9.2 灰靶決策
定義9.2.1 設為局勢集，為局勢在目標下的效果值，r為實數集，則稱：
為在目標下的效果對映。
定義9.2.2 若，則稱對策與關於事件在目標下等價，記作，稱集合
為目標下關於事件對策的效果等價類。
設目標是效果值越大越好的目標，，則稱目標下關於事件對策優於，記作
稱集合為目標下關於事件對策的優勢類。
類似地，可以定義效果值適中為好，或越小越好情況下的對策優勢類。
定義9.2.3 若，則稱事件關於對策目標下等價,記作，稱集合
為目標下關於對策效果等價類.
設目標是效果值越大越好的目標，，則稱目標下關於對策事件優於事件，記作，稱集合
為目標下關於對策的事件的優勢類。
類似的，可以定義效果值適中為好，或越小越好情況下的事件優勢類。
定義9.2.4 若，則稱局勢在目標下等價於局勢，記作
稱集合為目標下局勢的效果等價類。
設目標是效果值越大越好的目標，若，則稱局勢在目標下優於局勢，記作，稱集合
為目標下局勢的效果優勢類
類似地，可以定義效果值適中為好，或越小越好情況下的局勢效果優勢類。
命題9.2.1 設
為目標下的效果集，為目標下的局勢效果等價類所成之集，則對映
是到上的。
定義設為目標下局勢效果的上、下臨界值，則稱為目標下的一維決策灰靶，並稱為目標下的滿意效果，稱相應的為目標下的可取局勢，為目標下的關於事件的可取對策。
命題設為局勢在目標下的效果值，，即為目標下的可取局勢，則對任意的亦為可取局勢，即當可取時，其效果優勢類中的局勢皆為可取局勢。
以上是單目標的情況，類似地，可以討論多目標局勢的決策灰靶。
定義設為目標1的局勢效果臨界值，為目標2的局勢效果臨界值，則稱
為二維決策灰靶。若局勢的效果向量，則稱為目標和目標下的可取局勢，為事件在目標下的可取對策。
定義9 設；分別為目標下的局勢效果臨界值，則稱維超平面區域
為維決策灰靶。若局勢的效果向量
其中為局勢在目標下的效果值，則稱為目標下的可取局勢，為事件在目標下的可取對策。
決策灰靶實質上是相對優化意義下滿意效果所在的區域。在許多場合下，要取得絕對的最優是不可能的，因而人們常常退而求其次，要求有個滿意的結果就行了。當然，根據需要，可將決策灰靶逐步收縮，最後蛻化為一點，即是最有效果，與之對應的局勢就是最優局勢，相應的對策即為最優對策。
定義9.2.8 稱
為以為靶心，以r為半徑的維球形灰靶。稱為最優效果向量。
定義9.2.9 設，稱
為向量的靶心距。靶心距的數值反映了局勢效果向量的優劣。
定義9.2.10 設，為不同的局勢，；分別為與的效果向量。若
9.2.7)
則稱局勢優於。記作，噹式中等號成立時，亦稱為與等價，記作。
定義9.2.11 若對與，恒有，則稱最優局勢不存在，或稱事件無最優對策。
定義9.2.12 若最優局勢不存在，但存在，使任意與，都有
即對任意的，有，則稱為次優局勢，並稱為次優事件，為次優對策。
為討論方便起見，我們將靶心取為原點，這只需對決策效果向量進行適當變換即可，此時靶心距轉化為決策效果向量的2-範數。
定理9.2.1 設為局勢集，
為球形灰靶，則s在「優於」關係下構成有序集。
定理9.2.2 局勢集中必有次優局勢。
證明此為引理。
例設「下雨」為事件，「打傘」、「穿雨衣」、「戴斗笠」分別為對策試按效能、經濟、輕便三個目標作灰靶決策。
解記效能為目標1，經濟為目標2，輕便為目標3。三種局勢分別為，，。
對於目標1，即從防雨效能看，傘最好，雨衣次之，斗笠最差。我們以效能最好的為一級，標為類似可有
對於目標2，則斗笠最經濟，傘次之，雨衣最不經濟，於是有。
對於目標3，則斗笠最輕便，傘次之，雨衣最不輕便，於是有。
從而得三種局勢的效果向量，
. 取球心為，半徑為的灰靶，即
，則，故為滿意效果向量，對應為可取局勢，即對事件下雨，打傘是可取對策。
進一步，還可以計算靶心距
因為，所以，亦為次優局勢。
如果我們將各個目標的一級效果取為0，二級效果取為1，**效果取為2，則可得到靶心在圓點的球形灰靶。
如果將事件改為下雨、騎自行車或下雨、攜帶重物等復合事件，則局勢效果向量隨之變化。相應地，可取局勢，次優局勢亦可能發生變化。
在例9.2.1中，雖然確實不存在最優局勢，但我們卻找到了可取的次優局勢。
這就是灰靶決策的智慧型含義或叫靈活性。比如某公司指派一位代表去外地洽談訂貨業務，可以交代他說「訂貨金額5萬元左右，質量品種規格合適，就可以成交。」也可以告訴他說「訂貨金額5萬元，優質名牌產品，單價元，方可成交。
」前一種說法就是給了乙個灰靶，業務代表有一定的自主權，談判較容易取得成功。而後一種說法僅僅給了乙個靶心，談判代表沒有任何迴旋餘地，很難成交。如果下雨非要有防雨效能，經濟，輕便都達到一級的雨具不行，那就只好呆在家裡別出門。
例9.2.2 設某一舊有建築物的建設處理為事件，改建、新建、維修分別為對策試按費用、功能、建設速度三個目標進行灰靶決策。
解記費用為目標1，功能為目標2，建設速度為目標3。則三種局勢分別為
（建設，改建），（建設，新建），
（建設，維修）。
各種局勢在不同目標下，其效果顯然是不同的，而衡量效果好次的標準也各異，如造價費用應以少為好，功能應以高為佳，而速度則又應以快為好。把局勢的效果級別分為好、次和更次**。
三種局勢的效果向量定義為：
取球心為，計算靶心距
其中為最小，局勢的效果向量進入了灰靶。因此，改建的決策方案是一種滿意方案。
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