相似三角形基本知識
知識點一：放縮與相似形
1.圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動。
2.把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。
注意：相似圖形強調圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關。
相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。
我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中乙個圖形可以看作是由另乙個圖形放大或縮小得到的．
若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例——全等形．
3.相似多邊形的性質：如果兩個多邊形是相似形，那麼這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例。
注意：當兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應邊的長度的比值是1.
知識點二：比例線段有關概念及性質
（1）有關概念
1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那麼就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）
2、比的前項，比的後項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的後項。
說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。
3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如
4、比例外項：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項。
5、比例內項：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內項。
6、第四比例項：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。
7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例為（或a:b＝b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。
8.比例線段：對於四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：
b=c：d），那麼，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：
在求線段比時，線段單位要統一，單位不統一應先化成同一單位）
（2）比例性質
1.基本性質: （兩外項的積等於兩內項積）
2.反比性質： (把比的前項、後項交換)
3.更比性質(交換比例的內項或外項)：
4.合比性質：（分子加（減）分母,分母不變）
．注意：實際上，比例的合比性質可擴充套件為：比例式中等號左右兩個比的前項，後項之間
發生同樣和差變化比例仍成立．如：．
5.等比性質：（分子分母分別相加，比值不變.）
如果，那麼．
注意：(1)此性質的證明運用了「設法」 ，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法．
(2)應用等比性質時，要考慮到分母是否為零．
3)可利用分式性質將連等式的每乙個比的前項與後項同時乘以乙個數，再利用等比性質也成立．
知識點三：**分割
1）定義：**段ab上，點c把線段ab分成兩條線段ac和bc（ac＞bc），如果，即ac2=ab×bc，那麼稱線段ab被點c**分割，點c叫做線段ab的**分割點，ac與ab的比叫做**比。其中≈0.
618。
2）**分割的幾何作圖：已知：線段ab.求作：點c使c是線段ab的**分割點.
作法：①過點b作bd⊥ab，使；
②鏈結ad，在da上擷取de=db；
③在ab上擷取ac=ae，則點c就是所求作的線段ab的**分割點.**分割的比值為：
.（只要求記住）
3）矩形中，如果寬與長的比是**比，這個矩形叫做**矩形。
知識點四：平行線分線段成比例定理
(一)平行線分線段成比例定理
1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比.
例. 已知l1∥l2∥l3,
a d l1
b e l2
cf l3
可得2.推論:平行於三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例
由de∥bc可得：.此推論較原定理應用更加廣泛,條件是平行.
3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.那麼這條直線平行於三角形的第三邊. (即利用比例式證平行線)
4.定理:平行於三角形的一邊,並且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.
5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難麼在另一條直線上截得的線段也相等。
★★★三角形一邊的平行線性質定理
定理：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應成比例。
幾何語言 ∵ △abe中bd∥ce
簡記：歸納： 和推廣：類似地還可以得到和
★★★三角形一邊的平行線性質定理推論
平行於三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.
★★★三角形一邊的平行線的判定定理
三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行於三角形的第三邊.
三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行於三角形的第三邊.
★★★平行線分線段成比例定理
1．平行線分線段成比例定理：
兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例.
用符號語言表示：ad∥be∥cf,.
2．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那麼在另一直線上所截得的線段也相等.
用符號語言表示：.
重心定義：三角形三條中線相交於一點，這個交點叫做三角形的重心.
重心的性質：三角形的重心到乙個頂點的距離，等於它到對邊中點的距離的兩倍.
知識點五：相似三角形
1、 相似三角形
1）定義：如果兩個三角形中，三角對應相等，三邊對應成比例，那麼這兩個三角形叫做相似三角形。
幾種特殊三角形的相似關係：兩個全等三角形一定相似。
兩個等腰直角三角形一定相似。
兩個等邊三角形一定相似。
兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。
補充：對於多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；
2）性質：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。
3）相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。
如△abc與△def相似，記作△abc ∽△def。相似比為k。
4）判定：①定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。
②三角形相似的預備定理：平行於三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。
三角形相似的判定定理：
判定定理1：如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩
個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．(此定理用的最多)
判定定理2：如果乙個三角形的兩條邊和另乙個三角形的兩條邊對應成比例，並且夾
角相等，那麼這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．
判定定理3：如果乙個三角形的三條邊與另乙個三角形的三條邊對應成比例，那麼這
兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．
直角三角形相似判定定理:
.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。
.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，並且分成的兩個直角三角形也相似。
補充一：直角三角形中的相似問題：
斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似.
射影定理：
cd=ad·bd
ac=ad·ab，
bc=bd·ba
（在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用）.
補充二：三角形相似的判定定理推論
推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。
推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。
推論三：有乙個銳角相等的兩個直角三角形相似。
推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。
推論五：如果乙個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另乙個三角形的對應部分成比例，那麼這兩個三角形相似。
相似三角形的性質
①相似三角形對應角相等、對應邊成比例.
②相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等於相似比(對應邊的比).
③相似三角形對應面積的比等於相似比的平方.
2、 相似的應用：位似
1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交於一點，那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。
需注意：①位似是一種具有位置關係的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。
②兩個位似圖形的位似中心只有乙個。
③兩個位似圖形可能位於位似中心的兩側，也可能位於位似中心的一側。
④位似比就是相似比。
2）性質：①位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質。
②位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質，位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離等於位似比（相似比）。
③每對位似對應點與位似中心共線，不經過位似中心的對應線段平行。
中考試題分類彙編相似三角形
一、選擇題
1、如圖1,已知ad與bc相交於點o,ab//cd,如果∠b=40°,∠d=30°,則∠aoc的大小為（ ）
a.60° b.70° c.80° d.120°
2、如圖，已知d、e分別是的ab、 ac邊上的點，且那麼等於
a．1 : 9 b．1 : 3 c．1 : 8 d．1 : 2
3、圖為abc與dec重迭的情形，其中e在bc上，ac交de於f點，且ab // de。若abc與dec的面積相等，且ef=9，ab=12，則df=？( )
(a) 3 (b) 7 (c) 12 (d) 15 。
相似三角形知識點總結
3 基本圖形 1 其中 1 2，則 ade abc 2 cd ad bd ac ad ab，bc bd ba ab ac bc cd 等面積法 4 相似三角形的應用 a 利用陽光下影子測量物體的高度 b 利用相似測河寬 c 利用標桿測量物體高度 如測旗桿高度 d 利用鏡子的反射測量物體的高度。四 位...
相似三角形知識點梳理
相似三角形知識點大總結 知識點1 有關相似形的概念 1 形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.2 如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形 相似多邊形對應邊長度的比叫做相似比 相似係數 知識點2 比例線段的相關概念 1 如果選用同一單位...
相似三角形知識點大總結
知識點1 有關相似形的概念 1 形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.2 如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多 邊形 相似多邊形對應邊長度的比叫做相似比 相似係數 知識點2 比例線段的相關概念 1 如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別...