教學目的：通過本章的學習，使學生掌握概念、命題、推理、證明等的特點，了解並掌握在具體的教學過程中學生的心理分析。
教學內容：1、數學概念及其教學。2、數學命題及其教學。3、數學推理、證明及其教學。
教學重、難點：中學數學基礎知識的教學方法。
教學方法：講授法
教學過程：
1、數學概念的意義
客觀事物都有各自的許多性質，或者稱為屬性．人們在實踐活動中，逐漸認識了所接觸物件的各種屬性．在感性認識的基礎上，經過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，於是，便稱其為這種事物的本質屬性．反映事物本質屬性的思維形式叫做概念．
名稱（或符號）和與此相關聯的概念分屬兩個不同的範疇．概念反映名稱（或符號）的內容，表達出人們認識事物的結果，而概念的名稱（或符號）是表達概念的語言形式．有時同乙個概念會有不同的名稱（或符號），如「5」、「五」、「five」都表示同乙個數，因此，使用名稱（或符號）時，重要的是它所表達的內容，即相關聯的概念本身．
必須注意「屬性」與「本質屬性」的不同．乙個數學物件的某個屬性，可以是其它數學物件也具有的，但是本質屬性是它區別於其它數學物件的屬性．例如，一組對邊平行「是平行四邊形的屬性，但不是本質屬性；「對角線相等」是正方形的屬性，但不是本質屬性．一般的，乙個概念的本質屬性完全刻劃了這個概念，從這一點來說，它是不可分割的．它的一部分只是這個概念的屬性，但不再是本質屬性．
2、概念的外延與內涵
概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物．
乙個概念所反映的物件的總和，稱為這個概念的外延．例如，「平行四邊形」這一概念的外延是「所有平行四邊形的集合」，「偶素數」這一概念的外延是「2」．
乙個概念所反映的物件的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵．把這個概念的每乙個本質屬性都稱為這個概念的內涵的乙個表現形式式這些本質屬性之間是相互等價的，它們的全體構成乙個等價類．因此，乙個概念的內涵實際是乙個等價類，這個概念的內涵的每乙個表現形式都是它的乙個代表元．我們約定，一般情況下，說出乙個概念的內涵，只要說出它的任乙個代表元．
乙個概念的內涵和外延分別從質和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內涵與外延的統一體．概念的內涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內涵．
概念的外延和內涵是主觀對客觀的認識，由於人們對客觀事物的認識是發展變化的，概念的外延和內涵必然相應地發生變化，但是在發展變化的過程中有其相對的穩定性．例如角的概念，起初角是作為具有公共端點的兩條射線所構成的圖形．其外延在小學階段為0o到180o的角，到初中發展為0o到360o的角．後來發展成，角是一條射線繞著端點旋轉所形成的圖形．其外延，在平面幾何中為0o到360o的角，在三角中發展為任意角．在以上的發展變化過程中，角這一概念的外延與內涵都發生了變化，但是在數學科學體系的確定的階段，每乙個數學概念的外延和內涵都是確定的，並且如前面已經說過的，概念的外延和內涵二者是相互確定的．
當用集合表示乙個概念的外延時，就給出了這個概念的內涵．
3、概念間的關係
為了弄清數學概念，必須對互相聯絡著的概念進行比較，即比較它們的外延與內涵，研究相互間的關係．這裡介紹中學數學中常見的一些關係，從比較概念的外延入手，並結合分析內涵之間的關係．
（1）相容關係
如果兩個概念的外延至少有一部分重合，則稱它們之間的關係為相容關係．相容關係可分為以下三種情況：
i）同一關係
如果兩個概念的外延完全相同，則稱這兩個概念間的關係為同一關係，這兩個概念稱為同一概念．同一關係可用圖4-1表示．
之所以提出同一關係，是因為雖然概念的外延完全確定了概念的內涵，但內涵的表現形式可以不同．研究同一關係可以對概念的本質屬性有更深刻、更全面的認識，在推理證明中，這些等價的本質屬性互相代換，可使問題易於解決．
例1 下列各組概念是同一概念：
（i）偶素數；最小的正偶數．
（ii）有理數；形如q / p（p、q是整數，p≠0）的數．
（iii）等腰三角形底邊上的高、中線、頂角的平分線．
ii）從屬關係
如果乙個概念a的外延真包含於另乙個概念b的外延，那麼稱這兩個概念之間的關係為從屬關係．外延較小的概念a叫做種概念，外延較大的概念b叫做屬概念．如圖4-2所示．
例2 下列各組概念間具有從屬關係，前者是種概念，後者是屬概念：
（i）有理數；實數．
（ii）一元二次方程；整式方程．
（iii）矩形；平行四邊形．
種概念和屬概念是相對而言的．例如，「平行四邊形」這一概念，相對於「矩形」概念來說是屬概念，而相對於「四邊形」概念來說卻是種概念．
從內涵方面看，顯然種概念具有屬概念的一切屬性，而兩者的本質屬性又不相同，所以屬概念的本質屬性都是種概念的屬性，種概念的內涵真包含屬概念的內涵．即是說，具有從屬關係的概念之間，就包含的意義上講，外延愈小，內涵愈多；外延愈大，內涵愈少．反之，內涵愈多，外延愈小；內涵愈少，外延愈大．這稱為外延與內涵的反變關係．例如：
需要指出的是，如果在給定的乙個概念的基礎上，增多內涵或縮小外延，就得到原概念的乙個種概念；減少內涵或擴大外延，就得到原概念的乙個屬概念．
在數學中，為了對某乙個概念加深認識，或者為了用較一般的概念來說明特殊概念，往往採取逐步增加概念的內涵，使概念的外延縮小的方法，從而得到一系列具有從屬關係的概念，這種方法叫做概念的限定．例如，在平行四邊形的內涵中增加「有乙個角為直角」這一性質，就成為矩形的內涵了；同時，就從平行四邊形的外延縮小到了矩形的外延．
在相反的情況，為了從特殊概念來認識一般概念，而把某一概念的內涵逐步減少，使概念的外延逐步擴大，從而得到一系列具有從屬關係的概念，這種方法叫概念的概括．例如，與上面的例子相反的過程就是概念的概括．再如，從二次根式到n次根式，從（平面）四邊形到空間四邊形，都是概念的概括．
iii）交叉關係
如果兩個概念的外延有且只有部分重合，那麼稱這個概念間的關係為交叉關係，這兩個概念叫交叉概念．如圖4-3所示．
例3 下列各組概念是交叉概念：
（i）正數；整數．
（ii）等腰三角形；直角三角形．
（iii）矩形；菱形．
兩個交叉概念的外延重合部分所反映的物件，同時具有這兩個概念的一切屬性．另一方面，由這個外延的重合部分就給出了另乙個概念，它相對於原來的兩個概念來說都是種概念．如例3中的交叉概念「正數」和「整數」，其外延重合部分是正整數概念的外延，正整數同時包含了正數和整數的一切屬性．交叉概念「矩形」和「菱形」，其外延重合部分是正方形的外延，正方形概念同時是矩形和菱形的種概念，它的內涵同時包含了矩形和菱形的內涵．
（2）不相容關係
如果兩個概念的外延沒有任何部分重合，即它們的交集是空集，那麼稱這兩個概念間的關係為不相容關係或全異關係．
不相容關係可分為下列兩種情況．
i）對立關係
在同一屬概念之下的兩個種概念，如果它們的外延的交集是空集，而外延的並集小於這個屬概念的外延，那麼稱這兩個種概念之間的關係（相對於這一屬概念而言）為對立關係，這兩個種概念叫對立概念．（如圖4-4如示）．
例4 下列各組概念是對立概念：
（i）正有理數；負有理數（相對於屬概念「有理數」而言）．
（ii）等腰梯形，直角梯形（相對於屬概念「梯形」而言）．
（iii）整式方程；分式方程（相對於屬概念「代數方程」而言）．
對立概念雖然都具有給定屬概念的屬性，但是它們是相互排斥的，所反映的物件沒有乙個是相同的；另一方面，在給定的屬概念所反映的物件中存在著不屬於兩個概念中任何的乙個物件，即是有非此非彼的物件．如例4的（iii）中，無理方程即非整式方程又非分式方程．
ii）矛盾關係
在同一屬概念之下的兩個種概念，如果它們外延的交集為空集，而外延的並集等於這個屬概念的外延，那麼稱這兩個種概念之間的關係（相對於這一屬概念而言）為矛盾關係，這兩個概念稱為矛盾概念．如圖4-5所示．
例5 下列各組概念是矛盾概念：
（i）零；非零整數（相對於屬概念「整數」而言）．
（ii）不等邊三角形；等腰三角形（相對於屬概念「三角形」而言）．
（iii）整式方程；分式方程（相對於屬概念「有理方程」而言）．
矛盾概念也都具有給定屬概念的屬性，又是互相排斥的．同時，給定的屬概念所反映的任一物件，對這兩個種概念來說，有非此即彼的關係．如例5的（ii）中，任乙個三角形，或是不等邊三角形，或是等腰三角形，二者只有其一，同時二者必居其一．
值得注意的是，如果說明兩個概念是不相容概念，只要直接去比較二者的外延；但如果要進一步說明，是對立概念還是矛盾概念，則一定要相對於它們的乙個給定的共同的屬概念才能討論．例如「正整數」和「負整數」兩個概念，相對於屬概念「整數」來說是對立概念，而相對於屬概念「非零整數」來說，則是矛盾概念．
概念的不相容關係在數學證明的反證法、窮舉法中有所應用．
任何兩個聯絡著的可比較的概念之間必具有相容關係和不相容關係中的一種．進而分析，必具有同一關係、從屬關係、交叉關係、對立關係、矛盾關係之一種．具有全異關係的兩個概念未必是對立關係、矛盾關係，但具有對立關係、矛盾關係的兩個概念必是全異關係．對具相容關係的兩個概念亦可作類似分析．
4、概念的定義
（1）概念的定義
定義是建立概念的邏輯方法．人們在認識事物的過程中，經過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義．常常是在抽象出事物的本質屬性之後，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出物件的本質屬性．
下定義的方式，可以是直接揭示物件的本質屬性來給出定義，也可以是通過揭示概念的外延來給出定義，這是因為概念的外延完全確定了它的內涵．
對於用前一類辦法定義的概念，定義中揭示的這個概念所反映的物件的本質屬性，稱為基本本質屬性，也稱為這個概念的基本內涵．當要求說出乙個概念的內涵時，通常只要說出它的基本內涵．乙個概念，其物件的所有屬性都可以由定義推出．由於和本質屬性等價的屬性也是本質屬性，所以乙個概念，其反映的物件的本質屬性常常不止乙個，由它的任意乙個本質屬性都可以得到這個概念的乙個等價定義．例如，平行四邊形的定義為：「兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．」定義中直接揭示的「兩組對邊分別平行的四邊形」就是平行四邊形概念的基本內涵．而與之等價的，「兩組對邊分別相等的四邊形」，「一組對邊平行且相等的四邊形」，「兩組對角分別相等的四邊形」，「對角線互相平分的四邊形」等，都是平行四邊形的本質屬性，由其中任乙個都可得到平行四邊形的乙個等價定義．不過，中學數學教學中，一般不提等價定義．
邏輯基礎知識
邏輯題題目型別 1 削弱題 針對內容進行削弱 2 預設題 3 加強題 4 解釋題 5 邏輯技法題 針對邏輯形式解題 6 評價題 7 推斷題 8 比較題 9 結論題 10 數學題 上述排序是按重要程度大致進行的。邏輯準備方法 1 做專項練習 2 做綜合模擬試題 開始做專項練習不要追求速度，通過題目掌握...
兵營中學數學基礎知識競賽活動方案
兵營中學2011 2012學年度第一學期 初中數學基礎知識競賽方案 一 競賽目的 學生對數學基礎知識清晰明朗的掌握是把數學學活 學通的奠基石 基礎知識和基礎提醒掌握不好，也談不到舉一反三。因此為了夯實基礎知識，預防丟掉課本，重外輕本 重難輕易的現象發生 同時也為了培養我校初中生學習數學的興趣，提高中...
中學數學教師招聘考試專業基礎知識試卷
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