模糊數學知識小結
與模糊數學相關的問題
模糊聚類分析—根據研究物件本身的屬性構造模糊矩陣，在此基礎上根據一定的隸屬度來確定其分類關係
模糊層次分析法—兩兩比較指標的確定
模糊綜合評判—綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或物件作出乙個總的評價，如產品質量評定、科技成果鑑定、某種作物種植適應性的評價等，都屬於綜合評判問題。由於從多方面對事物進行評價難免帶有模糊性和主觀性，採用模糊數學的方法進行綜合評判將使結果盡量客觀從而取得更好的實際效果
模糊數學基礎
一.fuzzy 數學誕生的背景
1）乙個古希臘問題：「 多少粒種子算作一堆？」
2）fuzzy 概念的廣泛存在性，如「找人問題」
3）何謂fuzzy 概念？，如何描述它？
由集合論的要求，乙個物件x,對於乙個集合，要麼屬於a,要麼不屬於a，二者必居其一，且僅居其一，絕對不允許模稜兩可。這種絕對的方法，是不能處理所有科學的問題，即現實生活中的一切事物一切現象都進行絕對的精確化時行不通的，從而產生模糊概念。
二.模糊與精確的關係
對立統一，相互依存，可互相轉化。
- 精確的概念可表達模糊的意思：如「望廬山瀑布」
「飛流直下三千尺，凝是銀河落九天」
- fuzzy的概念也能表達精確的意思： 模糊數學不是讓數學變成模模糊糊的東西， 而是讓數學進入模糊現象這個禁區，即用精確的數學方法去研究處理模糊現象。
三. 模糊性與隨機性的區別
事物分確定性現象與非確定性現象
- 確定性現象：指在一定條件下一定會發生的現象。
- 非確定性現象分隨機現象與模糊現象
* 隨機性是對事件的發生而言，其事件本身有著明確的含義，
只是由於發生的條件不充分，事件的發生與否有多種可能性。
* 模糊性是研究處理模糊現象的，它所要處理的事件本身是模
糊的。模糊數學的廣泛應用性
模糊技術是21世紀的核心技術
模糊數學的應用幾乎滲透到自然科學與社會科學的所有領域：
1）軟科學方面：投資決策、企業效益評估、經濟巨集觀調控等。
2）**科學方面：**預報、**危害分析。
3）工業過程控制方面：模糊控制技術是複雜系統控制的有效手段。
4）家電行業：模糊家電產品,提高了機器的「iq」。
5）航空航天及軍事領域：飛行器對接c3i指揮自動化系統，nasa。
6）人工智慧與計算機高技術領域：模糊推理機、f專家系統、f資料庫、f語言識別系統、f機械人等，f-prolog、f-c等。
7）其它：核反應控制、醫療診斷等。
第 1 章模糊集的基本概念
模糊數學是研究和處理模糊性現象的數學方法. 眾所周知，經典數學是以精確性為特徵的.然而，與精確形相悖的模糊性並不完全是消極的、沒有價值的.
甚至可以這樣說，有時模糊性比精確性還要好.
例如,要你某時到某地去迎接乙個「大鬍子高個子長頭髮戴寬邊黑色眼鏡的中年男人」.
儘管這裡只提供了乙個精確資訊――男人，而其他資訊――大鬍子、高個子、長頭髮、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個人。
模糊數學在實際中的應用幾乎涉及到國民經濟的各個領域及部門，農業、林業、氣象、環境、地質勘探、醫學、經濟管理等方面都有模糊數學的廣泛而又成功的應用.
處理顯示物件的數學模型可分為：
確定性數學模型
隨機性數學模型
模糊性數學模型
1.2 模糊理論的數學基礎
經典集合
經典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無重複性；範圍邊界分明,即乙個元素x要麼屬於集合a(記作xa),要麼不屬於集合(記作xa)，二者必居其一。也就是說經典集合具有非此即彼的特點。
互異性，確定性。
1.3模糊子集及其運算
1.2.1模糊子集與隸屬函式
設u是論域，稱對映a(x)：u→[0,1]
確定了乙個u上的模糊子集a，對映a(x)稱為a的隸屬函式，它表示x對a的隸屬程度.經典集合的隸屬函式的值不是0就是1。
，則；，則為全集。
注：1： 使a(x) = 0.5的點x稱為a的過渡點，此點最具有模糊性.隸屬度為0.5的點是模糊性最高的點。
2：當對映a(x)只取0或1時，模糊子集a就是經典子集，而a(x)就是它的特徵函式. 可見經典子集就是模糊子集的特殊情形.
例：設論域u = (單位：cm)表示人的身高，那麼u上的乙個模糊集「高個子」(a)的隸屬函式a(x)可定義為
也可用zadeh表示法：
1.2.2模糊集的運算
（模糊集的運算都轉化到了他的隸屬函式上）
相等：a = b a(x) = b(x)；
包含：ab a(x)≤b(x)；
並：a∪b的隸屬函式為 (a∪b)(x)=a(x)∨b(x)；（隸屬度取大）
交：a∩b的隸屬函式為 (a∩b)(x)=a(x)∧b(x)；（隸屬度取小）
餘：ac的隸屬函式為ac(x) = 1- a(x).
模糊集的並、交、餘運算性質 ：
冪等律：a∪a = a， a∩a = a；
交換律：a∪b = b∪a，a∩b = b∩a；
結合律：(a∪b)∪c = a∪(b∪c)，
(a∩b)∩c = a∩(b∩c) ；
吸收律：a∪(a∩b) = a，a∩( a∪b)= a；
分配律：(a∪b)∩c = (a∩c)∪(b∩c)；
(a∩b)∪c = (a∪c)∩(b∪c)；
0-1律： a∪u = u，a∩u = a；
a∪ = a，a∩ = ；
還原律： (a c) c = a ；
對偶律：(a∪b) c = a c∩b c，
(a∩b) c = a c∪b c；
（注：模糊集不滿足排中律）
即不滿足
模糊集不再具有「非此即彼」的特點，這正是模糊性帶來的本質特徵.
1.4 模糊集的基本定理
-截集：(a) = a= 。模糊集的-截集a是乙個經典集合，由隸屬度不小於的成員構成.（為置信水平）
例：論域u=(學生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，a=「學習成績好的學生」的隸屬度分別為0.5,0.
6,0.7,0.8, 0.
9,0.95，則
(90分以上者) = {},
(60分以上者) = {}
a為模糊集合，但為經典集合.
定理1 設a, b(u ) (a, b是論域u 的兩個模糊子集)，,[0,1]，於是有-截集的性質：
(1) ab ab；
(2) ≤ a ；
(3) (a∪b) = a∪b，(a∩b) = a∩b.
定理2 (分解定理)設a(u )，xa，則
a(x) = ∨
定義 (擴張原理)設對映 f ：x y，定義
f (a) ( y ) = ∨
1.4 隸屬函式的確定
模糊數學的基本思想就是隸屬函式的思想，應用模糊數學方法建立模型的關鍵是構造隸屬函式。
1. 模糊統計方法：與概率統計類似，但有區別：若把概率統計比喻為「變動的點」是否落在「不動的圈」內，則把模糊統計比喻為「變動的圈」是否蓋住「不動的點」。
此法構造隸屬函式的步驟：
(1)作模糊統計試驗（如發放調查表）
(2)對獲得的統計資料區間進行分組處理，並求組號，組中距，覆蓋頻率等。
(3)列統計表，並求各分組區間的覆蓋頻率或隸屬頻率。
(4)畫隸屬函式曲線圖（即為所求的隸屬函式的曲線）
2. 指派方法
一種主觀方法，一般給出隸屬函式的解析表示式。
3.擇優比較法
4，二元對比排序法（用於實際不容易量化的指標）
5，利用matlab中的模糊工具箱(《模糊數學及其應用》p7)
第 2 章模糊聚類分析
2.1 模糊矩陣
1，定義1 設r = ()m×n，若0≤≤1，則稱r為模糊矩陣. 當只取0或1時，稱r為布林(boole)矩陣.
（設xy=，r為從 x 到 y 的二元關係，記
，，則r為布林矩陣(boole)，稱為r的關係矩陣.
布林矩陣(boole)是元素只取0或1的矩陣）
當模糊方陣r = ()n×n的對角線上的元素都為1時，稱r為模糊自反矩陣.
2，定義2 設a=()m×n ,b=()m×n都是模糊矩陣，
相等：a = b =；
包含：a≤b ≤；
並：a∪b = (∨)m×n；
交：a∩b = (∧)m×n；
餘：ac = (1-)m×n .
3，模糊矩陣的並、交、餘運算性質
冪等律：a∪a = a，a∩a = a交換律：a∪b = b∪a，a∩b = b∩a；
結合律：(a∪b)∪c = a∪(b∪c), 吸收律：a∪(a∩b) = a，
(a∩b)∩c = a∩(b∩ca∩(a∪b) = a；
分配律：(a∪b)∩c = (a∩c )∪(b∩c)；0-1律： a∪o = a，a∩o = o；
(a∩b)∪c = (a∪c )∩(b∪ca∪e = e，a∩e = a；
還原律：(a c) c = a對偶律： (a∪b) c =a c∩b c,
(a∩b)c =a c∪b c
4，模糊矩陣的合成運算與模糊方陣的冪
設a =，b =，定義模糊矩陣a 與b 的合成為：
a ° b =
其中1≤k≤s} .
5，模糊方陣的冪
定義：若a為 n 階方陣，定義= a °a， = ° a，…， =
例如：6，模糊矩陣的 - 截矩陣
定義7 設a =,對任意的∈[0, 1]，稱a=為模糊矩陣a的 - 截矩陣, 其中當≥ 時， =1；當＜ 時， =0.
2.2 模糊關係
與模糊子集是經典集合的推廣一樣，模糊關係是普通關係的推廣.
1,定義:設有論域x，y，x y 的乙個模糊子集 r 稱為從 x 到 y 的模糊關係.
模糊數學方法
在自然科學或社會科學研究中,存在著許多定義不很嚴格或者說具有模糊性的概念。這裡所謂的模糊性，主要是指客觀事物的差異在中間過渡中的不分明性，如某一生態條件對某種害蟲 某種作物的存活或適應性可以評價為 有利 比較有利 不那麼有利 不利 災害性霜凍氣候對農業產量的影響程度為 較重 嚴重 很嚴重 等等。這些...
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p211 1.用lindo lingo或matlab軟體求解本章的例題和下列模糊線性規劃問題 1 解 a.解普通線性規劃 lingo程式 max 3 x1 4 x2 4 x3 6 x1 3 x2 4 x3 1200 5 x1 4 x2 5 x3 1550 執行得 global optimal sol...
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