模糊數學方法
2023年美國加利福尼亞大學控制論專家扎德（zadeh l．a．）教授在《information and control》雜誌上發表了一篇開創性**「fuzzy sets」，這標誌著模糊數學的誕生。模糊數學是研究和處理模糊性現象的數學方法。眾所周知，經典數學是以精確性為特徵的。
然而，與精確性相悖的模糊性並不完全是消極的、沒有價值的。甚至可以這樣說，有時模糊性比精確性還要好。例如，要你某時到某地去迎接乙個「大鬍子高個子長頭髮戴寬邊黑色眼鏡的中年男人」。
儘管這裡只提供了乙個精確資訊——男人，而其他資訊——大鬍子、高個子、長頭髮、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個人。模糊數學在實際中的應用幾乎涉及到國民經濟的各個領域及部門，農業、林業、氣象、環境、地質勘探、醫學、經濟管理等方面都有模糊數學的廣泛而又成功的應用。
§1 模糊集的基本概念
要想掌握模糊數學方法，必須先了解模糊集的基本概念，特別是隸屬函式的建立方法。
1.1 模糊子集與隸屬函式
定義1 設是論域，稱對映確定了乙個上的模糊子集，對映稱為的隸屬函式，它表示對的隸屬程度。使的點稱為的過渡點，此點最具模糊性。
當對映只取0或1時，模糊子集就是經典子集，而就是它的特徵函式。可見經典子集就是模糊子集的特殊情形。
例1 設論域（單位：cm）表示人的身高，那麼上的乙個模糊集「高個子」（）的隸屬函式可定義為，
也可用zadeh表示法：
，上式僅表示中各元素屬於模糊集的隸屬度，不是普通分式與求和運算。還可用向量表示法：
。定義2 設是論域的兩個模糊子集，定義
相等：；
包含：；
並：的隸屬函式為；
交：的隸屬函式為；
餘：的隸屬函式為。
符號表示二者之間取大，表示二者之間取小。模糊集的運算性質基本上與經典集合一致，除了排中律以外，即。
1.2 隸屬函式的確定
應用模糊數學方法的關鍵在於建立符合實際的隸屬函式。儘管乙個元素屬於模糊集是客觀的，但是建立隸屬函式的方法基本上是主觀的。根據人們的實踐經驗，隸屬函式常見的型別如表5-1。
表5-1
1.3 模糊矩陣及其運算與性質
定義3 設，稱為模糊矩陣。當只取0或1時，稱為布林（boole）矩陣。當模糊方陣的對角線上的元素都為1時，稱為模糊自反矩陣。
（1）模糊矩陣間的關係及並、交、餘運算
定義4 設都是模糊矩陣，定義
相等：；
包含：；
並：；交：；
餘：。例2 設，則
（2）模糊矩陣的合成
定義5 設，稱模糊矩陣為與的合成，其中。
例3 設，則
。模糊方陣的冪定義為。
（3）模糊矩陣的轉置
定義6 設，稱為的轉置矩陣，其中。
（4）模糊矩陣的-截矩陣
定義7 設，對任意的，稱為模糊矩陣的-截矩陣，其中
顯然，的-截矩陣為布林矩陣。
例4 設，則
。關於模糊矩陣，有很多性質，限於篇幅僅給出下面乙個性質：
性質設是模糊自反矩陣，是階單位方陣，則。
證因為是模糊自反矩陣，，所以，
即。§2 模糊聚類分析
在科學技術、經濟管理中常常需要按一定的標準（相似程度或親疏關係）進行分類。對所研究的事物按一定的標準進行分類的數學方法稱為聚類分析，它是多元統計「物以類聚」的一種分類方法。然而，在科學技術、經濟管理中有許多事物的類與類之間並無清晰的劃分，邊界具有模糊性，它們之間的關係更多的是模糊關係。
對於這類事物的分類，就應該用模糊數學方法。我們把應用模糊數學方法進行的聚類分析，稱為模糊聚類分析。
2.1 關係及分類
為了討論模糊聚類方法，先討論經典集合按普通關係的分類。
定義1 設和是經典集合，稱對映：
或1為到的乙個關係。到的乙個關係可用布林矩陣表示，即
等價於與有關係（）。
定義2 設是上的關係。
若，有，即上的每個元素都和自己有關係，則稱是自反的。
若，有，即當與有關係時，與也有關係，則稱是對稱的。
，若當時，有，即當與有關係，與有關係時，與也有關係，則稱是傳遞的。
若上的關係滿足上述，，時，稱是上的等價關係，此時稱是等價矩陣。
以後，在有限域上我們總將關係與矩陣等同起來說。
定理1 設是非空有界集上的等價關係，，令表示中所有與有關係的元素的集合，則
非空；，當，即當與沒有關係時，，即可按關係對進行分類。
證由於具有自反性，所以，即非空。
假設，取，則與有關係，與也有關係。由於具有對稱性，所以與有關係，與也有關係。又由於具有傳遞性，與也有關係。這與題設矛盾。
例1 設，定義關係為偶數，則
。關係是傳遞的，但不是自反的，也不是對稱的；容易驗證關係是上的等價關係。按關係可將分為奇數和偶數兩類，即。
2.2 模糊關係
與模糊子集是經典集合的推廣一樣，模糊關係是普通關係的推廣。例如，父子關係是普通關係，而二人之間彼此「熟悉」的關係，則是模糊關係。
定義3 設是論域，稱對映確定上的乙個模糊子集為到的乙個模糊關係。隸屬函式表示關於模糊關係的相關程度。
當和都是有限論域時，則到的模糊關係可用階模糊矩陣表示，即，其中表示關於模糊關係的相關程度。又若為布林矩陣時，則關係為普通關係，即與之間要麼有關係（），要麼沒有關係（）。
定義4 設是論域，是到的模糊關係，是到的模糊關係，則與的合成是到上的乙個模糊關係，，其隸屬函式定義為
。特別地，當都是有限論域時，且到的模糊關係，到的模糊關係，則到的模糊關係可表示成模糊矩陣的合成：，其中。
2.3 模糊等價矩陣
定義5 設是階模糊方陣，的關係，是階單位方陣，若滿足
自反性：；
對稱性：（）；
傳遞性：（）。
則稱為模糊等價矩陣。
定理2 若是階模糊等價矩陣，則是階等價布林矩陣。
證自反性：（顯然）；
對稱性：（顯然）；
傳遞性：（由性質），若，則，由得
，所以。即具有傳遞性。
此定理的重要性在於將模糊等價矩陣轉化為等價的布林矩陣，也就是將有限論域上的模糊等價關係轉化為普通等價關係，而普通等價關係是可以分類的。因此，當在[0,1]上變動時，得到各個水平上不同的分類。這些分類之間的聯絡由下面的定理給出。
定理3 設是階模糊等價矩陣，則所決定的分類中的每乙個類是所決定的分類中的某個子類。
證因，有。
這就是說，當為有限論域，上各元素之間的模糊關係可表示為階模糊等價矩陣時，如果按分在一類，則按也必分在一類，即所決定的分類中的每乙個類是所決定的分類中的某個子類。
定理3表明，當時，分類是分類的加細。當由1變到0時，的分類由細變粗，形成乙個動態的聚類圖，稱之為模糊分類。下面舉例說明這種動態的聚類過程。
例2 設，
。容易驗證，是模糊等價矩陣。
當時，得到的分類為；
當時，得到的分類為；
當時，得到的分類為；
當時，得到的分類為；
當時，得到的分類為。
於是，得到動態聚類圖如圖5-1。
需要指出的是，在實際應用問題中要建立乙個模糊等價關係往往是不容易的，這主要由於傳遞性不易滿足。但是，要建立乙個滿足自反的對稱的模糊關係則是比較容易的。然後將它改造為滿足傳遞性而又保持自反性和對稱性的模糊等價關係，就可以進行分類。
下面就討論這方面的問題。
2.4 模糊相似矩陣
定義6 設是階模糊方陣，的關係，是階單位方陣，若滿足
自反性：；
對稱性：（）；
則稱為模糊相似矩陣。
定理4 設是階模糊相似矩陣，則存在乙個最小的自然數，使得為模糊等價矩陣，且對一切大於的自然數，恒有。
稱為的傳遞閉包矩陣，記為。此定理證明從略。
由定理4可得到將階模糊相似矩陣改造成階模糊等價矩陣的方法：從階模糊相似矩陣出發，依次求平方：，直到為止，。
例3 設
。容易驗證，是模糊相似矩陣，用平方法求其傳遞閉包：，，
故傳遞閉包。
容易驗證，傳遞閉包是模糊等價矩陣。
2.5 模糊聚類分析的一般步驟
第一步：建立資料矩陣
設論域為被分類的物件，每個物件又由個指標表示其形狀：，於是，得到原始資料矩陣為。
在實際問題中，不同的資料一般有不同的量綱。為了使有不同量綱的量也能進行比較，通常需要對資料作適當的變換。例如，平移標準差變換：
，其中。
第二步：建立模糊相似矩陣
確定與相似程度的方法主要有相似係數法與距離法。
（1）相似係數法
夾角余弦法：；
相關係數法：；
其中。（2）距離法
直接利用距離法時，總是令
，其中為適當選取的引數，它使得。經常採用的距離有
海明距離：。
歐氏距離：。
切比雪夫距離：。
第三步：聚類（並畫出動態聚類圖）
從第二步求出的階模糊相似矩陣出發，用平方法求其傳遞閉包，它就是將改造成的階模糊等價矩陣。再讓由大變小，就可形成動態聚類圖。
例4（市場的模糊劃分） 在市場經濟條件下，市場劃分是一項重要的戰略措施，它有許多顯著的特點：使企業的產品經銷有針對性，可以更好地滿足顧客的要求；在市場經營上便於專業化，銷售人員可以集中力量對一些特定顧客進行宣傳和推銷，從而提高市場的經營效果。因此，將市場動態地劃分為各個層次的若干種類群是很有意義的。
由於在給定的乙個市場中，顧客的購買行為是有差異的，因而，根據對顧客購買行為的差異的觀測資料，可將市場進行劃分。例如，設乙個市場具有個顧客和種商品，那麼我們可以用矩陣來表示顧客的購買行為，其中表示第個顧客對第種商品的購買行為的程度。在國際**中，為了打入國際市場，首先必須認真地制定國際市場的劃分策略。
第一步：設論域（20個國家和地區）。乙個國家或地區作為乙個需求單位，而每個國家或地區用10個特徵指數來衡量（如，地理指數——地理位置、人口密度等，人口狀況指數——生活方式、商品使用率等，經濟指數——國民生產總值、進出口**總值等；社會結構指數——君主立憲制、議會制等）：
。原始資料如表5-2所示。
表5-2
模糊數學方法
在自然科學或社會科學研究中,存在著許多定義不很嚴格或者說具有模糊性的概念。這裡所謂的模糊性，主要是指客觀事物的差異在中間過渡中的不分明性，如某一生態條件對某種害蟲 某種作物的存活或適應性可以評價為 有利 比較有利 不那麼有利 不利 災害性霜凍氣候對農業產量的影響程度為 較重 嚴重 很嚴重 等等。這些...
模糊數學數學建模第二節
9.2 灰靶決策 定義9.2.1 設為局勢集，為局勢在目標下的效果值，r為實數集，則稱 為在目標下的效果對映。定義9.2.2 若，則稱對策與關於事件在目標下等價，記作，稱集合 為目標下關於事件對策的效果等價類。設目標是效果值越大越好的目標，則稱目標下關於事件對策優於，記作 稱集合為目標下關於事件對策...
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會計在生成財務資訊的過程中充斥了模糊性，可以說模糊性是會計資訊固有的特徵。1965年，美國加利福尼亞大學的查德 教授創立了 模糊集合論 用它來定量描述邊界模糊和性狀模糊的事物。本文試圖將模糊數學方法引入財務報表分析，使財務報表分析的方法體系更完整 報表分析更清晰。一 會計資訊的模糊性 客觀世界的不確...