在自然科學或社會科學研究中,存在著許多定義不很嚴格或者說具有模糊性的概念。這裡所謂的模糊性，主要是指客觀事物的差異在中間過渡中的不分明性，如某一生態條件對某種害蟲、某種作物的存活或適應性可以評價為「有利、比較有利、不那麼有利、不利」；災害性霜凍氣候對農業產量的影響程度為「較重、嚴重、很嚴重」，等等。這些通常是本來就屬於模糊的概念，為處理分析這些「模糊」概念的資料，便產生了模糊集合論。
根據集合論的要求，乙個物件對應於乙個集合，要麼屬於，要麼不屬於，二者必居其一，且僅居其一。這樣的集合論本身並無法處理具體的模糊概念。為處理這些模糊概念而進行的種種努力，催生了模糊數學。
模糊數學的理論基礎是模糊集。模糊集的理論是2023年美國自動控制專家查德(l. a.
zadeh)教授首先提出來的，近10多年來發展很快。
模糊集合論的提出雖然較晚，但目前在各個領域的應用十分廣泛。實踐證明，模糊數學在農業中主要用於病蟲測報、種植區劃、品種選育等方面，在影象識別、天氣預報、地質**、交通運輸、醫療診斷、資訊控制、人工智慧等諸多領域的應用也已初見成效。從該學科的發展趨勢來看，它具有極其強大的生命力和滲透力。
在側重於應用的模糊數學分析中，經常應用到聚類分析、模式識別和綜合評判等方法。在dps系統中，我們將模糊數學的分析方法與一般常規統計方法區別開來，列專章介紹其分析原理及系統設計的有關功能模組程式的操作要領，供使用者參考和使用。
第1節模糊聚類分析
1. 模糊集的概念
對於乙個普通的集合a，空間中任一元素x，要麼xa，要麼xa，二者必居其一。這一特徵可用乙個函式表示為：
a(x)即為集合a的特徵函式。將特徵函式推廣到模糊集，在普通集合中只取0、1兩值推廣到模糊集中為[0, 1]區間。
定義1 設x為全域，若a為x上取值[0, 1]的乙個函式，則稱a為模糊集。
如給5個同學的性格穩重程度打分，按百分制給分，再除以100，這樣給定了乙個從域x=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]閉區間的對映。
x1：85分，即a(x1)=0.85
x2：75分， a(x2)=0.75
x3：98分， a(x3)=0.98
x4：30分， a(x4)=0.30
x5：60分， a(x5)=0.60
這樣確定出乙個模糊子集a=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。
定義2 若a為x上的任一模糊集，對任意0 1，記a=｛x｜xx, a(x)｝,稱a為a的截集。
a是普通集合而不是模糊集。由於模糊集的邊界是模糊的, 如果要把模糊概念轉化為數學語言，需要選取不同的置信水平 (0 1) 來確定其隸屬關係。截集就是將模糊集轉化為普通集的方法。
模糊集a 是乙個具有游移邊界的集合，它隨值的變小而增大，即當1 <2時，有a1∩a2。
定義3 模糊集運算定義。若a、b為x上兩個模糊集，它們的和集、交集和a的餘集都是模糊集, 其隸屬函式分別定義為：
ab) (x)= max ( a(x), b(x) )
ab) (x)= min ( a(x), b(x) )
ac (x)=1－a(x)
關於模糊集的和、交等運算，可以推廣到任意多個模糊集合中去。
定義4 若乙個矩陣元素取值為[0, 1]區間內，則稱該矩陣為模糊矩陣。同普通矩陣一樣，有模糊單位陣，記為i；模糊零矩陣，記為0；元素皆為1 的矩陣用ｊ表示。
定義5 若a和b是n×m和m×l的模糊矩陣，則它們的乘積c=ab為n×l陣, 其元素為：
cij= (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, l20.1)
符號「∨」和「∧」含意的定義為： a∨b=max(a, b)，a∧b=min(a, b)。
模糊矩陣乘法性質包括: 1) (ab)c=a (bc)；2) ai=ia=a；3) a0=0a=0; 4) aｊ=ｊa; 5) 若a、b為模糊矩陣且aij bij (一切i, j)，則ab，又若ab, 則ac bc，cacb。
2. 模糊分類關係
模糊聚類分析是在模糊分類關係基礎上進行聚類。由集合的概念, 可給出如下定義：
定義6 n個樣品的全體所組成的集合x作為全域，令xy=｛(x, y)｜xx, yy｝,則稱xy為x的全域乘積空間。
定義7 設r為xy上的乙個集合，並且滿足：
1) 反身性: (xi , yi)r，即集合中每個元素和它自己同屬一類；
2) 對稱性: 若(x, y)r，則(y, x)r，即集合中(x, y)元素同屬於類r 時, 則(y, x)也同屬於r；
3) 傳遞性: (x, y)r，(y, z)r，則有(x, z)r。
上述三條性質稱為等價關係，滿足這三條性質的集合r為一分類關係。
聚類分析的基本思想是用相似性尺度來衡量事物之間的親疏程度, 並以此來實現分類，模糊聚類分析的實質就則是根據研究物件本身的屬性來構造模糊矩陣，在此基礎上根據一定的隸屬度來確定其分類關係。
3. 模糊聚類
利用模糊集理論進行聚類分析的具體步驟如下：
(1) 若定義相似係數矩陣用的是定量觀察資料，在定義相似係數矩陣之前，可先對原始資料進行變換處理，變換的方法同系統聚類分析, 可參考第17章系統聚類分析一節。
(2) 計算模糊相似矩陣。設ｕ是需要被分類物件的全體，建立ｕ上的相似係數r,ｒ(i, j)表示i與j之間的相似程度，當ｕ為有限集時，r是乙個矩陣，稱為相似係數矩陣。定義相似係數矩陣的工作，原則上可以按系統聚類分析中的相似係數確定方法，但也可以用主觀評定或集體打分的辦法。
dps平台，對資料集
提供了以下8種建立相似矩陣的方法：
①相關係數法：
②最大最小法：
③算術平均最小法：
④幾何平均最小法：
⑤絕對指數法：
⑥絕對值減數法：
⑦夾角余弦法：
⑧歐氏距離：
(3) 聚類分析。用上述方法建立起來的相似關係r，一般只滿足反射性和對稱性，不滿足傳遞性，因而還不是模糊等價關係。為此，需要將r改造成r*後得到聚類圖，在適當的閾值上進行擷取，便可得到所需要的分類。
將r改造成r*，可用求傳遞閉包的方法。r自乘的思想是按最短距離法原則，尋求兩個向量xi與xj的親密程度。
假設r2=(rij )，即rij =(rik∧rkj )，說明xi 與xj是通過第三者k作為媒介而發生關係，rik∧rkj表示xi 與xj 的關係密切程度是以min(rik , rkj)為準則，因k是任意的, 故從一切rik∧rkj中尋求乙個使xi 和xj 關係最密切的通道。rm隨m的增加，允許連線xi 與xj 的鏈的邊就越多。由於從xi 到xj 的一切鏈中, 一定存在乙個使最大邊長達到極小的鏈，這個邊長就是相當於。
在實際處理過程中，r的收斂速度是比較快的。為進一步加快收斂速度，通常採取如下處理方法：
r→r2→r4→r8→…→r2k
即先將r自乘改造為r2，再自乘得r4，如此繼續下去，直到某一步出現r2k=rk=r*。此時r*滿足了傳遞性, 於是模糊相似矩陣(r)就被改造成了乙個模糊等價關係矩陣(r*)。
(4) 模糊聚類。對滿足傳遞性的模糊分類關係的r*進行聚類處理，給定不同置信水平的，求陣，找出r*的顯示，得到普通的分類關係。當=1時，每個樣品自成一類，隨值的降低，由細到粗逐漸歸併，最後得到動態聚類譜系圖。
4. dps平台操作示例
首先在編輯狀態下輸入編輯資料，格式是每一行為乙個樣本，每一列為乙個變數，然後將待分析的資料定義成資料矩陣塊，在選單方式下選擇「模糊數學模糊聚類」功能項，回車執行時，系統將提示使用者選擇資料轉換方法：
0.不轉換 1.資料中心化 2.對數轉換 3.資料規格化 4.資料標準化
作出資料轉換方式的選擇後，系統又將提示選擇建立模糊相似關係的計算方法，共有上面所述的8種方法可供選擇。
分析輸出的結果包括各個樣本的聯結序號、聯結水平、聚類譜系圖索引及在螢幕上顯示聚類譜系圖(拷屏可得到譜系圖硬拷貝, 或按s將圖形檔案以「.bmp」格式存放在盤上，然後可在windows有關應用軟體中調出)。
第2節模糊模式識別
1. 方法簡介
「模式」一詞**於英文pattern，原意是典範、式樣、樣品，在不同場合有其不同的含義。在此我們講的模式是指具有一定結構的資訊集合。
模式識別就是識別給定的事物以及與它相同或類似的事物，也可以理解為模式的分類，即把樣品分成若干類，判斷給定事物屬於哪一類，這與我們前面介紹的判別分析很相似。
模式識別的方法大致可以分為兩種，即根據最大隸屬原則進行識別的直接法和根據擇近原則進行歸類的間接法，分別簡介如下：
(1) 若已知n個型別在被識別的全體物件u上的隸屬函式，則可按隸屬原則進行歸類。此處介紹的是針對正態型模糊集的情形。對於正態型模糊變數x，其隸屬度為
其中a為均值，b2=22, 2為相應的方差。按泰勒級數展開，取近似值得
若有n種型別m個指標的情形，則第i種型別在第j種指標上的隸屬函式是
其中和分別是第i類元素第j種指標的最小值和最大值，, 而是第i類元素第j種指標的方差。
(2) 若有n種型別(a1, a2, …, an), 每類都有m個指標，且均為正態型模糊變數，相應的引數分別為,,(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，, , , 而是xij的方差。待判別物件b的m個指標分別具有引數aj , bj (j=1, 2, …, m)，且為正態型模糊變數，則b與各個型別的貼近度為
記si=，又有si0=，按貼近原則可認為b與ai 0最貼近。
圖303 模糊識別分析的資料編輯定義圖
根據如上介紹，dps系統中設計了兩個功能模組：一是根據在集合上的隸屬函式，按隸屬原則識別物件，判定樣本的類別歸屬；二是根據模糊集兩兩之間的貼近度，按擇近原則，確定出最接近的兩個模糊集。
數學建模模糊數學方法
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