第二章平行線與相交線
考點1:餘角、補角、對頂角
一、考點講解:
1.餘角:如果兩個角的和是 ,那麼稱這兩個角互為餘角.
2.補角:如果兩個角的和是 ,那麼稱這兩個角互為補角.
3.對頂角:如果兩個角有公共頂點,並且它們的兩邊互為反向延長線,這樣的兩個角叫做對頂角.
4.互為餘角的有關性質:
① ∠1+∠ 2=90°,則∠1、∠2互餘.反過來,若∠1,∠2互餘.則∠1+∠2=90○.
②同角或等角的餘角相等,如果∠l十∠2=90○ ,∠1+∠ 3= 90○,則∠ 2= ∠ 3.
5.互為補角的有關性質:
①若∠a +∠b=180○則∠a、∠b互補,反過來,若∠a、∠b互補,則∠a+∠b=180○.
②同角或等角的補角相等.如果∠a + ∠c=18 0○,∠a+∠b=18 0°,則∠b=∠c.
6.對頂角的性質:對頂角相等.
二、經典考題剖析:
【考題1-1】如圖l-2-1,直線ab,cd相交於點o,oe⊥ab於點o,of平分∠aoe,∠ 1=15○30』,則下列結論中不正確的是( )
a.∠2 =45○
b.∠1=∠3
c.∠aod與∠1互為補角
d.∠1的餘角等於75○30′
解:d 點撥:此題考查了互為餘角,互為補角和對頂角之間的綜合運用知識.
三、針對性訓練:
1._______的餘角相等,_______的補角相等.
2.∠1和∠2互餘,∠2和∠3互補,∠1=63○,∠3=__
3.下列說法中正確的是()
a.兩個互補的角中必有乙個是鈍角
b.乙個角的補角一定比這個角大
c.互補的兩個角中至少有乙個角大於或等於直角
d.相等的角一定互餘
4.輪船航行到c處測得小島a的方向為北偏東32○,那麼從a處觀測到c處的方向為( )
a.南偏西32b.東偏南32○
c.南偏西58d.東偏南58○
5.若∠l=2∠2,且∠1+∠2=90○則∠1=___,∠2=___.
6.乙個角的餘角比它的補角的九分之二多1°,求這個角的度數.
7.∠1和∠2互餘,∠2和∠3互補,∠3=153○,∠l
8.如圖 l-2-2,ab⊥cd,ac⊥bc,圖中與∠cab互餘的角有( )
a.0個 b.l個 c.2個 d.3個
9.如果乙個角的補角是150○ ,那麼這個角的餘角是______
10.已知∠a和∠b互餘,∠a與∠c互補,∠b與∠c的和等於周角的,求∠a+∠b+∠c的度數.
11.如圖如圖1-2-3,已知∠aoc與∠b都是直角,∠boc=59○.
(1)求∠aod的度數;
(2)求∠aob和∠doc的度數;
(3)∠a ob與∠doc有何大小關係;
(4)若不知道∠boc的具體度數,其他條件不變,這種關係仍然成立嗎?
考點2:同位角、內錯角、同旁內角的認識及平行線的性質
一、考點講解:
1.同一平面內兩條直線的位置關係是:相交或平行.
2.「三線八角」的識別:三線八角指的是兩條直線被第三條直線所截而成的八個角.正確認識這八個角要抓住:同位角位置相同,即「同旁」和「同規」;內錯角要抓住「內部,兩旁」;同旁內角要抓住「內部、同旁」.
3.平行線的性質:
(1)兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等,內錯角相等,同旁內角互補.
(2)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行.
(3)兩條平行線之間的距離是指在一條直線上任意找一點向另一條直線作垂線,垂線段的長度就是兩條平行線之間的距離.
二、經典考題剖析:
【考題2-1】如圖1―2―4,直線a ∥b,則∠a cb
解:78○
點撥:過點 c作cd平行於a,因為a∥b,所以cd∥b.則∠a c d=2 8○,∠dcb=5 0○.所以∠acb=78○.
【考題2-2】(2004、開福,6分) 如圖1―2―5,ab∥cd,直線ef分別交a b、cd於點e、f,eg平分∠b ef,交cd於點g,∠1=5 0○求∠2的度數.
解:65○
點撥:由ab∥cd,
得∠ bef=180○-∠1=130○ ,
∠ beg=∠2.
又因為eg平分∠bef,
所以∠2=∠beg=∠bef=65°(根據平行線的性質)
三、針對性訓練:
1.如圖1-2-6,ab∥cd,ac⊥bc,圖中與∠cab互餘的角有( )
a.l個 b.2個 c.3個 d.4個
2.下列說法中正確的個數是( )
(1)在同一平面內不相交的兩條直線必平行;
(2)在同一平面內不平行的兩條直線必相交;
(3)兩條直線被第三條直線所截,所得的同位角相等;
(4)兩條平行線被第三條直線所截,一對內錯角的平分線互相平行。
a.4個 b.3個 c.2個 d.1個
3.如果兩個角的一邊在同一條直線上,另一條邊互相平行,那麼這兩個角只能()
a.相等 b.互補c.相等或互補d.相等且互補
4.如圖l-2-7。ab∥cd,若∠abe=130○,∠cde=
152○,則∠bed=________
5.對於同一平面內的三條直線a, b, c,總結出下列五個論斷:①a∥b,②b∥c,③a⊥b,④a∥c,⑤a⊥c;以其中兩個論斷為條件,乙個論斷為結論,組成乙個你認為正確的命題
6.如圖 l-2-8,ab∥ef∥dc,eg∥bd,則圖中與∠1相等的角共有( )
a.6個 b.5個 c.4個 d.2個
7.兩條平行線被第三條直線所截,設一對同旁內角的平分線的夾角為山則下列結論正確的是( )
a、a>90○. b。a<90○.c、a =90○ .d.以上均錯
8.乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行,而乙個角比另乙個角的3倍少30○.,則這兩個角的大小分別是
9.如圖 1-2-9,ab∥cd∥pn,若∠abc=50°,∠cpn=150○,求∠bcp的度數.
10.如圖1-2-10,一條公路兩次拐彎後和原來的方向相同,即拐彎前後的兩條路互相平行,第一次拐的角為∠b=150○,則第二次拐的角∠c為多少度?為什麼?
11.如圖1-2-11 所示,若以dc、ab為兩條直線,這兩條直線被第三條直線所截,那麼第三條直線有幾種可能?都出現什麼角?分別寫出來.
12.如圖1-2-12所示,ab∥cd,分別**下面四個圖形中,∠apc與∠pab,∠pcd的關係,請你從所得的4個關係中任意選取乙個加以證明.
13.如圖1-2-13,已知直線m∥n,a、b為直線n上兩點,c、p為直線m上兩點.
(1)請寫出圖1-2-13 中面積相等的各對三角形;
(2)如果a、b、c為三個定點,點p在m上移動,那麼無論p點移動到任何位置,總有______與δabc的面積相等.理由是
考點3:平行線的判定
一、考點講解:
1.平行線的定義:在同一平面內.不相交的兩條直線是平行線.
2.如果兩條直線都與第三條直線平行,那麼.這兩條直線互相平行.
3.兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行;如果內錯角相等.那麼這兩條直線平行;如果同旁內角互補,那麼這兩條直線平行.這三個條件都是由角的數量關係(相等或互補)來確定直線的位置關係(平行)的,因此能否找到兩直線平行的條件,關鍵是能否正確地找到或識別出同位角,內錯角或同旁內角.
4.常見的幾種兩條直線平行的結論:
(1)兩條平行線被第三條直線所截,一組同位角的角平分線平行.
(2)兩條平行線被第三條直線所截,一組內錯角的角平分線互相平行.
二、經典考題剖析:
【考題3-1】一學員在廣場上練習駕駛汽車,若其兩次拐彎後仍沿原方向前進,則兩次拐彎的角度可能是( )
a.第一次向左拐30○,第二次向右拐 30○
b.第一次向右拐30○,第二次向左拐130○
c.第一次向右拐50○,第二次向右拐130○
d.第一次向左拐50○.第二次向左拐130○
解:a 點撥:本題創設了乙個真實的問題。
要使經過兩次拐彎後.汽車行駛的方向與原來的方向相同.就得保證原來,現在的行駛方向是兩條平行線且方向一致.本題旨在考查平行線的判定與空間觀念。解題時可根據選項中兩次拐彎的角度畫出汽車行駛的方向,再判定其是否相同,應選a.
【考題3-2】如圖l-2-14,已知b d⊥ac,ef⊥ac,d、f為垂足,g是ab上一點,且∠l=∠2.求證:∠agd=∠abc.
證明:因為bd⊥ac,ef⊥ac.所以bd∥ef.所以∠3=∠1.因為∠1=∠2,所以∠2=∠3.所以 gd∥bc.所以∠agd=∠abc.
點撥:審題時,根據分析,只看相關線段組成的圖形而不考慮其他部分,這樣就能避免圖形的其他部分干擾思路.
三、針對性訓練:
l. 已知:如圖l-2-15,下列條件中,不能判定是直線1∥2的是( )
a.∠1=∠3b.∠2=∠3
c.∠4=∠5d.∠2+∠4=180○
2.如圖l-2-16,直線ad與ab、cd相交於 a、d兩點,ec、bf與ab、cd交於點e、c、b、f,且∠l=∠2,∠b=∠c,求證:∠a=∠d.
3.乙個人從a點出發向北偏東60°方向走了4公尺到b點,再從b點向南偏西15°方向走了3公尺到c點,那麼∠abc等於( )
a.75○ b.45○ c.105○ d.135○
4.如圖l-2-17,把一張長方形紙條abcd沿ef摺疊,若∠efg=54○,試求∠deg和∠bgd′的大小.
5.如圖1-2-18,∠b=52○,∠dcg=128○,∠fgk=54°,問直線ab與ek及bd與fh的關係如何?請證明之.
初一數學相交線平行線複習卷
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