線段角中所蘊涵的數學思想方法
數學思想和方法是數學的血液和精髓，是解決數學問題的有利**，是進行數學發現和創造的工具，數學思想方法又是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂.學生只有領會了數學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力. 在本冊中，隱含著許多重要的數學思想方法，需要我們去挖掘、拓展和應用，現歸納起來主要有以下幾種.
一、從特殊到一般的思想
從特殊到一般的數學思想方法即先觀察一些特殊的事例，然後分析它們共同具有的特徵，作出一般結論.
例1：已知直線l上有2個點，共有幾條線段？3個點呢？四個點呢？……n個點呢？
分析：要指出直線上有2個點，3個點，共得幾條線段，大家感覺比較容易解決，當對於n個點，就無法查出了，所以需要探索其中的規律.
⑴當有2個點時，如圖1，可得線段ab，共有1條.
⑵當有3個點時，如圖2，可得線段ab、ac、bc，共有2+1條.
⑶當有4個點時，如圖3，可得線段ab、ac、ad、bc、bd、cd,共有3+2+1=6（條）.
⑷當有5個點時，如圖4，可得線段,共有4+3+2+1=10（條）.
從上面的探索可以發現規律，直線l上有n個點，
共可得到（n-1）+（n-2）+……+3+2+1=條.
二、方程思想
方程思想是初中數學的重要思想，應用方程解決角和線段的計算問題，簡便易行，事半功倍.
例2:乙個角的補角加上後等於這個角的餘角的3倍,求這個角.
解:設這個角為,則它的餘角為,補角為,
根據題意,有180-x+10=3(90-x)
180-x+100=270-3x
2x=80
x=40
答:略.
例3:如圖5:已知,∠cob=2∠aoc,od平分∠aob,且∠cod=,求∠aob的度數.
分析:根據題意,由圖5易知: ∠cod=∠boc-∠bod=∠aob-∠aob=,若∠aob為,則可列出方程求解.
解:設∠aob=,得x -x=20,解這個方程,得x=120.
答:略.
例4:時鐘的分針從4點整開始,轉過多少度時,分針才能與時針重合?
分析:要解決此問題,必須先搞清楚有關時鐘與角度的數量關係:
(1)4點整時,時針和分針此時的夾角為.
(2)分針轉動時,時針和分針也在轉動,在相同時間內,分針的旋轉角度是時針旋轉角度的12倍.由於分針每分鐘旋轉6度的角,則時針每分鐘旋轉0.5度的角.
再設未知數,建立方程求解.
解:設分針走過x分鐘後,分針與時針重合,根據題意,可得6x-0.5x=120,解得x=.
故×=.
答:分針順時針旋轉,分針才能夠與時針重合.
例5：如圖6，b、c兩點把線段ad分成2：3：4三部分，m是ad中點，cd=8，求mc的長.
分析:由ab:bc:cd=2：3：4,可設ab=2x, bc=3x, cd=4x, cd=4x=8而求得x值,進而求出mc長.
解析:設ab=2x, 由ab:bc:cd=2：3：4, 得bc=3x, cd=4x,ad=(2+3+4) x=9 x.
因為cd=8,所以4x=8,所以x=2. 所以cd=4x=8, ad=9 x=18.
因為m是ad中點,
所以mc=md-cd=ad-cd=×18-8=1.
三、分類討論思想
分類討論的思想方法，就是對問題進行分類，逐一討論滿足條件的各類情況，達到問題的全面解決.
例6：線段ab、bc均在直線l上，若ab=12cm，ac==4cm，m、n分別是ab、ac的中點，則mn的長為_______.
解析：分兩種情況討論，如圖7，
當點c**段ab上時，mn=ma-na=ab-ac=6cm-2cm=4cm..
如圖8，當點c**段ab的延長線上時，nm=ma+na=ab+ac=6cm+2cm=8cm.
故ac的長為4 cm或8cm..
四、整體思想
整體思想是一種重要的思維方法，是知識轉化為能力的橋梁.
例7：如圖9,點m是ab的中點,點n 是cd的中點,已知ad=a, bc=b,用含有a、b的代數式表示mn的長.
分析：根據中點定義和線段和差來計算. 關鍵是把mb+cn的和看成乙個整體代入求值.
解析：因為m、n分別為ab、cd的中點，
所以am=mb，cn=nd.
所以am+nd=mb+cn= (ab+cd)= (ad-bc)= (a-b).
mn=mb+bc+cn=(mb+cn)+bc= (a-b)+b= (a+b).
五、數形結合的思想
數形結合的思想實際上是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來,化抽象為直觀或化直觀為抽象,使問題由難變易,由繁變簡,它是數學中重要常見的思想方法.
例8：數軸上有兩點a、b分別表示實數a、b,則線段ab的長度是_______.
分析：當a在b的右邊時，ab的長度是a-b（圖10）；當a在b的左邊時，ab的長度是b- a（圖11），所以線段ab的長度是|a-b|.
六、轉化思想
所謂「化歸」是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法.轉化思想在初中教學中貫穿始終.
例9:天河賓館在重新裝修後,準備在大廳的主樓梯上鋪設某種紅地毯,已知這種地毯每平方公尺售價30元,主樓道寬2公尺,其側面積如圖12所示,則購買地毯至少需要_____元.
分析:由題意知,長方形地毯的寬為2公尺,關鍵是求其長.由於地毯是沿主樓梯鋪設的,
故其長度應為每階樓梯的高度和加上寬度和,即為2.6+5.8=8.4(公尺),所以買地毯的錢數a為:
a≥8.4×2×30=504(元).故答案為 504.
數學思想方法的層次
三 相關概念界定 1 數學思想 1 轉化的思想 數學中充滿著各種矛盾，如繁和簡 難和易 一般和特殊 未知和已知等。通過轉化可以化繁為簡 化難為易 化一般為特殊，化未知為已知，使矛盾得到解決。數學問題解決的過程，實際上是由條件向結論轉化的過程，由條件先得出過渡的結論 然後一步一步轉化，得到最後的結論。...
數學思想方法教學
摘要 全面推進素質教育是當今學校教育的發展方向，本文針對農村中學數學教育的思想方法，結合具體實際，提出自己一些有效的方法和措施。其中包括初中數學蘊含的數學思想 數學思想和方法的教學原則 數學思想和方法的教學策略及自己在山區中學數學教學中一些行之有效的方法和措施。關鍵詞 思想方法 教學原則 教學策略 ...
數學思想方法教學
摘要 全面推進素質教育是當今學校教育的發展方向，本文針對農村中學數學教育的思想方法，結合具體實際，提出自己一些有效的方法和措施。其中包括初中數學蘊含的數學思想 數學思想和方法的教學原則 數學思想和方法的教學策略及自己在山區中學數學教學中一些行之有效的方法和措施。關鍵詞 思想方法 教學原則 教學策略 ...