三角形全面認識專題
一、【必掌握的基礎知識】
1 概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
2 三角形的分類：
（1）按角分:
（2）按邊分:
㈢ 三角形的三邊關係：任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊.
▲快速判定方法總結：
1) 不等邊三角形：最小兩個邊之和大於第三個邊，就能組成三角形.
2) 等腰三角形：兩腰之和大於底，就能組成三角形.
3) 等邊三角形：肯定能組成.
4）對應周長取值範圍：
若兩邊分別為、，則周長的取值範圍是（為較長邊）.
㈣. 三角形三個內角之間的關係：
①三角形內角和定理：三角形三個內角的和等於180°.
②三角形外角性質：三角形外角和是360°；三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和.
③大邊對大角，小邊對小角.
④三角形的內角中：最多有1個直角或鈍角，最多有3個銳角，最少有2個銳角；任意乙個三角形中的最大角一定不小於60°，最小角一定不大於60°.
▲直角三角形：
①兩銳角互餘30度所對的直角邊是斜邊的一半；
③三條高交於三角形的乙個頂點a=1/2∠b=1/3∠c ；
⑤ ∠a: ∠b: ∠c=1:2:3a=∠b＋∠c ；
⑦ ∠a: ∠b: ∠c=1:1:2a=90-∠b ；
㈤三線：
▲三角形的角平分線、高線、中線都有三條，都是線段；其中角平分線、中線都交於一點且交點在三角形內部，高所在直線交於一點（銳角三角形交於形內，直角三角形交於形上，鈍角三角形交於形外）.
1) 高線-----垂心
（等面積法）如：如圖，在直角△abc中， acb=，cd是斜邊ab上的高，則有
2) 中線------重心
☆三角形的中線：①平分底邊；②分得兩三角形面積相等並等於原三角形面積的一半；
③分得兩三角形的周長差等於鄰邊差；
（等高法）：高相等，底之間具有一定關係（如成比例或相等）
是△abc的中線，ae是△abd的中線，，則
2.（2013濟南）如圖，d、e分別是邊ab，bc上的點，ad=2bd，be=ce，設的面積為，的面積為，若，則的值為
3) 角平分線------內心:
①兩邊作垂線 ②三線合一 ③構造等腰 ④截長補短
1. 如圖1，bc＞ab，bd平分∠abc，且∠a+∠c=1800，求證：ad=dc．：
㈥ 三角形三大模型：
① 燕尾模型（飛鏢模型八字模型
③角平分線模型
1) 內角平分線 (雙內
2）內外角分線組合 (雙外)
3）外角平分線 (內外)
㈦ 全等三角形
① 全等三角形的判定
1. 邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（sas）
注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角.
2. 角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（asa）
3. 推論: 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas）
4. 邊邊邊公理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（sss）
由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質：三角形的穩定性.
( 除了上面的判定定理外，「邊邊角」或「角角角」都不能保證兩個三角形全等.)
5. 直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（「斜邊，直角邊」或「hl」）
② 證全等方法：
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線；也可將圖對折看，對稱以後關係現。
角平分線平行線，等腰三角形來添；角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連；線段和差及倍半，延長縮短可試驗。
線段和差不等式，移到同一三角形；三角形中兩中點，連線則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
▲相關命題：
①三角形中最多有1個直角或鈍角，最多有3個銳角，最少有2個銳角；
②銳角三角形中最大的銳角的取值範圍是60≤x<90，最大銳角不小於60度；
③任意乙個三角形兩角平分線的夾角=90＋第三角的一半；
④鈍角三角形有兩條高在外部；
⑤全等圖形的大小（面積、周長）、形狀都相同；
⑥面積相等的兩個三角形不一定是全等圖形；
⑦能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形；
⑧三角形具有穩定性；
⑨三條邊分別對應相等的兩個三角形全等；
⑩三個角對應相等的兩個三角形不一定全等；
兩個等邊三角形不一定全等；
兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等；
兩邊及一角對應相等的兩個三角形不一定全等；
兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等；
兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；
一條斜邊和一直角邊對應相等的兩個三角形全等；
乙個銳角和一邊（直角邊或斜邊）對應相等的兩個三角形全等；
一角和一邊對應相等的兩個直角三角形不一定全等；
有乙個角是60的等腰三角形是等邊三角形.
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