旋轉一、圖形的旋轉
1．旋轉的定義：
在平面內，將乙個圖形繞乙個定點沿某個方向轉動乙個角度，這樣的圖形變換稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.
注意：在旋轉過程中保持不動的點是旋轉中心．
2．旋轉的三個要素：
旋轉中心、旋轉的角度和方向.
3．旋轉的性質：
（1）對應點到旋轉中心的距離相等；
（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角；
（3）旋轉前後的圖形全等.
4．簡單圖形的旋轉作圖：
（1）確定旋轉中心；
（2）確定圖形中的關鍵點；
（3）將關鍵點沿指定的方向旋轉指定的角度；
（4）鏈結各點，得到原圖形旋轉後的圖形.
例1．如圖，rt△abc中，∠c＝90°，∠abc＝60°，△abc以點c為中心旋轉到△a′b′c的位置，使b在斜邊a′b′上，a′c與ab相交於d，試確定∠bdc的度數．
二、中心對稱
1．中心對稱和對稱中心：
把乙個圖形繞著某一點旋轉180°後，如果它能和另乙個圖形完全重合，那麼稱這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應點，叫做關於中心的對稱點.
2．中心對稱圖形：
在平面內，某一圖形繞某一點旋轉180°後能與原來的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.
3．關於中心對稱的作圖：
（1）確定對稱中心；
（2）確定關鍵點；
（3）作關鍵點的關於對稱中心的對稱點；
（4）鏈結各點，得到所需圖形.
4．關於原點對稱的點的座標：
（a，b）關於原點的對稱點是（-a，-b
例2．下列圖形中，中心對稱圖形是 （ ）
例5．下列圖形中，既是中心對稱又是軸對稱的圖形是( )
例3．把正方形adcb繞著點a，按順時針方向旋轉得到正方形agfe，邊bc與gf交於點h（如圖）．試問線段gh與線段hb相等嗎？
請先觀察猜想，然後再證明你的猜想．
例4、點p（-1，3）關於原點對稱的點的座標是
點p（-1，3）繞著原點順時針旋轉90o與p』重合，則p』的座標為 ；
三、旋轉的應用：
例5．已知e、f分別在正方形abcd邊ab和bc上，ab=1，∠edf=45°.求
△bef的周長.
一、選擇題
1．（蘇州）下列圖形中，旋轉600後可以和原圖形重合的是（ ）
a、正六邊形 b、正五邊形 c、正方形 d、正三角形
2．（眉山）數學課上，老師讓同學們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著圓心o旋轉多少度後和它自身重合？甲同學說：
45°；乙同學說：60°；丙同學說：90°；丁同學說：
135°．以上四位同學的回答中，錯誤的是（ ）
a、甲 b、乙c、丙 d、丁
3．（南平）如圖，將△abc繞著點c按順時針方向旋轉20°，b點落在位置，a點落在位置，若，則的度數是（ ）
a、50° b、60° c、70° d、80°
4．（安徽）在平面直角座標系中，a點座標為（3，4），將oa繞原點o逆時針旋轉900得到oa，則點a的座標是（ ）
a、（-4，3） b、（-3，4） c、（3，-4） d、（4，-3）
5．（濟寧）在平面直角座標系中，將點a1（6，1）向左平移4個單位到達點a2的位置，再向上平移3個單位到達點a3的位置，△a1a2a3繞點a2逆時針方向旋轉900，則旋轉後a3的座標為（ ）
a、（-2，1） b、（1，1） c、（-1，1） d、（5，1）
6．（嘉興）如圖，8×8方格紙上的兩條對稱軸ef、mn相交於中心點o，對△abc分別作下列變換：
①先以點a為中心順時針方向旋轉90°，再向右平移4格、向上平移4格；
②先以點o為中心作中心對稱圖形，再以點a的對應點為中心逆時針方向旋轉90°；
③先以直線mn為軸作軸對稱圖形，再向上平移4格，再以點a的對應點為中心順時針方向旋轉90
其中，能將△abc變換成△pqr的是（ ）
a、①② b、①③ c、②③ d、①②③
7．（黑龍江）在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是( )
abcd
8．（濰坊）如圖，邊長為1的正方形繞點逆時針旋轉到正方形，圖中陰影部分的面積為（ ）
a、 b、 c、 d、
9．如果兩個圖形可通過旋轉而相互得到，則下列說法中正確的有( )．
①對應點連線的中垂線必經過旋轉中心．②這兩個圖形大小、形狀不變．
③對應線段一定相等且平行． ④將乙個圖形繞旋轉中心旋轉某個定角後必與另乙個圖形重合．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
10．如圖1，同學們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的， 其中菱形aefg可以看成是把菱形abcd以a為中心( )．
a．順時針旋轉60°得到b．順時針旋轉120°得到
c．逆時針旋轉60°得到d．逆時針旋轉120°得到
圖1圖2圖3
11．如圖2，c是線段bd上一點，分別以bc、cd為邊在bd同側作等邊△abc和等邊△cde,ad交ce於f，be交ac於g，則圖中可通過旋轉而相互得到的三角形對數有( )．
a．1對 b．2對 c．3對 d．4對
12．如圖3，△abc中，ad是∠bac內的一條射線，be⊥ad，且△chm可由△bem旋轉而得，則下列結論中錯誤的是( )．
a．m是bc的中點 b． c．cf⊥ad d．fm⊥bc
13．如圖4，o是銳角三角形abc內一點，∠aob＝∠boc＝∠coa＝120°，p是△abc內不同於o的另一點；△a′bo′、△a′bp′分別由△aob、△apb旋轉而得，旋轉角都為60°，則下列結論中正確的有( )．
①△o′bo為等邊三角形，且a′、o′、o、c在一條直線上．
②a′o′＋o′o＝ao＋bo．
③a′p′＋p′p＝pa＋pb． ④pa＋pb＋pc>ao＋bo＋co
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
圖 414．在下圖4×4的正方形網格中，△mnp繞某點旋轉一定的角度，
得到△m1n1p1，則其旋轉中心可能是 （ ）
（a）點a （b）點b（c）點c （d）點d
二、填空題
1．（邵陽）如圖，若將△abc繞點o順時針旋轉180°後得到△a'b'c'，則a點的對應點a'點的座標是
2.（江陰）如圖，已知梯形abcd中，ad∥bc，∠b = 90°，ad = 3，bc = 5，ab = 1，把線段cd繞點d逆時針旋轉90 °到de位置，鏈結ae，則ae的長為
3．（青島）如圖，p是正三角形 abc 內的一點，且pa＝6，pb＝8，
pc＝10．若將△pac繞點a逆時針旋轉後，得到△p'ab ，則
點p與點p' 之間的距離為_______，∠apb＝______°．
4．（東營）在平面直角座標系中，已知點p0的座標為（1，0），將點p0繞著原點o按逆時針方向旋轉60°得點p1，延長op1到點p2，使op2=2op1，再將點p2繞著原點o按逆時針方向旋轉60°得點p3，則點p3的座標是
5． 如圖所示，p是等邊△abc內一點，△bmc是由△bpa
旋轉所得，則∠pbm
6．如圖，設p是等邊三角形abc內任意一點，△acp′是由△abp旋轉得到的，則pa_______pb＋pc (填「>」、「<」或「＝」)．
7． 如圖，e、f分別是正方形abcd的邊bc、cd上一點，且be＋df＝ef，則∠eaf
圖6圖7圖8圖9
8．如圖，o是等邊△abc內一點，將△aob繞b點逆時針旋轉，使得b、o兩點的對應點分別為c、d，則旋轉角為圖中除△abc外，還有等邊三形是
9．如圖rt△abc中，p是斜邊bc上一點，以p為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉90°得到△def，圖中通過旋轉得到的三角形還有
三、解答題
1．（大連）如圖，已知△abc和△a″b″c″及點o．
⑴畫出△abc關於點o對稱的△a′b′c′；
⑵若△a″b″c″與△a′b′c′關於點o′對稱，請確定點o′的位置；
⑶**線段oo′與線段cc″之間的關係，並說明理由．
2．（衡陽）已知，如圖□abcd中，ab⊥ac，ab=1，bc=，對角線ac、bd交於0點，將直線ac繞點0順時針旋轉，分別交bc、ad於點e、f
(1)證明：當旋轉角為90°時，四邊形abef是平行四邊形；
(2)試說明在旋轉過程中，線段af與ec總保持相等；
(3)在旋轉過程中，四邊形bedf可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由；如果能，說明理由並求出此時ac繞點0順時針旋轉的度數．
3．（聊城）如圖，在由邊長為的小正方形組成的方格紙中，有兩個全等的三角形，即和．
（1）請你指出在方格紙內如何運用平移、旋轉變換，將重合到上；
（2）在方格紙中將經過怎樣的變換後可以與成中心對稱圖形？畫出變換後的三角形並標出對稱中心．
4． 如圖17所示，△abp是由△ace繞a點旋轉得到的，
那麼△abp與△ace是什麼關係？若∠bap＝40°，∠b＝30°，
∠pac＝20°，求旋轉角及∠cae、∠e、∠bae的度數。
5．在△abc中，∠b=100，∠acb=200，ab=4cm，
△abc逆時針旋轉一定角度後與△ade重合，且點c恰好
成為ad中點，如圖19，
⑴指出旋轉中心，並求出旋轉的度數。
⑵求出∠bae的度數和ae的長。
旋轉知識點
1 定義 把乙個圖形繞某一點o轉動乙個角度的圖形變換叫做旋轉，其中叫做旋轉中心，叫做旋轉角。2 性質 1 對應點到旋轉中心的距離相等。2 對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角。二 中心對稱 1 定義 把乙個圖形繞著某乙個點旋轉180 如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心...
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旋轉知識點總結
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