精鼎教育一對一授課學案
學生姓名
教師學科： 數學上課時期： 年月日
學案主題： 相似三角形知識點歸納課時：第次 ，時段
一、本節課重難點
二、本節課主要內容（包括知識點、例題、練習、小結等內容）
比例線段：
比與比例、比例的基本性質、合比性質、等比性質、兩線段的比、成比例線段、平行線分線段成比例、截三角形兩邊或其延長線的直線平行於第三邊的判定、**分割
1.線段的比的定義
在同一單位長度下，兩條線段的比叫做這兩條線段的比.
2.比例線段的定義
在四條線段中，如果其中兩條線段的等於另外兩條線段的 ，那麼這四條線段叫做成比例線段，簡稱在ab=cd中，a、d叫做比例的 ，b、c叫做比例的 ，稱d為a、b、c的
3.比例的性質
(1)比例的基本性質：如果a∶b=c∶d，那麼特別地，若a∶b=b∶c，即 ，則b叫a，c的比例中項.
(2)合(分)比性質：若，則
(3)等比性質：若=k，且則
4.**分割
(1)**分割的意義：點c把線段ab分成兩條線段ac和bc，如果那麼稱線段ab被點c**分割.其中點c叫做線段ab的ac與ab的比叫做 .
例題：1、若x是3、4、9的第四比例項，則x又x是6和y的比例中項，則y＝
2、已知＝＝＝，b＋d＋f＝50，那麼a＋c＋e＝
3、如果＝，那麼
4、已知5x-8y=0，則= 8、已知==，則=
5、已知=，則
6、把2公尺的線段進行**分割，則分成的較短的線段長為 。
7、如圖，在△abc中，ab=ac，∠a=，∠1=∠2，請問點d是不是線段ac的**分割點。
平行線截得的比例線段：如圖，有一組等距離的平行線，ae與ae』是任意畫的兩條直線，分別於這組平行線依次相交於點a,b,c,d,e,和a』,b』,c』,d』,e』。
比例式成立嗎？呢？ 呢？
你還能發現什麼呢？
總結：我們得到乙個基本事實
例1、已知線段ab（如圖）。
(1)你能把線段ab兩等分嗎？
(2)你能把線段ab三等分嗎？
(3)你能把線段ab五等分嗎？
(4)你能把線段ab分成ac，cb兩條線段，並使ac:cb=2：3嗎？
例2、如圖，ab∥ef∥cd,若ab=a,cd=b,ef=c,求證：
例3、如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，ab=12，cd=9，過對角線交點o作ef∥cd交ad,bc於e,f,求ef的長。
相似三角形及其判定：
1、定義法：三個對應角相等，三條對應邊成比例的兩個三角形相似．
2、平行法：平行於三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角
形與原三角形相似．
3、判定定理1：如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩
個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．
4、判定定理2：如果乙個三角形的兩條邊與另乙個三角形的兩條邊對應成比例，並且夾
角相等，那麼這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．
5、判定定理3：如果乙個三角形的三條邊與另乙個三角形的三條邊對應成比例，那麼這
兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．
下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：
（1） 如圖：稱為「平行線型」的相似三角形（有「a型」與「x型」圖）
(2) 如圖：其中∠1=∠2，則△ade∽△abc稱為「斜交型」的相似三角形。（有「反a共角型」、「反a共角共邊型」、 「蝶型」）
（3） 如圖：稱為「垂直型」（有「雙垂直共角型」、「雙垂直共角共邊型（也稱「射影定理型」）」「三垂直型」）
(4)如圖：∠1=∠2，∠b=∠d，則△ade∽△abc，稱為「旋轉型」的相似三角形。
相似三角形常見的圖形
證明題常用方法歸納：
(1)總體思路:「等積」變「比例」，「比例」找「相似」
(2)找相似：通過「橫找」「豎看」尋找三角形，即橫向看或縱向尋找的時候一共各有三個不同的字母，並且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，並且有可能是相似的，
則可證明這兩個三角形相似，然後由相似三角形對應邊成比例即可證的所需的結論.
(3)找中間比：若沒有三角形(即橫向看或縱向尋找的時候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線上)，則需要進行「轉移」(或「替換」)，常用的「替換」方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.
即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。①②③
(4) 新增輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮新增輔助線(通常是新增平行線)構成比例.以上步驟可以不斷的重複使用，直到被證結論證出為止.
注：新增輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角座標系中通常是作垂線（即得平行線）構造相似三角形或比例線段。
(5)比例問題：常用處理方法是將「乙份」看著k;對於等比問題，常用處理辦法是設「公比」為k。
(6)對於複雜的幾何圖形，通常採用將部分需要的圖形（或基本圖形）「分離」出來的辦法處理。
相似多邊形的性質
(1)相似多邊形周長比，對應對角線的比都等於相似比．
(2)相似多邊形中對應三角形相似，相似比等於相似多邊形的相似比．
(3)相似多邊形面積比等於相似比的平方．
注意：相似多邊形問題往往要轉化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是基礎和關鍵．
位似圖形有關的概念與性質及作法
1.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應頂點的連線都交於一點，那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形.
2. 這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.
注： （1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交於一點.
（2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.
（3） 位似圖形的對應邊互相平行或共線.
3.位似圖形的性質： 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於相似比.
注：位似圖形具有相似圖形的所有性質.
4. 畫位似圖形的一般步驟：
（1） 確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點）
（2） 分別連線原圖形中的關鍵點和位似中心，並延長（或擷取）.
（3） 根據已知的位似比，確定所畫位似圖形中關鍵點的位置.
（4） 順次鏈結上述得到的關鍵點，即可得到乙個放大或縮小的圖形. ①②③④⑤
注：①位似中心可以是平面內任意一點，該點可在圖形內，或在圖形外，
或在圖形上（圖形邊上或頂點上）。
②外位似：位似中心在連線兩個對應點的線段之外，稱為「外位似」（即同向位似圖形）
③內位似：位似中心在連線兩個對應點的線段上，稱為「內位似」（即反向位似圖形
（5） 在平面直角座標系中，如果位似變換是以原點o為位似中心，相似比為k（k>0）,原圖形上點的座標為（x,y）,那麼同向位似圖形對應點的座標為(kx,ky), 反向位似圖形對應點的座標為(-kx,-ky),
射影定理：
定義：射影定理的內容是在直角三角形中，每條直角邊是這條直角邊在斜邊的射影和斜邊的比例中項，斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項
例如：公式rt△abc中,∠bac=90°,ad是斜邊bc上的高,則有射影定理如下
例、已知cd是的高，，如圖3-1，求證：.
三角形內角與外角平分線定理：
內角平分線定理
已知：如圖1所示，ad是△abc的內角∠bac的平分線，求證，。
外角平分線定理
已知：如圖2所示，ad是△abc中∠bac的外角∠caf的平分線,求證，。
相似三角形的性質及其應用：
1、相似三角形的對應角相等，對應邊成比例.
2、相似三角形對應高線、對應中線、對應角平分線之比等於相似比.
3、相似三角形的周長比等於相似比；相似三角形的面積比等於相似比的平方.
4、三角形的「五心」指的是三角形的外心，內心，重心，垂心和旁心．
(1)、三角形的外心
三角形的三條邊的垂直平分線交於一點,這點稱為三角形的外心(外接圓圓心)．
三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等,都等於三角形的外接圓半徑．
銳角三角形的外心在三角形內；
直角三角形的外心在斜邊中點；
鈍角三角形的外心在三角形外．
(2)、三角形的內心
三角形的三條內角平分線交於一點,這點稱為三角形的內心(內切圓圓心)．
三角形的內心到三邊的距離相等,都等於三角形內切圓半徑．
內切圓半徑r的計算：
設三角形面積為s，並記p = (a+b+c)，則r=．
特別的，在直角三角形中,有 r = (a+b－c)．
(3)、三角形的重心
三角形的三條中線交於一點,這點稱為三角形的重心．
結論：三角形的重心分每一條中線成1:2的兩條線段（三角形的重心到邊的中點與到相應頂點的距離之比為 1∶ 2）．
(4)、三角形的垂心
三角形的三條高交於一點,這點稱為三角形的垂心．
(5)、三角形的旁心
三角形的一條內角平分線與另兩個外角平分線交於一點,稱為三角形的旁心．
每個三角形都有三個旁切圓．
相似三角形基礎知識訓練
一 比例 1 會根據比例式求第四比例項 比例中項 比例線段 2 比例性質 1 基本性質 2 合比定理 3 等比定理 3 分割 如圖，若，則點p為線段ab的 分割點 結論 paab 4 平行線分線段成比例定理 5 相似三角形 1 定義 對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形 2 判定方法 3 直角三角形...
相似三角形知識點梳理
相似三角形知識點大總結 知識點1 有關相似形的概念 1 形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.2 如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形 相似多邊形對應邊長度的比叫做相似比 相似係數 知識點2 比例線段的相關概念 1 如果選用同一單位...
相似三角形知識點總結
3 基本圖形 1 其中 1 2，則 ade abc 2 cd ad bd ac ad ab，bc bd ba ab ac bc cd 等面積法 4 相似三角形的應用 a 利用陽光下影子測量物體的高度 b 利用相似測河寬 c 利用標桿測量物體高度 如測旗桿高度 d 利用鏡子的反射測量物體的高度。四 位...