函式的概念和性質
考點函式的最值和值域
一、值域的概念和常見函式的值域
函式y=f(x)中自變數x的取值範圍a叫做函式的定義域，與x的值相對應的y的值叫做函式值。函式值的集合叫做函式的值域。函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採用什麼方法球函式的值域均應考慮其定義域.
二、確定函式的值域的原則
1、當數y=f(x)用**給出時，函式的值域是指**中實數y的集合。
2、當函式y=f(x)圖象給出時，函式的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。
3、當函式y=f(x)用解析式給出時，函式的值域由函式的定義域及其對應法則唯一確定。
4、當函式由實際問題給出時，函式的值域由問題的實際意義確定。
常見函式的值域：
三、求函式值域的方法：
1、觀察法，2、配方法，3、判別式法，4、反函式法，5、函式有界法6、單調性法7、換元法，8、圖象法等
四、求函式值域（最值）的常用方法
1. 觀察法
適用型別：根據函式圖象.性質能較容易得出值域(最值)的簡單函式
例1、求函式y_=_的值域
____
例2、求函式y_=2－的值域。
___2_、配方法
適用型別：二次函式或可化為二次函式的復合函式的題型。
配方法是求二次函式值域最基本的方法之一。對於形如或類的函式的值域問題，均可用配方法求解.
例3、求函式y=-2x+5，x [-1，2]的值域。
_ _
例4_、求函式的值域：
_3_、判別式法
_適用型別：分子.分母中含有二次項的函式型別，此函式經過變形後可以化為的形式，再利用判別式加以判斷。
例5、求函式的值域
例6、 求函式y=x+的值域。
4、反函式法
適用型別：分子.分母只含有一次項的函式(即有理分式一次型),也可用於其它易反解出自變數的函式型別。
例7、求函式的值域。
5_、函式有界性法
_直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，反客為主來確定函式的值域。
例8、求函式y_=_的值域。
______
例9、求函式y_=__的值域。
6_、函式單調性法
適用型別：一般能用於求復合函式的值域或最值。（原理：同增異減）
例10、求函式的值域。
例11、 求函式y_=_ _（2≤x≤10）的值域
___例12、求函式y=_-的值域。
___7、換元法
___ 通過簡單的換元把乙個函式變為簡單函式，其題型特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函式的值域中同樣發揮作用。
適用型別:無理函式、三角函式（用三角代換）等。
例13、求函式y_=_x_+_的值域。
____
例14、求函式y_=x+2+的值域
_ _例15、求函式 y=的值域
___例16、求函式y=（sinx+1）（cosx+1），x∈的值域。
__例17、求函式y=x+4+的值域
_ _ 8 數形結合法
__ _ 其題型是函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。
適用型別:函式本身可和其幾何意義相聯絡的函式型別.
例18、求函式y=+的值域。
___ _
例19、求函式y=_+的值域
___ _
例20、求函式y=__-的值域
____
_____
例21、求函式的值域.
鞏固練習
1 函式y=x2+ (x≤－)的值域是( )
a(－∞,－ b［－,+∞ c［,+∞ d(－∞,－］
2 函式y=x+的值域是( )[**:學+科+網z+x+x+k]
a (－∞,1 b (－∞,－1 c r d ［1,+∞
3 一批貨物隨17列貨車從a市以v千公尺/小時勻速直達b市，已知兩地鐵路線長400千公尺，為了安全，兩列貨車間距離不得小於()2千公尺 ，那麼這批物資全部運到b市，最快需要_________小時(不計貨車的車身長)
4 設x1、x2為方程4x2－4mx+m+2=0的兩個實根，當m時，x12+x22有最小值
5 某企業生產一種產品時，固定成本為5000元，而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函式為r(x)=5x－x2(萬元)(0≤x≤5),其中x是產品售出的數量(單位百台)
(1)把利潤表示為年產量的函式；
(2)年產量多少時，企業所得的利潤最大？
(3)年產量多少時，企業才不虧本？
6 已知函式f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］[**:學科網]
(1)若f(x)的定義域為(－∞,+∞)，求實數a的取值範圍；
(2)若f(x)的值域為(－∞,+∞),求實數a的取值範圍
7 某家電生產企業根據市場調查分析，決定調整產品生產方案，準備每週(按120個工時計算)生產空調器、彩電、冰箱共360臺，且冰箱至少生產60臺已知生產家電產品每台所需工時和每台產值如下表
問每週應生產空調器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產值最高？最高產值是多少？(以千元為單位)
8 在rt△abc中，∠c=90°，以斜邊ab所在直線為軸將△abc旋轉一周生成兩個圓錐，設這兩個圓錐的側面積之積為s1，△abc的內切圓面積為s2，記=x
(1)求函式f(x)=的解析式並求f(x)的定義域
(2)求函式f(x)的最小值
函式的概念和性質
考點二函式的最值和值域
一、值域的概念和常見函式的值域
函式y=f(x)中自變數x的取值範圍a叫做函式的定義域，與x的值相對應的y的值叫做函式值。函式值的集合叫做函式的值域。函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採用什麼方法球函式的值域均應考慮其定義域.
二、確定函式的值域的原則
1、當數y=f(x)用**給出時，函式的值域是指**中實數y的集合。
2、當函式y=f(x)圖象給出時，函式的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。
3、當函式y=f(x)用解析式給出時，函式的值域由函式的定義域及其對應法則唯一確定。
4、當函式由實際問題給出時，函式的值域由問題的實際意義確定。
常見函式的值域：
三、求函式值域的方法：
1、觀察法，2、配方法，3、判別式法，4、反函式法，5、函式有界法6、單調性法7、換元法，8、圖象法等
四、求函式值域（最值）的常用方法
1. 觀察法
的值域為.
對數函式的值域為r.
正，余弦函式的值域為，正，餘切函式的值域為r.
二、求函式值域（最值）的常用方法
1. 直接觀察法
適用型別：根據函式圖象.性質能較容易得出值域(最值)的簡單函式
例1、求函式y_=_的值域
解： _ _顯然函式的值域是：
___ 例2、求函式y_=2－的值域。
___ 解： ≥0 _－≤0_ 2－≤2
故函式的值域是：[_-∞，2
2_、配方法
適用型別：二次函式或可化為二次函式的復合函式的題型。
配方法是求二次函式值域最基本的方法之一。對於形如或類的函式的值域問題，均可用配方法求解.
例3、求函式y=-2x+5，x [-1，2]的值域。
_ _解：將函式配方得：y=（x-1）+4，__x_ [-1，2]，_由二次函式的性質可知：
_ 當x_=_1時，y =_4_
_ 當x_=_-_1，時_=_8_
_ 故函式的值域是：[_4_，8_]_ _
例4_、求函式的值域：
解：設，則原函式可化為：.又因為，所以，故，，所以，的值域為.
_3_、判別式法
_適用型別：分子.分母中含有二次項的函式型別，此函式經過變形後可以化為的形式，再利用判別式加以判斷。
例5、求函式的值域
解：恆成立，函式的定義域為r.
由得 。
1 當即時，；
2 當即時，時，方程恒有實根. 且.
原函式的值域為.
例6、 求函式y=x+的值域。
解：兩邊平方整理得：2-2（y+1）x+y=0___（1）_
xr，△=4（y+1）-8y≥0
解得：1-≤y≤1+
但此時的函式的定義域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，僅保證關於x的方程：2-2（y+1）x+y=0在實數集r有實根，而不能確保其實根在區間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由△≥0求出的範圍可能比y的實際範圍大，故不能確定此函式的值域為[，]。可以採取如下方法進一步確定原函式的值域。
_ 0≤x≤2， y=x+_≥0，
=0，y=1+代入方程（1），解得： = [0，2]，即當=時，原函式的值域為：[0，1+]。
注：由判別式法來判斷函式的值域時，若原函式的定義域不是實數集時，應綜合函式的定義域，將擴大的部分剔除。
4、反函式法
適用型別：分子.分母只含有一次項的函式(即有理分式一次型),也可用於其它易反解出自變數的函式型別。
例7、求函式的值域。
分析與解：由於本題中分子、分母均只含有自變數的一次型,易反解出x,從而便於求出反函式。
反解得即
知識回顧：反函式的定義域即是原函式的值域。
故函式的值域為：。
_5_、函式有界性法
_直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，反客為主來確定函式的值域。
適用型別：一般用於三角函式型，即利用等。
例8、求函式y_=_的值域。
______解：由原函式式可得： =_
_____＞0， ＞0
____解得：-_1＜y＜1。_
_____故所求函式的值域為(_-_1_,_1_)_._
例9、求函式y_=__的值域。
___ 解：由原函式式可得：ysinx-cosx=3y _
_____可化為： _sinx（x+β）=3y
即 sinx（x+β）=
數學求值域方法大全
觀察法通過對函式定義域 性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。例1求函式y 3 2 3x 的值域。點撥 根據算術平方根的性質，先求出 2 3x 的值域。解 由算術平方根的性質，知 2 3x 0，故3 2 3x 3。函式的知域為 點評 算術平方根具有雙重非負性，即 1 被開方數的非負性，2 值...
代數式求值的常用方法
一 化簡代入法 化簡代入法是指把字母的取值表示式或所求的代數式進行化簡，然後再代入求值.例1先化簡，再求值 其中，解 由，得，原式.二 整體代入法 當單個字母的值不能或不用求出時，可把已知條件作為乙個整體，代入到經過變形的待求的代數式中去求值的一種方法.通過整體代入，實現降次 歸零 約分，快速求得其...
求函式值域的常用方法
在函式的三要素中，對於如何求函式的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經常出現，占有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。1 直接觀察法 對於一些比較簡單的函式，其值域可通過觀察得到。例1 求函式y 3 的值域。解 0 0 3...