一、選擇題(每小題6分，共36分)
1．下列命題：①5>4或4>5；②9≥3；③命題「若a>b，則a＋c>b＋c」的否命題；④命題「矩形的兩條對角線相等」的逆命題．其中假命題的個數為( )
a．0 b．1
c．2 d．3
【解析】 ①是p或q形式的復合命題，p真q假，根據真值表，
故p或q為真；
②是p或q形式的復合命題，同理為真；
③否命題是「若a≤b，則a＋c≤b＋c」，是真命題；
④逆命題是「兩條對角線相等的四邊形是矩形」，是假命題，比如等腰梯形的對角線也相等．
【答案】 b
2． 「m>n>0」是「方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓」的( )
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
【解析】 mx2＋ny2＝1可化為＋＝1.因為m>n>0，所以0<<，因此橢圓焦點在y軸上，反之亦成立．
【答案】 c
3．與命題「若x∈a，則ya」等價的命題是( )
a．若xa，則ya
b．若ya，則x∈a
c．若xa，則y∈a
d．若y∈a，則xa
【解析】 由命題和其逆否命題等價，所以根據原命題寫出其逆否命題即可．
【答案】 d
4．命題「若a>0，則a2>0」的否命題是( )
a．若a2>0，則a>0
b．若a<0，則a2<0
c．若a≤0，則a2≤0
d．若a≤0，則a2≥0
【解析】 命題的否命題是條件結論都要否定．把原命題的條件和結論同時否定即可．
【答案】 c
5．設集合m＝{x|0a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
【解析】 a∈m時，推不出a∈n，例如a＝3.
但是a∈n時，a∈m成立．
故「a∈m」是「a∈n」的必要不充分條件．
【答案】 b
6．有下列四個命題：(1)「若xy＝1，則x，y互為倒數」的逆命題；(2)「面積相等的三角形全等」的否命題；(3)「若m≤1，則方程x2－2x＋m＝0有實數解」的逆否命題；(4)「若a∩b＝a，則ab」的逆否命題．其中真命題個數為( )
a．1 b．2
c．3 d．4
【解析】 (1)、(2)、(4)顯然成立．(3)∵x2－2x＋m＝0有實數解，∴δ＝4－4m≥0，即m≤1.所以(3)成立．
【答案】 d
二、填空題(每小題6分，共18分)
7．下列命題中：
①乙個整數的平方是偶數，則這個整數是偶數；②是無理數；③經過平面內一點和平面外一點的直線一定不在平面內；④若向量a、b是平面向量的一組基底，則a＋b與a－b也可作為平面向量的一組基底．
其中正確的命題是________．
【解析】 可用反證法證明，①②③④都為正確命題．
【答案】 ①②③④
8．在下列電路圖所示中，閉合開關a是燈泡b亮的什麼條件：
(1)如圖①所示，開關a閉合是燈泡b亮的條件；
(2)如圖②所示，開關a閉合是燈泡b亮的條件；
(3)如圖③所示，開關a閉合是燈泡b亮的條件；
(4)如圖④所示，開關a閉合是燈泡b亮的條件．
【解析】 (1)a閉合，b亮；而b亮時，a不一定閉合，故a是b的充分但不必要條件．
(2)a閉合，b不一定亮；而b亮，a必須閉合，故a是b的必要不充分條件．
(3)a閉合，b亮；而b亮，a必閉合，所以a是b的充要條件．
(4)a閉合，b不一定亮；而b亮，a不一定閉合，所以a是b的既不充分也不必要條件．
【答案】 充分不必要必要不充分充要條件既不充分也不必要
9．給定下列命題：
①若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實數根；
②「若a>b，則a＋c>b＋c」的否命題；
③「矩形的對角線相等」的逆命題；
④「若xy＝0，則x、y中至少有乙個為0」的否命題．
其中真命題的序號是________．
【解析】 ①∵δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，
∴①是真命題．
②否命題：「若a≤b，則a＋c≤b＋c」是真命題．
③逆命題：「對角線相等的四邊形是矩形」是假命題．
④否命題：「若xy≠0，則x、y都不為零」是真命題．
【答案】 ①②④
三、解答題(共46分)
10．(15分)寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題．
(1)若a>b，則ac2>bc2；
(2)若在二次函式y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac＜0，則該二次函式圖象與x軸有公共點；
【解析】 (1)逆命題：若ac2>bc2，則a>b；否命題：若a≤b，則ac2≤bc2；逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b.
(2)逆命題：若二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有公共點，則b2－4ac＜0.
否命題：若在二次函式y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，則該二次函式圖象與x軸沒有公共點；逆否命題：若二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸沒有公共點，則b2－4ac≥0.
11．(15分)給出以下命題，判斷p是q的什麼條件？
(1)p∶a＝b，q∶sin a＝sin b；
(2)p∶x>2且y>3，q∶x＋y>5；
(3)p∶正方形，q∶菱形；
(4)p∶a>b，q∶<.
【解析】 (1)當a＝b時，sin a＝sin b；當sin a＝sin b時，a不一定等於b，如sin＝sin，而≠.
所以p是q的充分不必要條件．
(2)當x>2且y>3時，x＋y>5成立；
當x＋y>5時，不一定有x>2且y>3成立，如x＝0，y＝6.所以p是q的充分不必要條件．
(3)正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，
所以p是q的充分而不必要條件．
(4)當a>b時， 《不一定成立，如a＝2，b＝－1.
當《時，a>b不一定成立，如a＝－3，b＝2.
所以p是q的既不充分也不必要條件．
12．(16分)求不等式(a2－3a＋2)x2＋(a－1)x＋2＞0的解是一切實數的充要條件．
【解析】 討論二次項係數：
由a2－3a＋2＝0，得a＝1，或a＝2.
當a＝1時，原不等式為2＞0恆成立，
∴a＝1適合；
當a＝2時，原不等式為x＋2＞0，即x＞－2，它的解不是一切實數，∴a＝2不適合．
當a2－3a＋2≠0時，必須有
由①得a＜1，或a＞2，由②得a＜1或a＞.
∴a＜1，或a＞.
∴所求的充要條件是a≤1或a＞.
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