【人教版】七年級數學思想與方法初步分析
七年級是初中數學的起步階段，能夠引導學生有意識去思考解題背後的邏輯思路，使學生能夠做到舉一反三，事半功倍，則可大大減輕學生的學習負擔，同時達到提高學習興趣和學習成績的目的。
一、 【數形結合思想】
數形結合就是將抽象的數學語言與直觀的影象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。
例1、一潛水艇所在的高度是海拔-50m，一條鯊魚在潛水艇的上方10m處，則鯊魚所在的高度是 m
練習：潛水艇上浮為正，下潛為負．若潛水艇原先在距水面80公尺深處，後來兩次活動記錄的情況是－10公尺，＋20公尺，則現在潛水艇在距水面______公尺的深處．
例2、6．如圖，a、b、c在數軸上的位置如圖所示，則|a+b|﹣|a+c|﹣|c﹣b
練習：a，b為有理數，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，如果數a，b，﹣a，﹣b在數軸上所對應的點分別為a，b，c，d，那麼這四個點在數軸上從左到右的順序依次為
例3、一件工程，甲單獨做要10天完成，乙單獨做要12天完成，丙單獨做要15天完成，甲、丙先合做了3天後，甲因事離去，由乙和丙繼續合做，問還需幾天才能完成？
練習：修築一條公路由三個工程隊承包，第一工程隊築了全程的後，第二工程隊築了剩下的，最後由第三工程隊築了18千公尺後完成了築路任務，問公路全長是多少千公尺？
例4、a、b兩地相距31千公尺，甲從a地騎自行車去b地，1小時後乙騎電單車也從a地去b地．已知甲每小時行12千公尺，乙每小時行28千公尺．若乙到達b地後立即返回，則在返回路上與甲相遇時距乙出發多長時間?
練習、一鐵路長1200km，現在有一列火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用時50s，整個火車完全在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度？
二、 【分類討論】
在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然後綜合得解，這就是分類討論法。
分類討論：就是化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。
分類的原因：
（1）問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。
（2）某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置要通過分類討論使之具有確定性。
例1、設a，b，c為不為零的實數，那麼x=的不同的取值共有
例2、數軸上表示整數點的點稱為整點，某數軸的單位長度是1厘公尺，若在這個數軸上隨意畫上一條長度為2006厘公尺的線段ab，則線段ab蓋住的整點個數為
例3、a、b兩地相距450km，甲、乙兩車分別從a、b兩地同時出發，相向而行.已知甲車速度為120km/h，乙車速度為80km/h，經過一段時間後兩車相距50km，則該段時間有多久？
練習：某人乘船由a地順流到b地，然後又逆流而上到c地，共乘船4小時，已知船在靜水中的速度為每小時7.5km，水流速度為每小時2.
5km，若a、c兩地間的距離為10km，求a、b間的距離。
練習：甲、乙、丙三人在長400 m的環形跑道上，同時同地分別以每秒6m、4m、8 m的速度跑步出發，並且甲、乙反向，甲、丙同向．當丙遇到乙時，即反向迎甲而跑，遇上甲時，又反向迎乙，如此練習下去，直到甲、乙、丙三人相遇為止，求丙跑了多少公尺．
例4、在直線上取a，b，c三點，使得ab=9cm，bc=4cm，如果o是線段ac的中點，則線段oa的長為cm．
練習：點c在直線ab上，ac=8cm，cb=6cm，點m，n分別是ac，bc的中點．則線段mn的長為
例5、在同一平面內，若∠boa=80°，∠boc=35°，求∠aoc的度數．
練習：已知∠aob=70°，∠boc=20°，oe為∠aob的平分線，of為∠boc的平分線，則∠eof
例6、如圖所示，a，b，c是一條公路上的三個村莊，a，b間路程為100km，a，c間路程為40km，現在a，b之間建乙個車站，設p，c之間的路程為xkm．
（1）用含x的代數式表示車站到三個村莊的路程之和；
（2）若路程之和為102km，則車站應設在何處？
（3）若要使車站到三個村莊的路程總和最小，問車站應設在何處？最小值是多少？
三、 【等價轉化思想】
等價轉化：就是把待解題轉化為已經解過的題。數學的解題過程，就是從未知向已知、從複雜到簡單的化歸轉換過程。
例1、計程車司機小李某天下午營運全是在東西走向的人民大道上進行的．如果規定向東為正，向西為負，他這天下午行車里程（單位：千公尺）如下：
+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6
（1）將最後一名乘客送到目的地時，小李距下午出車時的出發點多遠？
（2）若汽車耗油量為3公升/千公尺，這天下午小李開車共耗油多少公升？
等價模型：乙個點從數軸的原點開始，向右移動5個單位長度，再向左移動8個單位長度， 到達的終點表示的數是 ．
例2．已知a=y2﹣ay﹣1，b=2y2+3ay﹣2y﹣1，且多項式2a﹣b的值與字母y的取值無關，求a的值．
等價模型：關於x，y的多項式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4不含二次項，求6m﹣2n+2的值．
例3、如圖所示：當a=10，b=4時，π取值為3.14，求陰影部分的面積．
例4、代數式與m﹣的值互為相反數，則m的值為
例5、已知（m2-1）x2-（m-1）x+8=0是關於x的一元一次方程，它的解為n，試求關於y的方程m|y|=n的解．
例6、把稜長為1cm的若干個小正方體擺放如圖所示的幾何體，然後在露出的表面上塗上顏色（不含底面），求出塗上顏色部分的總面積．
四、 【方程思想】
方程思想是從問題的數量關係入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程），然後通過解方程來使問題獲解。
例1、如圖，兩根鐵棒直立於桶底水平的木桶中，在桶中加入水後，一根露出水面的長度是它的，另一根露出水面的長度是它的．兩根鐵棒長度之和為55cm，此時木桶中水的深度是____cm.
例2、三角形三邊長之比為7：5：4，若中等長度的一邊長的兩倍比其它兩邊長的和少3cm，則三角形的周長為
例3、小聰用正方形在2023年某月的日曆上任意框出3×3個數，經計算得知這9個數的和為162，你猜這9個數中，左下角的那個數是
例4、有一列數，按一定規律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…，其中某三個相鄰數的和是-1701，那麼這三個數中最小的數是
例5、根據如圖所示的計算程式，若輸出的值為-1，則輸入的值為
例6、線段ab上有兩點m、n，am：mb=5：11，an：nb=5：7，mn=1.5，求ab的長度。
例7、從o點引四條射線oa、ob、oc、od，若∠aob，∠boc，∠cod，∠doa度數之比為1∶2∶3∶4．
(1)求∠boc的度數．(2)若oe平分∠boc，of、og三等分∠cod，求∠eog．
數學思想方法 一 2019
數學思想方法 一 2009.2.25 實驗中學黎東材 總述數學思想方法是對數學的認識內容和所使用的方法的本質認識，它是從某些具體數學認識過程中提煉出來的一些觀點，是知識轉化為能力的橋梁。高考對數學思想和方法的考查是以知識為依託，以能力為目的。數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含於...
數學思想方法 一 2019
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高中數學思想方法之一 數形結合的思想
例題1 等差數列中，且，求 取何值時，最大？例題2 1 設，寫出方程在區間上只有一根的充要條件 2 關於的二次方程的兩個實數根的絕對值都大於1，求實數的取值範圍。例題4 如果複數滿足，求最小值。例題5 設命題甲 命題乙 判斷甲是乙成立的什麼條件？例題6 如果關於不等式僅有負數解，試求的取值範圍。例題...