第五章中心對稱圖形（二）
知識點歸納以及相關題目總結
一、和圓有關的基本概念
1.圓：
把線段op的乙個端點o固定，使線段op繞著點o在平面內旋轉1周，另乙個端點p運動所形成的圖形叫做圓。其中，定點o叫做圓心，線段op叫做半徑。
以點o為圓心的圓，記作「⊙o」，讀作「圓o」。
圓是到定點的距離等於定長的點的集合。
2.圓的內部可以看作是到圓心的距離小於半徑的點的集合。
3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大於半徑的點的集合。
4.弦：連線圓上任意兩點的線段。
5.直徑：經過圓心的弦。
6.弧：圓上任意兩點間的部分。
優弧：大於半圓的弧。
劣弧：小於半圓的弧。
半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
7.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。
8.等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。（圓心不同）
9.等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的兩個圓中，不存在等弧。
10.圓心角：頂點在圓心的角。
11.圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角。
12.圓的切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長。
13.正多邊形：
①定義：各邊相等、各角也相等的多邊形
②對稱性：都是軸對稱圖形；有偶數條邊的正多邊形既是軸對稱圖形有是中心對稱圖形。
14.圓錐：
①：母線：連線圓錐的頂點和底面圓上任意一點的線段。
②：高：連線頂點與底面圓的圓心的線段。
15.三角形的外接圓：三角形三個頂點確定乙個圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。
16.三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。
二、和圓有關的重要定理
1.圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。
2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。
3.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
4.圓心角的度數與它所對的弧的度數相等。
5.圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。
6.垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的弧。
垂徑定理的實質可以理解為：一條直線，如果它具有兩個性質：(1)經過圓心；(2)垂直於弦，那麼這條直線就一定具有另外三個性質：
(3)平分弦，(4)平分弦所對的劣弧，(5)平分弦所對的優弧。
推論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
7.同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於該弧所對的圓心角的一半。
8.直徑（或半圓）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
9.如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
10.確定圓的條件
不在同一條直線上的三個點確定乙個圓
經過三角形三個頂點可以畫乙個圓，並且只能畫乙個．這個三角形叫做這個圓的內接三角形。
經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。
三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等。
11.三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點
12.圓的切線垂直於經過切點的半徑。
13.經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的是直線是圓的切線。
14.從圓外一點引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
三、和圓有關的位置關係
1.點和圓：
如果⊙o的半徑為r，點p到圓心o的距離為d，那麼
2.直線和圓：
①直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交。
②直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。
③直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。
如果⊙o的半徑為r，圓心o到直線l的距離為d，那麼
3.圓和圓：
①兩個圓沒有公共點，並且每個圓上的點都在另乙個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。
②兩個圓有唯一的公共點，並且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另乙個圓的外部時，叫做這兩個圓外切，這個唯一的公共點叫做切點。
③兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩個圓相交。
④兩個圓有唯一的公共點，並且除了這個公共點以外，乙個圓上的點都在另乙個圓的內部時，叫做這兩個圓內切，這個唯一的公共點叫做切點。
（兩個圓外切和內切統稱為兩個圓相切。）
⑤兩個圓沒有公共點，並且乙個圓上的點都在另乙個圓的內部時，叫做這兩個圓內含。
（兩圓同心是兩圓內含的一種特例。）
如果兩圓的半徑分別為r、r，圓心距為d，那麼
四、和圓有關的計算
1. 多邊形和圓
每個內角的度數：
每個外角的度數： （等於中心角）
正多邊形和圓的關係定理：
任何正多邊形都有乙個外接圓和乙個內切圓，這兩個圓是同心圓，因此可以採用作輔助圓的辦法，解決一些問題。
對於一些特殊的正n邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規作圖。
2. 扇形：
面積公式或
3. 弧長：
弧長公式：
4. 圓錐：
（圓錐的側面展開圖，是乙個扇形。）
圓錐的側面積=s側＝×2πr×a＝πra
（圓錐的側面積與底面積的和稱為圓錐的全面積。）
五、和圓有關的作圖
1.圓心
做乙個已知圓的圓心
在圓上任意畫一條線，作垂直與這條線的直徑；再畫一條弦，繼續作垂直於這條弦的直徑；兩條直徑的交點就是圓心。
2.三角形的外接圓：
已知銳角三角形abc，用直尺和圓規作△abc的外接圓。
1 分別作邊ab、ac的垂直平分線de、fg，de與fc相交於點o
2 以o為圓心，oa為半徑作圓，⊙o就是所求作的圓。
3.用直尺和圓規做特殊的正多邊形：
（1）正四邊形
①在⊙o中作兩條互相垂直的直徑ac、bd
②依次連線a、b、c、d各點，四邊形abcd就是所求做的正四邊形。
（2）正六邊形
①在⊙o中任意做一條直徑ad
②分別以a、d為圓心，⊙o的半徑作半徑作弧，與⊙o相交於b、f和c、e
③依次連線a、b、c、d、e、f各點，六邊形abcdef就是所求作的正六邊形。
六、和圓有關的常作輔助線
1.見弦作弦心距
有關弦的問題，常作其弦心距（有時還需作出相應的半徑），通過垂徑定理來溝通結論與題設間的關係。
2.見直徑作圓周角
在題目中若已知圓的直徑，一般是做直徑所對的圓周角，利用「直徑所對的圓周角是直角」這一特徵來證明問題。
3.見切線作半徑
命題的條件中含有圓的切線，往往是連線過切點的半徑，利用「切線與半徑垂直」這一性質來證明問題。
5.兩圓相切作公切線
對兩圓相切的問題，一般是經過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關的角的關係。
6.兩圓相交作公共弦
對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可以把兩圓的弦聯絡起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯絡起來。
七、和圓有關的2解的問題
例1、已知：在⊙o中，弦ab∥ef,ab=2,ef=2, ⊙o的半徑r=2,求ab、ef間的距離。
分析：利用對稱性，可以在o點的另一側找到一條與ab平行且長為2的弦a』b』，所以ab與ef距底離為兩個結果。
例2、已知：在⊙o上，有一點a，過點a引絃ab、ac，弦心距分別為1、，⊙o半徑r＝2，求∠bac。
例3、已知：⊙o1與⊙o2相於a、b兩點，ab＝4，r1= 5,r2= 4。求o1 o2。
例4、⊙o1與⊙o2相切，r1=5,r2=3,求o1 o2。
例5、⊙o1與⊙o2內切於點a，已知r1=5 ，o1 o2＝4，求r2。
例6、若⊙o所在平面內一點p到⊙o上的點的最大距離為a，最小距離為b(a>b)，則此圓的半徑為
例7、在同一平面內，點p到⊙o的最長距離為8cm，最短距離為2cm，則⊙o的半徑為答案：⊙o的半徑應為5cm或3cm。）
例8、⊙o的直徑為6cm，如果直線a上的一點c到點o的距離為3cm，則直線a與⊙o的位置關係是答案：直線a與⊙o的位置關係是相切或相交。）
例9、⊙o的半徑為5cm，弦ab//cd，ab=6cm，cd=8cm，求ab與cd之間的距離。（答案：ab與cd之間的距離為1cm或7cm。）
例10、⊙o1與⊙o2相交於a、b兩點，⊙o1的半徑為10，⊙o2的半徑為17，公共弦ab=16，求兩圓的圓心距。（答案=21或=9。）
例11、⊙o的半徑為1cm，弦，，則∠bac答案：∠bac=15°或∠bac=75°。）
例12、兩圓相切，圓心距是10cm，其中一圓的半徑為4cm，則另一圓的半徑是_____。（答案：另一圓的半徑為6cm或14cm。）
例13、⊙o1的半徑為2cm，⊙o2的半徑為5cm，兩圓沒有公共點，則兩圓的圓心距d的取值範圍為答案：外離時，d>7cm；內含時，0cm≤d<3cm。）
例14、pa，pc分別切⊙o於a，c兩點，b為⊙o上與a，c不重合的點，若∠p=50°，則∠abc度。（答案：∠abc=65°或∠abc=115°。）
例15、在⊙o中，ab為直徑，cd為弦，ab⊥cd，p為圓周上與c，d不重合的任意一點，判斷∠cob與∠cpd的數量關係，並證明你的結論。（答案：當p在優弧cpd上時，∠cob=∠cpd；當p在劣弧cd上時，∠cob=。）
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