選修2-3 第一章排列、組合、二項式定理
一、備考知識點：
排列數公式
排列排列應用題
分類計數原理
分步計數原理
排列、組合應用題
組合數公式及性質
組合組合應用題
二項式係數的性質
二項式定理
二項式定理的應用
二、知識點：
1．兩個基本原理：
（1）分類計數原理：完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法……，在第類辦法中有種不同的方法，那麼完成這件事共有：種不同的方法．
（2）分步計數原理：完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法……，做第步有種不同的方法，那麼完成這件事共有：種不同的方法．
2．排列和排列數公式：
（1）排列：從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的乙個排列．
（2）排列數：從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，記作.
（3）排列數公式：
3．組合、組合數公式和性質：
（1）組合：從個不同元素中取出個元素並成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的乙個組合．
（2）組合數：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，記作.
（3）組合數公式：
（4）組合數性質：
①② ③4．二項式定理和二項式係數的性質：
（1）二項式定理：
通項公式：
（2）二項式係數的性質：
① 對稱性：到二項展開式首末兩項距離相等的項的二次式係數相等．
② 單調性：以二項展開式中間項為分界，二項式係數先單調增，後單調減．
③ ④第1課時排列組合基礎知識
【基礎練習】
1．若則 7 .
2．若則 7或4 .
3． 466 .
分析：由代入計算將466。
4．若則 14 .
5．設則的個位數字是 3 ．
6．不等式的解集為．
【典型例題】
例1．計算：
（1）（2）（3）解：（1）
2）點評：注意裂項法在求和中的應用．
例2．集合
（1）a列b的對映共有多少個？
（2）a到b且b中每乙個元素都有原象的對映共有多少個？
解：（1）a中每個元素在b中的象都有種選擇，由分步計數原理，a到b的對映共有個．
（2）b中每個元素都有原象，只可能二類情況：一類是a中的3個元素與b中的1個元素對應，a中另2個元素與b中另2個元素一一對應；一類是a中的1個元素與b中的1個元素對應，a中剩下的4個元素平均分為2組分別與b中另2個元素對應，故a到b且b中每個元素都有原象的對映共有個．
點評：分類計數原理和分步計數原理是排列組合的兩個基本原理．學生應熟練掌握，而對映又是學生的薄弱環節．在例2的教學中，教師應先複習一下有關對映的概念，再啟發學生如何分析，最後利用兩個基本原理解決問題，切忌操之過急．
【鞏固練習】
1．4封信投入3個信筒，不同的投法有（ b ）
（a）種 （b）34種 （c）43種 （d）種
2．若則的值為（ a ）
（a）11 （b）12 （c）13 （d）14
3．下列各式中與相等是（ b ）
（a） （b） （c） （d）
4．若且，則等於（ d ）
（abc） （d）
5．若則最大的正整數 9 ．
6．現有10人，互通**一次，共通** 45 次；相互通訊一次，共通訊 90 封．
7．解不等式：
解：由組合數性質可得．
8．若方程表示圓，求的值．
解：圓方程為得
9．、，化簡：
解：由組合數性質：得
原式==第2課時排列組合應用題（1）
【基礎練習】
1．6人排一排
（1）若甲不排兩頭，則共有 480 種排法；（）
（2）若甲不在排頭，乙不在排尾，則共有 504 種排法；（）
（3）若甲乙丙三人相鄰，則共有 144 種排法；（）
（4）若甲乙丙三人兩兩不相鄰，則共有 144 種排法；（）
（5）若甲乙丙三人的順序不變（可以不相鄰），則共有 120種排法．（）
2．從5名男生和4名女生中任選3人，要求至少男女生各1人，則不同的選法有70種．
分析： (錯解：)
3．3名醫生和6名**被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫生和2名**，不同的分配方案共有 540 種．
分析：．（解2：）
4．用0，1，2，3，4這五個數字可以組成 60 個沒有重複數字的四位偶數．
分析：【典型例題】
例1．四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有乙個空盒的放法共有多少種？
解：要恰有乙個空盒，必然有乙個盒子放2個球，另二個盒子各放乙個球．可分二步，先從四個盒子中任選乙個盒子放入2個球，有種放法，再從剩下的三個盒子中選2個盒子各放1個球，有種放法，由分步計數原理，不同放法共有（種）．
例2．在1，2，3，…，30這三十個數中，每次取兩兩不等的三個數，使它們的和是3的倍數，共有多少種不同的取法？
解：要把這三十個數分成三類：第一類為被3整除的數：
3，6，9，…，30，共10個；第二類為被3除餘1的數：1，4，7，…，28，共10個；第三類為被3除餘2的數：2，5，8，…，29，共10個，符合條件的取法有二種：
①在同一類的10個數中任取3個數，有種；②在三類數中各取乙個數，有種，由分類計數原理，故共有（種）不同的方法．
點評：對較複雜的問題，我們常通過分類或分步，使問題得以解決，這是解排列組合應用題的重要思維方式．
【鞏固練習】
1．從6名志願者中選出4人分別從事翻譯、導遊、導購、保潔四項不同工作．若其中甲、乙兩名志願者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有（ b ）
（a）280種 （b）240種 （c）180種 （d）96種
2．用1，2，3，4，5這五個數字，可以組成比20000大，且百位數字不是3的沒有重複數字的五位數共有（ b ）
（a）96個b）78個 （c）72個d）64個
3．某班上午要上語文、數學、外語和體育四門課，因故體育不排第1節和第四節，則不同排課方案有 12 種．
4．正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有32 個．
5．從集合｛0,1,2,3,5,7,11｝中任取3個元素分別作為直線方程中的a、b、c，所得的經過座標原點的直線有 30 條．
6．一排10只電燈，現關掉其中4只，要求關掉的燈互不相鄰，且不在兩端，問不同的關燈方式有多少種？
解：關掉4只，有6只燈亮著，這6隻燈之間有5個空檔，關掉的4隻燈應在這5個空檔中任選4個，故有（種）關燈方式．
7．有紅、黃、藍三種卡片各5張，每種卡片上分別寫上1，2，3，4，5五個數字，若每次取4張，要求顏色齊全，數字不同，問共有多少種不同的取法？
解：每次有且只有一種顏色的卡片取2張，其餘二種顏色的卡片各取1張，故共有（種）取法．
8．以乙個正方體的頂點為頂點的四面體，共有多少個？
解：正方體有8個頂點，從中任取4個作為四面體的頂點，這4個點應不共面，而共面的情況有二類：①正方體6個面的4個頂點，有種，②正方體的6個對角面的4個頂點，有種，所以四面體的個數為．
第3課時排列組合應用題（2）
【基礎練習】
1．從單詞「equation」中選取5個不同的字母排成一排，含有「qu」（其中「qu」相連且順序不變）的不同排列共有 480 個．()
2．8張椅子排一排，現有3人就座，若每人兩邊都有空椅子，則不同的坐法有
24 種．()
3．平面上有7個點，其中有且只有3個點共線，以這些點為頂點，一共可以組成
34個三角形．()
4．由1，2，3，4組成無重複數字的四位數，按從小到大順序排成數列，則 3421 ．
【典型例題】
例1．某產品有6只**和4只次品，每只產品都可以區別，現每次取出乙隻產品測試，直到4只次品全部測出為止．則最後乙隻次品恰好在第5次測試時被發現的不同情形共有多少種？
解：將1只次品排在第5次測試的方法有種，前4次測試必測出3只次品和1只**，有種，由分步計數原理共有（種）．
點評：此題關鍵是轉化為4只次品和1只**排一排，且最後1只是次品的排列，問題就迎刃而解．
例2．用五種顏色塗「田」字形的4個小方格，每格塗一種顏色，相鄰兩格不同色，問共有多少種不同的塗色方法？
解1：可分為三類：① 用4種顏色，則有種塗法；② 用3種顏色，則應一組相對的兩格塗一種顏色，另兩格塗兩種顏色，有種塗法；③ 用2種顏色，則應相對兩格同色，有種塗法，由分類計數原理，共有（種）不同的塗法．
解2：分步考慮第1格有種塗法，然後第2格有種塗法，再考慮第3格有二類情況：① 第3格與第1格同色，第1格的種已經包含了第3格的顏色了，則第4格有種塗法．② 第3格與第1格不同色，有種塗法，所以共有（+）=260（種）不同塗法．
化學選修4第一章知識點總結
第一章化學反應與能量 一 反應熱熱化學方程式1 反應熱 1 任何化學反應在發生物質變化的同時都伴隨著能量的變化。2 在生成物回到反應物的起始溫度時，所放出或吸收的熱量稱為化學反應的反應熱。3 焓變是指生成物與反應物的焓值差。符號 h單位 kjmol12 放熱反應與吸熱反應 1 放熱反應h0，體系的能...
第一章知識點總結
第一章必記點，易錯點小結 一 預備知識 1 一元二次方程與韋達定理 一元二次方程實根個數 時，兩不等實根 時，兩相等實根 時，無實根 韋達定理 若一元二次方程 兩實根為，則 例1 若集合a 中，僅有乙個元素a，則a b 2 一元二次不等式及簡單分式不等式解答步驟 化標準式解對應方程 序軸穿根由標準式...
第一章知識點總結
知識點1 三次浪潮 一 原始社會 農業。二 工業社會 生產力極大發展 18世紀 三 資訊社會 20世紀70年代 知識點2 傳播 一 傳播的定義 即社會資訊的傳遞或社會資訊系統的執行。二 傳播的特點 a 社會傳播的一種資訊共享活動 b 社會傳播在一定社會關係中進行的，又是一定社會關係的體現 c 從傳播...