想和方法的教學策略及自己在山區中學數學教學中一些行之有效的方法和措施。關鍵詞 思想方法 教學原則 教學策略 ...
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