常用邏輯用語知識及例題解析
目標認知： 1. 理解命題的概念；了解邏輯聯結詞「或」、「且」、「非」的含義.
2. 了解命題「若p,則q」的形式及其逆命題、否命題與逆否命題，分析四種命題相互關係.
3. 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.
4. 理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確地對含有乙個量詞的命題進行否定.
重點： 充分條件與必要條件的判定難點： 根據命題關係或充分(或必要)條件進行邏輯推理。
知識要點梳理 ：
知識點一：命題：
1. 定義： 一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題.
（1）命題由題設和結論兩部分構成. 命題通常用小寫英文本母表示，如p,q,r,m,n等.
（2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題. 數學中的定義、公理、定理等都是真命題
（3）命題「」的真假判定方式：
① 若要判斷命題「」是乙個真命題，需要嚴格的邏輯推理；有時在推導時加上語氣詞「一定」能幫助判斷。如：一定推出.
② 若要判斷命題「」是乙個假命題，只需要找到乙個反例即可.
注意：「不一定等於3」不能判定真假，它不是命題.
2. 邏輯聯結詞： 「或」、「且」、「非」這些詞叫做邏輯聯結詞.
（1）不含邏輯聯結詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題叫復合命題.
（2）復合命題的構成形式： ①p或q；②p且q；③非p（即命題p的否定）.
（3）復合命題的真假判斷（利用真值表）：
注意：（1）邏輯鏈結詞「或」的理解是難點，「或」有三層含義，以「p或q」為例：一是p成立
且q不成立， 二是p不成立但q成立 ，三是p成立且q也成立。可以模擬於集合中「或」.
（2）「或」、「且」聯結的命題的否定形式：「p或q」的否定是「p且q」； 「p且q」 的否定是「p或q」.
（3） 對命題的否定只是否定命題的結論；否命題，既否定題設，又否定結論。
題型一：命題、真命題、假命題的判斷
例1：下列語句是命題的是( )
a．梯形是四邊形 b．作直線ab c．x是整數 d．今天會下雪嗎解：a
例2．下列說法正確的是( )
a．命題「直角相等」的條件和結論分別是「直角」和「相等」 b．語句「最高氣溫30 ℃時我就開空調」不是命題
c．命題「對角線互相垂直的四邊形是菱形」是真命題 d．語句「當a＞4時，方程x2－4x＋a＝0有實根」是假命題
解析：對於a，改寫成「若p，則q」的形式應為「若有兩個角是直角，則這兩個角相等」；b所給語句是命題；c的反例可以是「用邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形」來說明．故選d.
變式練習：下列命題是真命題的是( )
a．{}是空集 b.是無限集 c．π是有理數 d．x2－5x＝0的根是自然數
解析：選d. x2－5x＝0的根為x1＝0，x2＝5，均為自然數．
題型二：復合命題的結構
例3．將下列命題改寫成「若p，則q」的形式，並判斷命題的真假：
(1)6是12和18的公約數；
(2)當a>－1時，方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根；
(3)已知x、y為非零自然數，當y－x＝2時，y＝4，x＝2.
解析：(1)若乙個數是6，則它是12和18的公約數，是真命題．
(2)若a>－1，則方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根，是假命題因為當a＝0時，方程變為2x－1＝0，此時只有乙個實根x＝.
(3)已知x、y為非零自然數，若y－x＝2，則y＝4，x＝2，是假命題．
題型三：命題真假判斷中求引數範圍
例4、已知p：x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈r)無實根，求使p為真命題且q也為真命題的m的取值範圍．
解析：若p為真，則解得m>2. 若q為真，則δ＝16(m－2)2－16<0，解得1p真，q真，即故m的取值範圍是(2,3)．
變式練習：已知命題p：lg(x2－2x－2)≥0；命題q：0解：命題p是真命題，則x2－2x－2≥1， ∴x≥3或x≤－1，
命題q是假命題，則x≤0或x≥4. ∴x≥4或x≤－1.
自我檢測：1．判斷下列語句是不是命題，若是，判斷出其真假，若不是，說明理由。
（1）矩形難道不是平行四邊形嗎？ （2）垂直於同一條直線的兩條直線必平行嗎？
（3）求證：，方程無實根. （4） （5）人類在2023年登上火星.
2.（江西卷）下列命題是真命題的為（ ）
a．若,則 b．若,則 c．若,則 d．若,則
3．(廣東)已知命題所有有理數都是實數，命題正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是（ ）
a． b． cd．
知識點二：四種命題
1. 四種命題的形式： 用p和q分別表示原命題的條件和結論，用p和q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：
原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p.
2. 四種命題的關係：
①原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉化的依據和途徑之一.
②逆命題否命題，它們之間互為逆否關係，具有相同的真假性，是命題轉化的另一依據和途徑.
除①、②之外，四種命題中其它兩個命題的真偽無必然聯絡.
四種命題及其關係：
關於逆命題、否命題、逆否命題，也可以有如下表述：
第一：交換原命題的條件和結論，所得的命題為逆命題；
第二：同時否定原命題的條件和結論，所得的命題為否命題；
第三：交換原命題的條件和結論，並且同時否定，所得的命題為逆否命題；
題型四：四種命題的等價關係及真假判斷
技巧： 1.「已知是實數」為命題的大前提，寫命題時不應該忽略；
2. 互為逆否命題的兩個命題同真假；
3. 注意區分命題的否定和否命題.
例1：寫出「若或，則」的逆命題、否命題、逆否命題及命題的否定，並判其真假。
解: 逆命題：若，則或，是真命題；
否命題：若且，則，是真命題；
逆否命題：若，則且，是真命題。
命題的否定：若或，則，是假命題。
例2．命題「若△abc有一內角為，則△abc的三內角成等差數列」的逆命題( )
a．與原命題同為假命題b．與原命題的否命題同為假命題
c．與原命題的逆否命題同為假命題 d．與原命題同為真命題
解析：選d. 原命題顯然為真，原命題的逆命題為「若△abc的三內角成等差數列，則△abc有一內角為」，它是真命題．
例3．命題「若f(x)是奇函式，則f(－x)是奇函式」的否命題是( )
a．若f(x)是偶函式，則f(－x)是偶函式b．若f(x)不是奇函式，則f(－x)不是奇函式
c．若f(－x)是奇函式，則f(x)是奇函式d．若f(－x)不是奇函式，則f(x)不是奇函式答案： b
例4．給出下列命題：
①命題「若b2－4ac<0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實根」的否命題；
②命題「△abc中，ab＝bc＝ca，那麼△abc為等邊三角形」的逆命題；
③命題「若a>b>0，則》0」的逆否命題；
④「若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為r」的逆命題．
其中真命題的序號為________．
解析：①否命題：若b2－4ac≥0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，真命題；②逆命題：
若△abc為等邊三角形，則ab＝bc＝ca，真命題； ③因為命題「若a>b>0，則》0」是真命題，故其逆否命題為真命題； ④逆命題：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為r，則m>1，假命題． 所以應填①②③.
變式練習．若命題p的逆命題是q，命題q的否命題是r，則p是r的( )
a．逆命題 b．逆否命題 c．否命題 d．以上判斷都不對
解析：選b. 命題p：若x，則y，其逆命題q：若y，則x，那麼命題q的否命題r：若非y，則非x，所以p是r的逆否命題．.
題型五：問題的逆否證法
例1：判斷命題「若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數根」的逆否命題的真假．
解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判別式δ＝12m＋4>0.
∴原命題「若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數根」為真命題．
又因原命題與它的逆否命題等價，所以「若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數根」的逆否命題也為真命題．
知識點三：充分條件與必要條件：
1. 定義： 對於「若p則q」形式的命題：
①若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
②若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；
③若既有pq，又有qp，記作pq，則p 是q的充分必要條件（充要條件）.
2. 理解認知：
（1）在判斷充分條件與必要條件時，首先要分清哪是條件，哪是結論；然後用條件推結論，再用結論推條件，最後進行判斷.
（2）充要條件即等價條件，也是完成命題轉化的理論依據.「當且僅當」.「有且僅有」「必須且只須」.「等價於」「…反過來也成立」等均為充要條件的同義詞語.
3. 判斷命題充要條件的三種方法
（1）定義法：
（2）等價法：由於原命題與它的逆否命題等價，否命題與逆命題等價，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時，還可以轉化為逆否命題與否命題來判斷．即利用與；與；與的等價關係，對於條件或結論是不等關係（或否定式）的命題，一般運用等價法.
(3) 利用集合間的包含關係判斷，比如ab可判斷為ab；a=b可判斷為ab，且ba，即ab. 如圖：
「」「，且」是的充分不必要條件.
「」「」是的充分必要條件.
求引數的取值範圍：總結昇華：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有乙個為假，所以，「p假且q真」或「p真且q假」.
可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類討論．
第一章常用邏輯用語
學習目標 1.命題及其關係 1 了解命題的逆命題 否命題與逆否命題，會分析四種命題間的相互關係 2 理解必要條件 充分條件與充要條件的意義.2.簡單的邏輯聯結詞 了解邏輯聯結詞 或 且 非 的含義.3.全稱量詞與存在量詞 1 理解全稱量詞與存在量詞的意義 2 能正確地對含有乙個量詞的命題進行否定.學...
第一章 常用邏輯用語複習小結
宜州一中2015屆高二數學選修2 1複習小結 內容 常用邏輯用語編撰 宜州一中高二數學備課組 log 一 知識歸類 1 命題 能夠判斷真假的陳述句.2.四種命題的構成 原命題 若則 逆命題 若則 否命題 若則 逆否命題 若則.乙個命題的真假與其他三個命題的真假有如下關係 原命題為真,它的逆命題 原命...
第一章《常用邏輯用語》小結學案
2 利用集合關係判斷充分必要條件 設p對應集合a，q對應集合b，全稱量詞 用符號 表示 與存在量詞 用符號 表示 1 會識別 2 會判斷 3 會否定 邏輯鏈結詞 1 由 且 或 非 構成的新命題有三種形式 2 含邏輯鏈結詞的命題的真假判斷 3 注意命題的否定和否命題的區別 二 例題 1 判斷下列語句...